定理1   对于给定的初始条件，存在正常数ρ₁和ρ₂，使得模型(2)的解满足0 < u(x，t)≤ρ₁和0 < v(x，t)≤ρ₂.

证   根据文献[13]，可知模型(2)的解局部存在且唯一. 故接下来只需证明解的有界性. 由极大值原理可知u(x，t)>0，v(x，t)>0. 结合模型(2)中关于u的方程可得

根据抛物型方程的比较原理，易知$\limsup\limits _{t \rightarrow+\infty} u(x, t) \leqslant r_1$. 因此存在一个只依赖于初值u₀(x)的正常数ρ₁，使得0 < u(x，t)≤ρ₁. 再根据模型(2)关于v的方程，有

令V(x，t)满足

由引理1、引理2，易知$\lim\limits _{t \rightarrow+\infty} u(x, t) \leqslant \frac{\left(\rho_1+c\right) r_2}{b}$，再由抛物型方程的比较原理得

因此存在一个只依赖于初值u₀(x)和v₀(x)的正常数ρ₂，使得0 < v(x，t)≤ρ₂. 则模型(2)存在唯一正解(u，v)，并且最终有界.

易得模型(2)总是存在边界平衡态解(0，0)，(r₁，0). 当0 < q < q^*时还存在边界平衡态解(0，θ(d₂，q)). 下面我们研究这3个平衡态解的稳定性.

定理2   模型(2)的灭绝平衡态解(0，0)总是不稳定的.

证   模型(2)在(0，0)处线性化后对应的特征值问题为

由引理1知，特征值问题(5)第一个方程的主特征值λ₁(d₁，0，r₁)=r₁>0，因此模型(2)的平衡点(0，0)总是不稳定的.

定理3   当0 < q < q^*时，平衡态解(r₁，0)是不稳定的；当q> q^*时，平衡态解(r₁，0)是全局渐进稳定的.

证   首先证明平衡点(r₁，0)的局部稳定性. 考虑模型(2)在(r₁，0)处线性化后的特征值问题

定义Λ是特征值问题(6)的谱，显然Λ=Λ{ψ=0}∪Λ{ψ≠0}. 当ψ=0时，考察特征值问题

易知问题(7)的主特征值λ₁(d₁，0，-r₁)=-r₁ < 0. 因此对特征值问题(7)的特征值λ都有Re λ≤λ₁ < 0，则sup{Re λ：λ∈Λ{ψ=0}} < 0. 当ψ≠0时，考察特征值问题

定义$\sigma\left[d_2 \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2}-q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}+r_2\right]$为算子$d_2 \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2}-q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}+r_2$在相应边界条件下的谱，则$\mathit{\Lambda }\{ \psi \ne 0\} \subseteq \sigma \left[{{d_2}\frac{{{{\rm{d}}^2}}}{{{\rm{d}}{x^2}}} - q\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}} + {r_2}} \right]$. 根据引理1，若0 < q < q^*，则问题(8)的主特征值λ₁(d₂，q，r₂)>0，因此

(r₁，0)不稳定. 若q>q^*，则问题(8)的主特征值λ₁(d₂，q，r₂) < 0，因此

(r₁，0)局部渐进稳定.

现在证明平衡点(r₁，0)是全局吸引的. 由极大值原理易知u(x，t)>0，v(x，t)>0. 且根据定理1知

故对任意ε>0，存在T₁>0，当t>T₁时，u(x，t) < r₁+ε. 则模型(2)中关于v的方程满足

由比较原理可知，当t>T₁时，v(x，t)≤V(x，t). 其中V(x，t)是方程

的解. 根据引理1，当q>q^*时，V=0是全局渐进稳定的. 因此有$\lim\limits _{t \rightarrow+\infty} v(x, t)=0$. 则对任意的ε>0，存在T₂>T₁，当t>T₂时v(x，t) < ε. 使得模型(2)中关于u的方程满足

考虑方程

取ε足够小，使得方程(10)的主特征值λ₁(d₁，0，r₁-aε)=r₁-aε>0. 显然有$\lim\limits _{t \rightarrow+\infty} U^\varepsilon(x, t)=r_1-a \varepsilon$. 进一步由比较原理知u(x，t)≥U^ε(x，t). 因此$\liminf\limits _{t \rightarrow+\infty} u(x, t) \geqslant r_1-a \varepsilon$. 结合(9)式以及ε的任意性，可得

因此(r₁，0)是全局吸引的，故(r₁，0)全局渐进稳定.

