设1≤p，m＜∞，定义Sobolev空间$W^{m, p}\left(D_{\varepsilon}; \mathbb { C }\right)$和可积函数空间$L^p\left(D_{\varepsilon}; \mathbb{C}\right)$. 记所有满足(2)式的函数u(x)∈W^2，2(D_ε；$\mathbb{C}$)组成的空间为W_ε，空间V_ε是W_ε在$W^{1, 2}\left(D_{\varepsilon}; \mathbb{C}\right)$中的闭包，空间H_ε是W_ε在${{L}^{2}}\left({{D}_{\varepsilon }}; \mathbb{C}) \right.$中的闭包. 空间H_ε的内积为$(u, v)_{\varepsilon}=\frac{1}{\varepsilon} \operatorname{Re} \int_{D_{\varepsilon}} u \bar{v} \mathrm{~d} \boldsymbol{x}$，其中u，v∈H_ε，v表示v的共轭函数. 空间${{L}^{p}}\left({{D}_{\varepsilon }}; \mathbb{C}) \right.$，H_ε，V_ε和W_ε的范数分别记为$\|\cdot {{\|}_{L_{\varepsilon }^{p}}}, |\cdot {{|}_{\varepsilon }}, \|\cdot {{\|}_{c}}$和$\|\cdot {{\|}_{{{w}_{\varepsilon }}}}$，定义域为W_ε的Laplace算子记为A_ε.

设X是一个Banach空间，空间$\mathscr{P}(X)$由所有定义在X上的Borel概率测度组成，C_b(X)为定义在X上的有界连续泛函空间. 记$(P, f)=\int_X f(z) P(\mathrm{~d} z)$，其中$P \in \mathscr{P}(X), f \in C_b(X)$. 设σ>0，定义Sobolev空间W^σ，p(0，T；X)，范数记为$\|\cdot \|{{W}^{\sigma, p}}(0, T; X)$. 任给$\varphi \in\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$，设

嵌入$\mathscr{Y} \subset \mathscr{X}$是紧的^[10].

定义1   称一个Borel概率测度序列$\left\{P_n\right\} \subset \mathscr{P}(X)$弱收敛于一个Borel概率测度$P \in \mathscr{P}(X)$，记为$P_n \rightharpoonup P, n \rightarrow \infty$，如果对于任意的f∈C_b(X)，满足$\lim\limits _{n \rightarrow \infty}\left(P_n, f\right)=(P, f)$.

设$j \in \mathbb{Z} \backslash\{0\}$，Wiener过程ζ_ε有分解形式$\zeta_{\varepsilon}(t, \boldsymbol{x})=\sum\limits_j b_j^{\varepsilon} \beta_j(t) e_{\gamma_j}(\boldsymbol{x})+\hat{b}_j^{\varepsilon} \hat{\beta}_j(t) {{e}_{\mathit{\Gamma }_{j}^{\varepsilon }}}(\boldsymbol{x})$，其中b_j^ε与$\hat{b}_j^{\varepsilon}$是一系列实值，满足$B_0:=\sum\limits_j\left(b_j^{\varepsilon}\right)^2+\left(\hat{b}_j^{\varepsilon}\right)^2 < \infty$. 复值Wiener过程β_j(t)与$\hat{\beta}_j(t)$相互独立，算子A_ε在空间H_ε中生成标准正交基$\left\{e_{\gamma_j}(\boldsymbol{x}), e_{\mathit{\Gamma }_j^{\varepsilon}}(\boldsymbol{x})\right\}$，相应的特征值为γ_j和Γ_j^ε.

定义2   称P_ε^υ为方程(1)的统计解，若存在新的概率空间$(\mathit{\Omega}, \mathscr{F}, \mathfrak{P})$以及随机过程$\hat{u}(t, x) \in V_{\varepsilon}$和$\hat{\zeta}_{\varepsilon}(t) \in V_{\varepsilon}$，满足$\mathscr{D}(\hat{u}(t))=P_{\varepsilon}^v \in \mathscr{P}(\mathscr{X})$，且下列条件成立：

(ⅰ) ${{{\hat \zeta }_\varepsilon }(t)}$是一个Wiener过程，且与ζ_ε(t)同分布；

(ⅱ) 随机变量$\hat u(0)$与Wiener过程${{{\hat \zeta }_\varepsilon }(t)}$相互独立，且$\mathscr{D}(\hat{u}(0))=\mathscr{D}(u(0))$；

(ⅲ) 对于任意的$\phi \in W_{\varepsilon} \cap C^{\infty}\left(D_{\varepsilon}\right)$和t≥0，随机过程$\hat{u}(t, x)$满足

其中，$\mathscr{D}(\hat{u}(t))$表示随机过程$\hat{u}(t)$的分布.

