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链传递是动力系统中的重要性质，在动力系统的研究中起着重要的作用，其核心是拓扑空间上自映射迭代产生的序列轨道的渐进性质和拓扑结构. 一个系统是链传递，就意味着空间中任意两个点总能找到一条有限的伪轨将其连接起来. 有关链传递的研究成果见文献[1-8]. 文献[1]证明了：若映射f具有d-跟踪性，则f是链传递的. 文献[2]指出：具有跟踪性的链传递系统一定是等度连续或者敏感的. 文献[3]证明了：若映射f是满射，且f具有0-平均跟踪性，则f是链传递的. 文献[4]证明了：非自治动力系统中拓扑传递性蕴含链传递性. 另外，不动点[9-10]和强链回归点[11-13]是拓扑动力系统研究的重点，文献[11]证明了：强链回归点集对连续映射不变. 文献[12]证明了：强链回归点集对同胚映射强不变. 文献[13]证明了：连续映射g的强链回归点集是连续映射f的强链回归点集在拓扑共轭映射h下的象；连续映射fn的强链回归点集是连续映射f的强链回归点集的子集.
众所周知，提升系统是研究n维环面等特殊流形上动力系统的一个重要工具，一个系统与它的提升系统的动力学性质是否一致成为研究的重点，有关研究成果见文献[14-16]. 考虑到提升空间、链传递性和强链回归点都是目前动力系统研究的热点，本文选择在提升空间中研究链传递性和强链回归点集的动力学性质，通过证明得到：f是链传递的当且仅当f是链传递的；π(SCR(f))⊂SCR(f). 这些结论丰富了提升空间中链传递性和强链回归点集的相关理论.
定义1 设X，Y是拓扑空间，若f：X→Y是一一映射，且f和f－1都是连续的，则称f是同胚映射.
定义2[17] 设(X，d1)和(Y，d2)是度量空间，f：X→Y是一一映射，若对任意的x，y∈X，有d2(f(x)，f(y))=d1(x，y)，则称f是等距映射.
定义3[17] 设(X，d)和(X，d)是度量空间，π：X→X是连续满射，若对任意的x∈X，存在x的开邻域U(x)，使得
并且对所有的α，π|Uα：Uα→Ux是同胚映射，则称π是覆盖映射.
定义4[17] 设(X，d)和(X，d)是度量空间，若π：X→X是覆盖映射，并且对所有的α，π|Uα：Uα→Ux是等距映射，则称π是局部等距覆盖映射.
定义5[17] 设(X，d)和(X，d)是度量空间，π：X→X是覆盖映射，f：X→X连续，f：X→X连续，若π∘f=f∘π，则称f是f的提升映射，(X，f)是(X，f)的提升空间.
定义6[17] 设(X，d)和(X，d)是度量空间，π：X→X是局部等距覆盖映射，f：X→X连续，f：X→X连续，若π∘f=f∘π，则称f是f局部等距下的提升映射，(X，f)是(X，f)局部等距下的提升空间.
定义7 设(X，d)是度量空间，f：X→X连续，δ>0，{xi}i=0n是X中的有限序列，若∀0≤i < n，有d(f(xi)，xi+1) < δ，则称{xi}i=0n是f的δ-链.
定义8 设(X，d)是度量空间，f：X→X连续，若∀x，y∈X，∀ε>0，存在f作用下的ε-链{xi}i=0n(x0=x，xn=y)，则称f具有链传递性.
定义9 设(X，d)是度量空间，f：X→X连续，δ>0，{xi}i=0n是X中的有限序列，若
$\sum\limits_{i=0}^{n-1} d\left(f\left(x_{i}\right)\right.$ ，则称{xi}i=0n是f的强δ-链.定义10 设(X，d)是度量空间，f：X→X连续，x∈X，若∀ε>0，存在f作用下的强ε-链{xi}i=0n(x0=xn=x)，则称x是f的强链回归点. f的强链回归点集用SCR(f)表示.
