在高等学校大类招生的体制下，将线性代数课程的知识目标、能力目标和情感目标适当分解，并在整体结构上进行系统化. 下面，我们以伴随矩阵为例进行说明：

知识目标：了解学习伴随矩阵的目的，理解伴随矩阵的概念和基本定理，理解伴随矩阵的系列性质.

能力目标：熟练掌握用伴随矩阵求逆矩阵的方法，掌握伴随矩阵运算性质的证明，学会用Matlab求伴随矩阵.

情感目标：思考伴随矩阵各个性质之间的联系，尝试运用伴随矩的阵理论分析并解决线性方程组、矩阵特征值和专业领域的应用模型.

高等学校大类招生必然会导致专业人才的分流培养，在分流之前开设的大类基础课程线性代数需要预设层次化的教学重点，确保完成教学大纲的基本要求，实现人才培养方案的分流目标，并能引导优秀学生脱颖而出. 层次化教学的重点包括：

基础训练：了解伴随矩阵的概念和基本定理，利用伴随矩阵求逆矩阵.

综合应用：掌握伴随矩阵运算性质的证明和应用，数学实验(Matlab).

能力提升：了解伴随矩阵的秩及其与线性方程组和特征值等问题的联系.

在线开放课程将知识点进行碎片化，并以短视频的形式呈现，容易导致学生知识建构的系统性不足. 模块化的教学设计能够形成关于伴随矩阵的概念、定理、性质和应用的知识链，促进系统化教学目标的实现.

定义1 已知矩阵A=(a_ij)_n×n，记A_ij是行列式|A|中元素a_ij的代数余子式，则称矩阵

为A的伴随矩阵，记为AA^*.

利用矩阵乘法和行列式的性质，不难验证AA^*=A^*A=|A|E. 同时，进一步可得关于伴随矩阵的基本定理${\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right|}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^*}$和|A^*|=|A|^n－1(见文献[10]的定理2.1).

例1 已知矩阵$\mathit{\boldsymbol{A}} = \left[ \begin{array}{l} 1\;\;2\;\;3\\ 2\;\;2\;\;1\\ 3\;\;4\;\;3 \end{array} \right]$，求逆矩阵A^－1.

解 因为|A|=2≠0，所以${\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right|}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^*}{\rm{ = }}\frac{1}{2}\left[ \begin{array}{l} \;\;2\;\;\;6\;\; - 4\\ - 3\; - 6\;\;\;\;5\\ \;\;2\;\;\;2\;\; - 2 \end{array} \right]{\rm{ = }}\left[ \begin{array}{l} \;\;\;1\;\;\;\;3\;\; - 2\\ - \frac{3}{2}\;\; - 3\;\;\;\frac{5}{2}\\ \;\;\;1\;\;\;\;\;1\;\; - 1 \end{array} \right]$

例2 已知A为3阶方阵，且$A = \frac{1}{2}$，求|(3A)^－1－2A^*|.

解 利用结论${\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right|}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^*}$可得A^－1=2A^*，则

性质1 设矩阵A=(a_ij)_n×n，则(A^*)^T=(A^T)^*.

证 因为A_ij=(－1)^i+jM_ij，且行列式等于其转置，所以

显然，(A^*)^T=(A^T)^*.

性质2 设A为n阶方阵，且|A|≠0，则(A^*)^－1=(A^－1)^*.

证 因为|A|≠0，所以A可逆. 由A^*A=|A|E，可得A^*=|A|A^－1，则

又因为${\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - 1}}} \right)^*} = \left| {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - 1}}} \right|{\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - 1}}} \right)^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right|}}\mathit{\boldsymbol{A}}$，因此(A^*)^－1=(A^－1)^*.

性质3 设A为n阶方阵，且|A|≠0，则[(A^*)^T]^－1=[(A^*)^－1]^T=[(A^－1)^T]^*.

证 因为|A|≠0，所以A可逆，结合逆矩阵和转置的性质得

利用性质2和性质1，可得[(A^*)^－1]^T=[(A^－1)^*]^T=[(A^－1)^T]^*. 因此，结论成立.

例3 已知$\mathit{\boldsymbol{A}} = \left[ \begin{array}{l} 1\;\;0\;\;0\\ 0\;\;1\;\;2\\ 0\;\;3\;\;4 \end{array} \right]$，且AA^*是A的伴随矩阵，求[(A^*)^T]^－1.