定义3   设P_ε^υ为方程(1)的统计解，相应的随机过程$\hat{u}(t) \in V_{\varepsilon}$满足定义2. 称统计解P_ε^υ是稳态的(不变的)，如果对于任意的τ>0，有$\mathscr{D}(\hat{u}(t))=\mathscr{D}(\hat{u}(\tau+t))$. 统计解P_ε^υ在映射$\hat{u}(\cdot) \longrightarrow \hat{u}(0)$下的像$\mathscr{D}(\hat{u}(0))$被称为P_ε^υ的迹测度.

定义4   一个Borel概率测度$\mu \in \mathscr{P}\left(V_{\varepsilon}\right)$被称为方程(1)的稳态测度，如果它对于方程(1)在空间V_ε中定义的Markov过程是平稳的，即任给f∈C_b(V_ε)，有$\int_{V_{\varepsilon}} f\left(u_0\right) \mu\left(\mathrm{d} u_0\right)=\int_{V_{\varepsilon}} E\left(f\left(u\left(t; u_0\right)\right)\right) \mu\left(\mathrm{d} u_0\right)$.

定义V_ε上的连续泛函$h_0(u)=\frac{1}{2}|u|_{\varepsilon}^2$和$h_1(u)=\frac{1}{2}\|u\|_{\varepsilon}^2+\frac{\lambda}{4}\|u\|_{L_{\varepsilon}^4}^4$. 记$B_1:=\sum\limits_{j=1}^{\infty} \gamma_j\left(b_j^{\varepsilon}\right)^2+{\mathit{\Gamma}}_j^{\varepsilon}\left(\hat{b}_j^{\varepsilon}\right)^2, $$B_2:=\sup\limits _{x \in D_{\varepsilon}} \sum\limits_{j=1}^{\infty}\left(b_j^{\varepsilon}\right)^2\left(e_{\gamma_j}(\boldsymbol{x})\right)^2+\left(\hat{b}_j^{\varepsilon}\right)^2\left(e_{\mathit{\Gamma}_j^{\varepsilon}}(\boldsymbol{x})\right)^2$.

引理1^{[5, 10]}   设u₀是一个V_ε值的随机变量，与ζ_ε(t)相互独立，且满足E(h₀(u₀))＜∞，E(h₁(u₀))＜∞，B₁＜∞，B₂＜∞，则对于任意的T>0，下列结论成立：

(ⅰ) 方程(1)存在解u_ε^υ∈L²(0，T；W_ε)∩C(0，T；V_ε). 解u_ε^υ在概率意义下唯一且对于t∈[0，T]有

(ⅱ) 方程(1)的解u_ε^υ(t，x)有分解形式$u_{\varepsilon}^v=u_1-u_2+\sqrt{v} \zeta_{\varepsilon}$，其中$u_1=u_0+\int_0^t(u+\mathrm{i}) \Delta u_{\varepsilon}^v \mathrm{~d} s$，$u_2=\int_0^t i \lambda\left|u_{\varepsilon}^v\right|^2 u_{\varepsilon}^v \mathrm{~d} s$，且存在独立于ε，υ的常数C，使得这个分解满足

(ⅲ) 方程(1)存在稳态测度$\mu_{\varepsilon}^v \in \mathscr{P}\left(V_{\varepsilon}\right)$，当$t \rightarrow \infty$时，方程(1)的解u_ε^υ(t)依分布收敛于μ_ε^υ；

(ⅳ) 若存在正整数n，n，使得对于所有的1≤|j₁|≤n，1≤|j₂|≤都有$b_{j_1}^{\varepsilon} \neq 0, \hat{b}_{j_2}^{\varepsilon} \neq 0$，则方程(1)的稳态测度唯一存在.

方程(1)的解u_ε^υ(t)定义了一个Markov过程^[11]，记$P_t\left(u_0, \cdot\right): =\mathscr{D}\left(u_{\varepsilon}^v\left(t; u_0\right)\right)$.