注1   定理3表明总存在一个流速阈值q^*，使得当模型(2)的流速大于该阈值(即q>q^*)时，平衡态解(r₁，0)总是全局稳定的. 这意味者流速较大时，捕食者灭绝，而食饵存活.

接下来，我们考虑流速较小，即0 < q < q^*时的情况，此时系统存在边界平衡态解(0，θ(d₂，q)).

定理4   设0 < q < q^*.

(ⅰ)当$r_1>\frac{a c r_2}{b}$时，边界平衡态解(0，θ(d₂，q))总是不稳定的；

(ⅱ)当$r_1 < \frac{a c r_2}{b}$时，存在唯一的0 < q^** < q^*，使得当q < q^**时，平衡点(0，θ(d₂，q))全局渐进稳定；当q>q^**时，平衡点(0，θ(d₂，q))不稳定.

证   模型(2)在(0，θ(d₂，q))处线性化后的特征值问题为

同样地，定义Λ′是特征值问题(11)的谱，则Λ′=Λ′{ψ=0}∪Λ′{ψ≠0}. 当φ=0时，考察特征值问题

记特征值问题(12)的主特征值为$\lambda_1\left(d_2, q, r_2-\frac{2 b}{c} \theta\left(d_2, q\right)\right)$. 注意到θ(d₂，q)是模型(3)的正平衡解，显然有$\lambda_1\left(d_2, q, r_2-\frac{b}{c} \theta\left(d_2, q\right)\right)=0$. 进一步，易知$r_2-\frac{b}{c} \theta\left(d_2, q\right)>r_2-\frac{2 b}{c} \theta\left(d_2, q\right)$. 根据文献[14]的引理2.2，可知问题(12)的主特征值

因此sup{Re λ：λ∈Λ{φ=0}} < 0. 故特征值问题(11)主特征值的正负将由φ≠0时的特征方程

决定. 记特征值问题(13)的主特征值为λ₁(d₁，0，r₁-aθ(d₂，q))，定义$\sigma\left[d_1 \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2}+r_1-a \theta\left(d_2, q\right)\right]$为算子$d_1 \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2}+r_1-a \theta\left(d_2, q\right)$的谱，则$\mathit{\Lambda }^{\prime}\{\varphi \neq 0\} \subseteq \sigma\left[d_1 \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2}+r_1-a \theta\left(d_2, q\right)\right]$.

由引理2知，当d₂，r₂>0，并且0 < q < q^*时，有$\theta\left(d_2, q\right) < \frac{c r_2}{b}$. 因此$r_1-a \theta\left(d_2, q\right)>r_1-\frac{a c r_2}{b}$总是成立. 当$r_1>\frac{a c r_2}{b}$时，根据文献[14]的引理3可以得到

平衡态解不稳定. 当$r_1 < \frac{a c}{b} r_2$，且$q \rightarrow 0^{+}$时，$\lambda_1\left(d_1, 0, r_1-a \theta\left(d_2, 0\right)\right)=r_1-\frac{a c}{b} r_2 < 0$. 当$q \rightarrow q^{*-}$时，λ₁(d₁，0，r₁-aθ(d₂，q^*))=r₁>0. 由θ(d₂，q)关于q单调递减，易知λ₁关于q连续可微且单调递增，而事实上

其中$\theta^{\prime}=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} q}$. 则存在临界值q^**∈(0，q^*)，有

因此当${r_1} < \frac{{ac{r_2}}}{b}$且0 < q < q^**时，特征值问题(11)的主特征值λ₁ < 0，平衡点(0，θ(d₂，q))局部渐进稳定. 最后，利用与定理3相同的方法可以证明此时(0，θ(d₂，q))是全局吸引的.

在这一节中，我们使用一致持续性理论来研究模型(2)的一致持续性条件，相关理论的详细介绍可以参见文献[15-16].

