定义1    若一个区间I⊆ ${\mathbb{R}}$，其上的一个映射u：I→ ${\mathbb{R}}$ⁿ，并且我们在区间I上作N+1个分点x_i，有x₀ < x₁ < … < x_N. 定义u的全变差(total variation)为Tot. Var.$\{u\} \doteq \sup \left\{\sum\limits_{i=1}^{N}\left|u\left(x_{i}\right)-u\left(x_{i-1}\right)\right|\right\}$，如果u是有界的，则称u有有界变差(bounded variation)，根据英文首字母缩写，简记为u∈I_BV.

设D=[x_min，x_max]×[0，∞)，并且c是足够大的正常数. 假设模型(1)中的参数满足下面条件：

(A1) g：D→ ${\mathbb{R}}$ 是关于x和R的带有Lipschitz常数L的Lipschitz函数，满足$\sup\limits_{(x，R(t))∈D}$ g(x，R(t))≤c. 并且，当x∈[x_min，x_max)时，g(x，R(t))>0，g(x_max ，R(t))=0. g_x(x，R(t))是关于x和R的Lipschitz常数为L的Lipschitz函数.

(A2) d：D→ R是关于x和R的Lipschitz常数为L的Lipschitz函数，并且$\sup\limits_{(x，R(t))∈D }$d(x，R(t))≤c.

(A3) β：D→ R是关于x和R的Lipschitz常数为L的Lipschitz函数，并且$\sup\limits_{(x，R(t))∈D }$ β(x，R(t))≤c.

(A4) R：[0，T]→ ${\mathbb{R}}$上界为c的非负连续函数.

(A5) u⁰∈BV[x_min，x_max ]且u⁰(x)≥0.

(A6) R₀∈BV[x_min，x_max ]且R₀(x)≥0.

仿照文献[13]，将模型(1)中的第一个方程乘φ(x，t)，再通过分部积分并利用初始条件和边界条件，定义模型(1)的弱解如下：

定义2    一个函数u∈I_BV([x_min，x_max ]×[0，T])，如果满足以下条件就称为模型(1)的弱解：

其中φ∈C¹((x_min，x_max)×(0，T)).

我们将区间[x_min，x_max]和[0，T]分别分成n和l个子区间. 本文令$\Delta x=\frac{\left(x_{\max }-x_{\min }\right)}{n}$和Δt= $\frac{T}{l}$ 分别表示大小和时间的区间长度. 区间点由：x_j=x_min+j Δx，j=0，1，…，n；t_k=kΔt，k=0，1，…，l给出. 用u_j^k表示u(x_j，t_k)的有限差分逼近，设

定义差分算子

及u_j^k的$\ell$¹范数和$\ell$^∞范数为

使用隐式有限差分格式，对系统进行如下的离散化：

初始条件为

令$\overrightarrow{\boldsymbol{u}}^{k+1}=\left[{u}_{0}^{k+1}, {u}_{1}^{k+1}, {\cdots}, {u}_{n}^{k+1}\right]^{\mathrm{T}} \in {{\mathbb{R}}}^{n+1}$，则差分格式(2)可表示成如下矩阵形式：

这里$\overrightarrow{\boldsymbol{f}}^{k}=\left[\sum\limits_{j=1}^{n} \beta_{j}^{k} u_{j}^{k} \Delta x, u_{1}^{k}, \cdots, u_{n}^{k}\right]^{\mathrm{T}}$，并且A^k是如下三角矩阵：

引理1   假设Δt选择得足够小，使得2cΔt≤1. 那么线性系统(3)，(4)有唯一的非负解.

证   由于Δt选择得足够小，使得2cΔt≤1，很明显A₁^k的对角元素是正的，而次对角元素是非正的. 事实上，v₁^k≥ $\frac{1}{2}$. 剩下部分的证明过程类似文献[14]中的定理7.2，此处省略.

首先证明差分逼近在l¹空间的范数是有界的.

引理2   假设引理1成立，则存在一个正常数B₁，使得‖u^k‖₁+|R^k|≤B₁.

证将(2)式的第一个等式左右两边乘Δx，并将j=1，…，n对应的各式相加，有

用类似的方式处理(2)式的第二个等式，有

现在令S^k=‖u^k‖₁+|R^k|并且将(5)式和(6)式相加，有

再证明差分逼近在l^∞空间的范数是有界的.

引理3   假设引理1成立，则存在一个正常数B₂，使得‖u^k‖_∞≤B₂.

证    设u^k+1_j0=$\max\limits_j$u_j^k+1. 如果j₀=0，则利用(2)式的第三个等式，可得

如果1 ≤j₀≤n，则利用(2)式的第一个等式，可得

因此有(1+cΔt)u^k+1_j0≤u^k_j0，这意味着

根据(7)-(9)式，我们有

因此存在正常数B₂，使得‖u^k+1‖_∞ ≤B₂.

下一个引理证明了近似u_j^k具有有界的全变差. 在建立模型(1)的弱解的差分逼近收敛的过程中，这个界起着重要作用.