解 不难验证|A|=－2，由A^*A=|A|E得${\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^*}} \right)^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right|}}\mathit{\boldsymbol{A}} = - \frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{A}}$，所以

性质4 设A为n阶方阵，且|A|≠0，则(kA)^*=k^n－1A^*(k≠0).

证 因为|A|≠0，所以A可逆. 由A^*A=|A|E，可得A^*=|A|A^－1，故

性质5 设A，B为n阶方阵，且|A|≠0，|B|≠0，则(AB)^*=B^*A^*.

证 因为|A|≠0，|B|≠0，所以A，B可逆. 由基本定理${\mathit{\boldsymbol{A}}^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right|}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^*}$得

又因为AA^*=|A|A^－1，所以

性质6 设A为n阶方阵，且|A|≠0，则(A^*)^*=|A|^n－2A.

证 因为|A|≠0，所以A可逆. 由基本结论A^*=|A|A^－1和|A^*|=|A|^n－1得

例4 设A为n阶非零矩阵，如果伴随矩阵A^*=A^T，证明A为可逆矩阵.

证 记A=(a_ij)_n×n，由A^*=A^T和伴随矩阵的定义得A_ij=a_ij. 利用行列式的展开定理得

又因为A为非零矩阵，所以至少存在一个元素a_ij≠0. 因此$\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right| = \sum\limits_{i = 1}^n {a_{ij}^2 \ne 0} $，即矩阵A可逆.

性质7 设A^*是n阶方阵A的伴随矩阵，则秩$r\left( {{{\bf{A}}^*}} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {n\;\;\;r\left( {\bf{A}} \right) = n}&{}\\ {1\;\;\;r\left( {\bf{A}} \right) = n - 1}&{}\\ {0\;\;\;r\left( {\bf{A}} \right) < n - 1}&{} \end{array}} \right.$.

证 若r(A) = n，则A可逆，即|A|≠0. 由于|A^*|=|A|^n－1≠0，即A^*为可逆矩阵，故r(A^*)=n.

若r(A)=n-1，即A中存在n-1阶非零子式，且|A|=0. 不妨设A^*中存在某个元素A_ij≠0，故r(A^*)≥1. 记A^*=(α₁^′，α₂^′，…，α_n^′)，由A^*=|A|E=O得

故Aα_i^′=0，其中i=1，2，…，n，即α₁^′，α₂^′，…，α_n^′是齐次线性方程组Ax=0的解. 因为r(A) =n-1，所以Ax=0的基础解系中仅含一个向量，所以r(A^*)=r(α₁^′，α₂^′，…，α_n^′)≤1. 因此，r(A^*)=1.

若r(A) < n－1，则矩阵A中所有的n-1阶子式全为零. 利用伴随矩阵的定义可知A^*=0，故r(A^*)=0.

例5 设A是5阶方阵，且A^*是A的伴随矩阵，若η₁，η₂为齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A^*)=___.

解 因为η₁，η₂为Ax=0的两个线性无关的解，所以方程组Ax=0的基础解系中含有的解的向量个数为n－r(A)≥2. 又因为A是5阶矩阵，即n=5，则r(A)≤3. 利用性质7可得A^*=O，所以r(A^*)=0.

性质8 设A为n阶矩阵，记A=(α₁，α₂，…，α_n)，且r(A)=n－1，则：

(i) α_i是齐次线性方程组A^*x=0的解，其中i=1，2，…，n；

(ii) A^*x=0的基础解系含n-1个向量.

证 (i)因为r(A)=n－1，所以|A|=0. 由AA^*=A^*A=|A|E得

即A^*α_i=0，其中i=1，2，…，n.

(ii) 利用性质7，因为r(A)=n－1，所以r(A^*)=1. 因此，A^*x=0的基础解系中含有n-1个向量.

例6 已知$\mathit{\boldsymbol{A}} = \left[ \begin{array}{l} 1\;\; - 2\;\;0\\ 2\;\;1\;\;\;\;5\\ 0\;\;1\;\;\;\;1 \end{array} \right]$，且A^*是A的伴随矩阵，求A^*x=0的通解.

解 不难验证|A|=0，且r(A)=2. 由性质7可知r(A^*)=1. 从而n－r(A^*)=2，故齐次线性方程组A^*x=0的通解形式为k₁η₁+k₂η₂，其中η₁，η₂为其基础解系.

由性质8，A中任意两个线性无关的列向量都是方程组A^*x=0的基础解系，所以通解为k₁(1，2，0)^T+k₂(－2，1，1)^T，其中k₁，k₂为任意实数.