定理5   设0 < q < q^*. 当$r_1>\frac{a c r_2}{b}$ 或$0 < r_1 < \frac{a c r_2}{b}$时，q^** < q < q^*，模型(2)是一致持续的，即存在一个正常数η，使得

证   定义Θ(t)是模型(2)在空间$P=\{(\tilde{u}, \tilde{v}) \in C[0, 1] \times C[0, 1]: \tilde{u}>0, \tilde{v}>0\}$中解的半流，设$P_0=\{(\tilde{u}, \tilde{v}) \in P: \tilde{u} \not \equiv 0, \tilde{v} \not \equiv 0\}, \partial P=P-P_0$. 由强极大值原理知，当$\left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right) \in P_0$时，模型(2)的解$\bar{u}(x, t)>0, \bar{v}(x, t)>0$. 因此P₀是P中的开集并且是正向不变集. 显然$\partial P$ 包含(0，0)，(r₁，0)，(0，θ(d₂，q)). 接下来的证明将分为以下部分：

步骤1   定义$M_{\partial}=\left\{\left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right) \in \partial P_0: \mathit{\Theta}(t)\left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right) \in \partial P_0, \forall t \geqslant 0\right\}, w\left(\left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right)\right)$是正向轨道$\left\{\mathit{\Theta}(t)\left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right): t \geqslant 0\right\}$：t≥0}的极限集. 那么

事实上，对$\forall\left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right) \in M_{\partial}$，有$\mathit{\Theta }(t)\left({{{\tilde u}_0}, {{\tilde v}_0}} \right) \in \partial {P_0}$，即对任意的t>0，有$\tilde{u}\left(x, t, \left(\tilde{u}_0, \bar{v}_0\right)\right) \equiv 0$或$\tilde{v}\left(x, t, \left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right)\right) \equiv 0$. 当$\tilde{u}\left(x, t, \left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right)\right) \equiv 0$时，则$\tilde{v}\left(x, t, \left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right)\right)$满足

由引理1知$\lim\limits _{t \rightarrow+\infty} \tilde{v}(x, t)=\theta\left(d_2, q\right)$或$\lim\limits _{t \rightarrow+\infty} \tilde{v}(x, t)=0$，当$\tilde{v}\left(x, t, \left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right)\right) \equiv 0$时，则$\tilde{u}\left(x, t, \left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right)\right)$满足

易知$\lim\limits _{t \rightarrow+\infty} \tilde{u}(x, t)=r_1$.

步骤2   证明(r₁，0)和(0，0)是弱排斥子. 首先证明前者，即对$\forall\left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right) \in P_0$，存在δ₁>0，使得

使用反证法，假设(16)式不成立. 则对∀δ>0，存在$\left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right) \in P_0$，使得$\mathop {\lim \sup }\limits_{t \to + \infty } \left\| {\mathit{\Theta }(t)\left({\left({{{\tilde u}_0}, {{\tilde v}_0}} \right)} \right) - \left({{r_1}, 0} \right)} \right\| < \delta $，故存在t₀>0，使得对∀t>t₀，有$\left\|\tilde{u}\left(x, t, \left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right)\right)-r_1\right\| < \delta, \| \tilde{v}\left(x, t, \left(\tilde{u}_0\right.\right.$$\left.\left.\tilde{v}_0\right)\right) \| < \delta$结合模型(2)中v的方程，有

因为$\left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right) \in P_0$，由最大值原理，可知$\tilde{v}\left(x, t_0\right)>0$. 因此存在α₀>0，使得v(x，t₀)≥α₀ψ₁^δ(x)，其中ψ₁^δ(x)是主特征值$\lambda_1\left(d_2, q, r_2-\frac{\delta}{c-\delta}\right)$对应的主特征函数. 令v(x，t)是方程

的解. 由比较原理，当t≥t₀时，

由引理1知，当0 < q < q^*时，λ₁(d₂，q，r₂)>0. 取δ>0足够小，使得$\lambda_1\left(d_2, q, r_2-\frac{\delta}{c-\delta}\right)>0$. 则$\lim\limits _{t \rightarrow \infty} \tilde{v}\left(x, t, \left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right)\right)=+\infty$，这与假设矛盾. 因此(r₁，0)是一致弱排斥子，{(r₁，0)}是P中孤立的不变集. 另外，通过类似的推导，可以证得{(0，0)}也是P中孤立的不变集，这里不再赘述.