引理4   假设引理1成立，则存在一个正常数B₃，使得‖D_Δx^-(u^k)‖₁≤B₃.

证    设η_j^k=D_Δx^-(u_j^k)并且将算子D_Δx^-运用到(2)式的第一个等式得到

另一方面，如果j=1，那么

因此，由(2)式的第一个等式有

将(10)式乘sgn(η_j^k+1)Δx，再将j=2，…，n对应的各式相加，并且注意到-η_j^ksgn(η_j^k+1)≥-|η_j^k|，则有

其中2 ≤j ≤n. 为了记号的方便，令d₀^k=0和D_Δx^-(g₀^ku₀^k+1)=$-\frac{u_{0}^{k+1}-u_{0}^{k}}{\Delta t}$，将(11)式乘sgn(η₁^k+1)Δx并与(10)式相加，得到

将j=1，2，…，n对应的各式相加，得到

容易得到

由不等式(12)和(13)，得到

另外，注意到

其中α在R(t^k)和R(t^k-1)之间，而且

由(14)，(15)式有

其中ξ在R(t^k)和R(t^k-1)之间，且存在正常数B₄和B₅，使该不等式成立，则该定理得证.

下一个结果表明，差分逼近满足关于t的李普希茨条件.

引理5   假设引理1成立. 则存在一个正常数A>0，使得对任何r>q有

证   将(2)式的第一式的所有j相加并乘Δx，得到

因此，

可类似证明引理5的第二个不等式.

定义如下的函数族{${\mathbb{U}}$_Δx，Δt}，{${\mathbb{R}}$_Δt}

其中x∈[x_j-1，x_j)，t∈[t_k-1，t_k)，j=1，…，n，k=1，…，l. 且由引理2-5，函数集合{ ${\mathbb{U}}$_Δx，Δt}，{ ${\mathbb{R}}$_Δt}在拓扑空间L¹(x_min，x_max)×(0，T)和C(0，T)中是紧的，并且由文献[15]中的引理16.7的证明. 以下结果成立.

定理1   存在序列{${\mathbb{U}}$_Δxi}⊂{${\mathbb{U}}$_Δx，Δt}和{ ${\mathbb{R}}$_Δti}⊂{${\mathbb{R}}$_Δt}收敛到函数空间I_BV([x_min，x_max]×[0，T])和C(0，T)内的U(x，t)和R(t)，即当T>0且i→∞时有

以及

并且存在一个常数Γ使得极限函数满足

接下来证明通过上述差分格式构造的极限函数u(x，t)与R(t)实际上是模型(1)的弱解.

定理2    定理1定义的极限函数u(x，t)与R(t)是模型(1)的弱解并且满足

以及

证  使用类似于文献[15]的引理16.7中的证明方法可得结论成立.

下述定理给出了(2)式的解集合{ u_j^k，R^k}关于初始条件{u_j⁰，R⁰}的连续依赖性.

定理3   设{u_j^k，R^k}和{$\hat u$_j^k，$\hat R$^k}是(2)式的解，并且对应初始条件{u_j⁰，R⁰}和{$\hat u$_j⁰，$\hat R$⁰}，则存在正常数c₁，c₂和c₅使得

这里

证  设p_j^k=u_j^k-$\hat u$_j^k，w^k=R^k-$\hat R$^k. 则有

将(19)式的第一个式子乘sgn(p_j^k+1) Δx，并将j=1，…，n对应的各式相加，使用

得到

将(20)式和(21)式同时乘Δt，并将所得的不等式相加，得到

其中c₅=max{c₁+c₄，c₃}，结论得证.

接下来证明定理1和定理2中定义的解是唯一的.

定理4   假设(u，R)和($\hat u$，$\hat R$)是模型(1)的两个弱解，并且对应初始条件(u₀(x)，R₀)和($\hat u$₀(x)，$\hat R$₀)，若有不等式

成立，则表明模型(1)的弱解是唯一的.

证    令U(t)=$\int^{{x_\text{max}}}_{x_\min}$u(x，t)dx. 则初始值问题

有唯一解. 再用这个解考虑下面的初边值问题：

则(24)式有唯一的弱解u(x，t). 若(u_j^k，R^k)和($\hat u$_j^k，$\hat R$^k)以及得出的函数U(t)和$\hat U$(t)为(23)式和(24)式的唯一解，且由定理3有

其中$\hat S$^k同定理3中的$\hat S$^k+1，则有

由定理1可以求不等式(25)右侧式子的极限

这里(u，R)，($\hat u$，$\hat R$)是(23)式和(24)式在给定函数U^k和$\hat U$^k下的唯一解，并且有$\hat S$(t)=‖u(·，t)-$\hat u$(·，t)‖₁+|R(t)-$\hat R$(t)|. 再将(26)式中给出的估计应用于(23)，(24)式中的解，其中

在定理1中有定义. 由Gronwall不等式，得到(22)式.