性质9 设A为n阶矩阵，且A^*是A的伴随矩阵，则：

(i) 若|A|=0，则0为伴随矩阵A^*的特征值；

(ii) 若|A|≠0，则$\frac{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right|}}{\lambda }$为伴随矩阵A^*的特征值.

证 (i) 由于|A|=0，与性质8类似，得A^*α=0=0α，即0为A^*的特征值.

(ii) 记Aα=λα(α≠0)，由|A|≠0可得λ≠0. 再利用A^*A=|A|E得

整理得${\mathit{\boldsymbol{A}}^*}\mathit{\boldsymbol{\alpha }} = \frac{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right|}}{\lambda }\mathit{\boldsymbol{\alpha }}\left( {\mathit{\boldsymbol{\alpha }} \ne 0} \right)$，即$\frac{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right|}}{\lambda }$为伴随矩阵A^*的特征值.

例7 设矩阵$\mathit{\boldsymbol{A}} = \left[ \begin{array}{l} 3\;\;2\;\;2\\ 2\;\;3\;\;2\\ 2\;\;2\;\;3 \end{array} \right]$，且A^*是A的伴随矩阵，求A^*的最小特征值.

解 令矩阵A的特征多项式为

则A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=7，且|A|=λ₁λ₂λ₃=7. 利用性质9，A^*的特征值为$\frac{{\left| \mathit{\boldsymbol{A}} \right|}}{\lambda }$，即特征值分别为7，7，1. 因此，A^*的最小特征值为1.

伴随矩阵的教学设计紧紧围绕基本概念和基本定理展开，教学内容具有系统性、层次性和高阶性等特点. 通过混合教学模式的流程化组织，将问题导入、重点讲解、练习巩固、思考衔接、应用拓展等环节设计在线上和线下进行深度融合，实践中更加注重知识的完整性、基础的应用性和思维的创新性引导.

课前预习(线上)：复习代数余子式和方阵行列式的性质，预习伴随矩阵的概念和基本定理(PPT、视频)，并在教学平台上完成关于伴随矩阵的基础练习.

课堂教学(线下)：分析平台上出现的错误，讲解伴随矩阵的概念，证明伴随矩阵的基本定理，并举例说明伴随矩阵的基本要求(例1、例2). 然后，通过练习题：已知矩阵$\mathit{\boldsymbol{A}} = \left[ \begin{array}{l} 1\;\;0\;\;0\\ 0\;\;2\;\;0\\ 0\;\;0\;\;3 \end{array} \right]$，求A^－1和(A^*)^－1，围绕教学重点内容展开讨论.

课后测试(线上)：根据教学目的设计2~3道题以检测学习效果，要求同学们限时完成并及时公布答案. 同时，留下思考题(线下)：已知矩阵$\mathit{\boldsymbol{A}} = \left[ \begin{array}{l} 1\;\;0\;\;0\\ 0\;\;1\;\;2\\ 0\;\;3\;\;4 \end{array} \right]$，求[(A^*)^T]^－1，以拓展伴随矩阵的应用方法及运算，并引导进入模块二的学习.

课前预习(线上)：复习矩阵的性质、伴随矩阵的概念(PPT、视频)，并在教学平台上完成关于伴随矩阵及行列式的基础练习.

课堂教学(线下)：解决平台上发现的问题，从模块一的思考题导入伴随矩阵的运算性质1至性质6，并将性质5的证明留作课堂练习. 然后，介绍求逆矩阵的Matlab命令^[12]，并结合行列式的展开讨论例4以强化伴随矩阵性质的应用训练.

课后测试(线上)：根据教学目的设计2~3道题以检测学习效果，要求同学们限时完成并及时公布答案. 同时，将性质7留作思考题，引导进入模块三的学习.

课前预习(线上)：复习伴随矩阵的运算性质、线性方程组解的判定、矩阵特征值的概念(PPT、视频)，并在教学平台上完成关于性质7和线性方程组的基础练习.

课堂教学(线下)：整理关于伴随矩阵的常见问题，从性质7导入伴随矩阵的综合性质，并分别举例说明其应用(例5、例6、例7). 然后，组织关于伴随矩阵与行列式、线性方程组和特征值等问题的主题讨论，并结合专业领域模型进一步拓展数学思维，培养创新意识并进行创新能力训练.

课后测试(线上)：根据教学目的设计2~3道试题以检测学习效果，要求同学们限时完成并及时公布答案. 同时，思考如何利用伴随矩阵及性质解决信息编码等模型(线下选择完成).