步骤3   证明(0，θ(d₂，q))是弱排斥子，即对$\forall\left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right) \in P_0$，存在δ₂>0，使得

使用反证法，假设不成立，则对∀δ>0，存在$\left({{{\widetilde u}_0}, {{\widetilde v}_0}} \right) \in {P_0}$，使得$\mathop {\lim \sup }\limits_{t \to + \infty } \left\| {\mathit{\Theta }(t)\left({\left({{{\widetilde u}_0}, {{\widetilde v}_0}} \right)} \right) - \left({0, \theta \left({{d_2}, q} \right)} \right)} \right\| < \delta $，故存在t₁>0，使得对∀t>t₁，有$\left\|\tilde{u}\left(x, t, \left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right)\right)\right\| < \delta$，$\left\|\tilde{v}\left(x, t, \left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right)-\theta\left(d_2, q\right)\right)\right\| < \delta$. 结合模型(2)中u的方程，有

因为$\left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right) \in P_0$，由最大值原理可知$\tilde{u}\left(x, t_1\right)>0$. 定义μ₁^δ=λ₁(d₁，0，r₁-a(θ(d₂，q)+δ)-δ)，φ₁^δ(x)>0是对应的特征函数. 令u(x，t)是方程

的解. 其中a₁>0，并且满足$\tilde{u}\left(x, t_1\right)>a_1 \varphi_1^\delta(x)$. 易知$\underline u (x, t) = {a_1}{{\rm{e}}^{h_1^\delta \left({t - {t_1}} \right)}}\varphi _1^\delta (x)$是方程的解. 故由比较原理知，对∀t≥t₁，有

由(14)，(15)式可知，当$r_1>\frac{a c r_2}{b}$或$0 < r_1 < \frac{a c r_2}{b}$，q^** < q < q^*时，有λ₁(d₁，0，r₁-aθ(d₂，q))>0. 因此只要取δ>0足够小，总能使得μ₁^δ>0. 这意味着$\lim\limits _{t \rightarrow \infty} \tilde{u}\left(x, t, \left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right)\right)=+\infty$，与假设矛盾. 因此(0，θ(d₂，q))是一致弱排斥子，{(0，θ(d₂，q))}是P中孤立的不变集.

步骤4   定义连续函数$\mathscr{D}$：P[0，+∞)，对$\forall(\tilde{u}, \tilde{v}) \in P$，

由比较原理知$\mathscr{D}^{-1}(0, +\infty) \subseteq P_0$. 当$\mathscr{D}((\tilde{u}, \tilde{v})))>0$，或$(\tilde{u}, \tilde{v}) \in P_0$且$\mathscr{D}((\tilde{u}, \tilde{v}))=0$时，有$\mathscr{D}(\mathit{\Theta}(t)(\tilde{u}, \tilde{v}))>0$. 根据文献[16]知$\mathscr{D}$是半流Θ(t)：P→P的一个距离函数.

由定理1知Θ(t)：P→P是点耗散的. 再由扩散算子的光滑性，半流Θ(t)：P→P是紧的. 根据文献[17]的定理2.6，Θ(t)存在一个吸引P中任意有界集的全局吸引子. 已知(0，0)，(r₁，0)，(0，θ(d₂，q))都是一致弱排斥子且在P中孤立，则有

其中W^s((0，0))，W^s((r₁，0))，W^s((0，θ(d₂，q)))分别是(0，0)，(r₁，0)，(0，θ(d₂，q))的稳定集. 因此{(0，0)∪(r₁，0)∪(0，θ(d₂，q))}的子集在∂P₀中不能形成环. 根据文献[16]的定理3，总存在η>0，使得对$\forall\left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right) \in P_0$，有

因此对$\forall\left(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0\right) \in P_0$，存在正常数η使得$\liminf\limits _{t \rightarrow+\infty} u(x, t) \geqslant \eta, \liminf\limits _{t \rightarrow+\infty} v(x, t) \geqslant \eta$.