引理1 设(X，d)和(X，d)是紧致度量空间，π：X→X是局部等距覆盖映射，f：X→X连续，f：X→X连续，若f是f局部等距下的提升映射，则存在δ0>0，对任意的x∈X，任意的0 < δ≤δ0，π|B(x，δ)：B(x，δ)→B(π(x)，δ)是等距同胚映射.
证 由π：X→X是局部等距覆盖映射知，对任意的x∈X，存在x的开邻域U(x)，使得
并且对所有的α，π|Uα：Uα→Ux是等距同胚的. 取
则Γ是X的开覆盖. 由X的紧致性知，开覆盖Γ存在勒贝格数δ′. 取
$\delta_{0}=\frac{\delta^{\prime}}{2}$ . 由勒贝格数引理知，对任意的x∈X，任意的0 < δ≤δ0，存在Ur∈Γ使得B(x，δ)⊂Uγ，故π|B(x，δ)：B(x，δ)→B(π(x)，δ)是等距同胚映射.定理1 设(X，d)和(X，d)是度量空间，π：X→X局部等距覆盖映射，f：X→X连续，f：X→X连续，若f是f局部等距下的提升映射，则f是链传递的当且仅当f是链传递的.
证 设f是链传递的，∀x，y∈X，∀0 < ε < δ0，其中δ0是引理1中的常数，由π：X→X是满射知，可取x∈X，y∈X满足π(x)=x和π(y)=y. 由f是链传递的知，存在f作用下的ε-链{xi}i=0n，其中x0=x，xn=y. 故当0≤i < n时，有
取xi=π(xi)，0≤i≤n，则x0=x，xn=y. 由f是f的提升映射知π∘f=f∘π，故
再由引理1知，π|B(f(xi)，ε)：B(f(xi)，ε)→B(f(xi)，ε)是等距同胚映射，故
由(1)式知
故f是链传递的.
设f是链传递的，∀s，t∈X，∀0 < η < δ0，其中δ0是引理1中的常数. 由f是链传递的知，存在f作用下的η-链{zi}i=0m，其中
故当0≤i < m时，有
由π：X→X是满射知，可取zi∈X满足π(zi)=zi，其中
由引理1知，π|B(f(zi)，η)：B(f(zi)，η)→B(f(zi)，η)是等距同胚映射，故
由(2)式知
故f是链传递的.
定理2 设(X，d)和(X，d)是度量空间，π：X→X是局部等距覆盖映射，f：X→X连续，f：X→X连续，若f是f局部等距下的提升映射，则π(SCR(f))∀SCR(f).
证 设x∈SCR(f). ∀0 < ε < δ0，其中δ0是引理1中的常数，则存在f作用下的强ε-链{xi}i=0n，其中
故
取xi=π(xi)，由f是f的提升映射知π∘f=f∘π，故
再由引理1知，π|B(f(xi)，ε)：B(f(xi)，ε)→B(f(xi)，ε)是等距同胚映射，故
由(3)式知
故π(x)∈SCR(f)，则
本文研究了原空间与它的提升空间在链传递性和强链回归点集方面的动力学性质，得到：f是链传递的当且仅当f是链传递的；π(SCR(f))∀SCR(f). 丰富了提升空间中链传递性和强链回归点集的结论，为链传递性和强链回归点在实际中的应用提供了理论依据.
On Chain Transitive and Strong Chain Recurrent Point in the Lift Space
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摘要: 研究了局部等距条件下提升空间中链传递的动力学特征和强链回归点集的拓扑结构. 利用局部等下提升映射的性质，得到链传递和强链回归点集的一些新结论：若映射f是映射f局部等距下的提升映射，则f是链传递当且仅当f是链传递；若映射f是映射f局部等距下的提升映射，则π(SCR(f))⊂SCR(f). 这些结论推广和改进了早期文献中关于链传递和强链回归点集的相关结果.Abstract: The dynamical characteristics of chain transitive and the topological structure of strong chain recurrent point set are studied in the local equidistant lift space. With the property of the locally equidistant lift map, some new results of chain transitive and strong chain recurrent point set are obtained: If the map f is the lift map of the map f under locally equidistant, then the map f is chain transitive if and only if the map f is chain transitive; If the map f is the lift map of the map f under locally equidistant, then we have π(SCR(f))⊂SCR(f). These conclusions generalize and improve the results of chain transitive and strong chain recurrent point set in the existing literature.
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Key words:
- lift space /
- equidistant map /
- chain transitive /
- strong chain recurrent point .
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[1] doi: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0362546X10000155 DASTJERDI D A, HOSSEINI M. Sub-Shadowings[J]. Nonlinear Analysis, 2010, 72(9): 3759-3766. [2] DASTJERDI D A, HOSSEINI M. Shadowing with Chain Transitivity[J]. Topology and its Applications, 2009, 156(13): 2193-2195. doi: 10.1016/j.topol.2009.04.021 [3] 汪火云, 曾鹏. 平均伪轨的部分跟踪[J]. 中国科学: 数学, 2016, 46(6): 781-792. doi: https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-JAXK201606002.htm [4] 易鹏. 非自治动力系统中的链传递与次跟踪[D]. 广州: 广州大学, 2018. [5] LI R S. A Note on Shadowing with Chain Transitivity [J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2012, 17(7): 2815-2823. doi: 10.1016/j.cnsns.2011.11.015 [6] RICHESON D, WISEMAN J. Chain Recurrence Rates and Topological Entropy[J]. Topology and its Applications, 2008, 156(2): 251-261. doi: 10.1016/j.topol.2008.07.005 [7] 汪火云, 吴红英, 刘兴臻. 树映射的拓扑可迁性[J]. 广州大学学报(自然科学版), 2008, 7(4): 12-14. doi: 10.3969/j.issn.1671-4229.2008.04.003 [8] 刘青, 易鹏. 非自治离散动力系统中的链传递和链混合[J]. 广州大学学报(自然科学版), 2018, 17(6): 16-20. doi: 10.3969/j.issn.1671-4229.2018.06.004 [9] 张瑜, 薛西锋. 锥b-度量空间中广义c1-距离下扩张映射的新不动点定理[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2020, 42(6): 54-59. doi: https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XNND202006007.htm [10] 韩艳, 张建元, 代婷婷. 锥度量空间中c-距离下非连续映射的新不动点定理[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2018, 40(8): 114-121. doi: https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XNND201808017.htm [11] 赵俊玲. 强链回归集与强跟踪性[J]. 数学研究, 2004, 37(3): 286-291. doi: 10.3969/j.issn.1006-6837.2004.03.010 [12] 冀占江. 度量空间中强链回归点集的研究[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2019, 44(2): 29-35. doi: http://xbgjxt.swu.edu.cn/article/doi/10.13718/j.cnki.xsxb.2019.02.007 [13] 冀占江, 张更容, 涂井先. 强跟踪性和强链回归点集的研究[J]. 河南大学学报(自然科学版), 2019, 49(6): 739-744. doi: https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-HDZR201906013.htm [14] 孟鑫. 一类具有逐点Lipschitz跟踪性的动力系统[J]. 山西大学学报(自然科学版), 2010, 33(4): 504-507. doi: https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-SXDR201004006.htm [15] GU R B, SUN T X, XIA Z J. Asymptotic Pseudo-Orbit Tracing Property for Lift Systems[J]. 广西大学学报(自然科学版), 2003, 28(3): 214-217. doi: 10.3969/j.issn.1001-7445.2003.03.010 [16] 赵俊玲. 弱跟踪性的一些性质[J]. 广西师范大学学报(自然科学版), 2004, 22(3): 40-44. doi: 10.3969/j.issn.1001-6600.2004.03.009 [17] 邢春娜. 动力系统中的强跟踪性和强反跟踪性[D]. 大连: 辽宁师范大学, 2007. -
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