引理2   若引理1中的假设条件都满足，则下列结论成立：

(ⅰ) 存在独立于ε，υ的常数C，使得方程(1)的稳态测度μ_ε^υ满足

(ⅱ) 方程(1)存在唯一的稳态统计解$P_{\varepsilon}^v \in \mathscr{P}(\mathscr{X})$，且存在独立于ε，υ的常数C，满足

证   设u为方程(1)的解，对h₁(u)使用Itô公式，

于是

取$\|u\|_{W_{\varepsilon}}^2 \leqslant R < \infty$，运用P_t(u₀，·)和Fatou引理，结合(4)式和(8)式得

其中C=B₁+3B₀B₂，独立于ε和υ.

根据文献[12]，方程(1)的稳态解存在，不妨设为u(t)，于是$P_{\varepsilon}^v=\mathscr{D}(u(t))$就是方程(1)的稳态统计解. 若P′是方程(1)的另一个稳态统计解，则$P^{\prime}=\mathscr{D}(\bar{u}(t, \boldsymbol{x}))$，其中$\bar{u}(t, \boldsymbol{x})$是形式上满足(3)式的方程(1)的解. 由定义2的条件(ⅱ)知$\mathscr{D}(u(0))=\mathscr{D}(\bar{u}(0))$，于是P′与P_ε^υ具有相同的初始测度，因此P′=P_ε^υ. 最后由(5)式和P_t(u₀，·)得$\int_\mathscr{X}\|u\|_\mathscr{Y} P_{\varepsilon}^v(\mathrm{~d} u) \leqslant C$，通过引理1知C独立于ε和υ.

类似于第一节设置D_ε上的空间$L^p\left(D_{\varepsilon}; \mathbb{C}\right)$，H_ε，V_ε，W_ε，$\mathscr{X} $和$\mathscr{Y} $，设置二维区域上相应的空间$L^p\left(D; \mathbb{C}\right)$，$\widetilde{H}, \widetilde{V}, \widetilde{W}$，$\tilde{\mathscr{X}}$和$\tilde{\mathscr{Y}}$，其中$D \subset \mathbb{R}^2$为二维有界区域，具有光滑的边界∂D. 空间$L^p\left(D; \mathbb{C}\right)$，$\widetilde{H}, \widetilde{V}, \widetilde{W}$和$\tilde{\mathscr{Y}}$的范数分别记为$\|\cdot\|_{L^p}, |\cdot|_D, \|\cdot\|_D, \|\cdot\|_{\tilde{W}} \text { 和}\|\cdot\|_{\tilde{\mathscr{Y}}}$. 另外，空间$\widetilde{H}$的内积记为(·，·)，定义域为$\widetilde{W}$的Laplace算子记为A. 嵌入$\tilde{\mathscr{Y}} \subset \tilde{\mathscr{X}}$是紧的^[10].

二维区域上的随机Ginzburg-Landau方程

其中：v为定义在[0，+∞)×D上的复值函数，ζ(t)是一个$\widetilde H$值的Wiener过程. 对于$j \in \mathbb{Z} \backslash\{0\}$，过程ζ有分解形式$\zeta\left(t, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)=\sum\limits_j b_j \beta_j(t) \tilde{e}_{\gamma_j}\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right), \boldsymbol{x}^{\prime}: =\left(x_1, x_2\right) \in D$，常数b_j满足$\widetilde{B}_0=\sum\limits_j\left(b_j\right)^2 < \infty$，并且$\tilde{e}_{\gamma_j}$是算子A在$\widetilde H$中生成的特征函数，相应的特征值为γ_j. 设$\widetilde{B}_1=\sum\limits_{j=1}^{\infty} \gamma_j\left(b_j^{\varepsilon}\right)^2, \widetilde{B}_2=\sup\limits _{\boldsymbol{x}^{\prime} \in D} \sum\limits_{j=1}^{\infty}\left(b_j^{\varepsilon}\right)^2\left(\widetilde{e}_{\gamma_j}\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)\right)^2$. 定义$\widetilde V$上的连续泛函$\tilde{h}_0(v)=\frac{1}{2}|v|_D^2$和$\tilde{h}_1(v)=\frac{1}{2}\|v\|_D^2+\frac{\lambda}{4}\|v\|_{L^4}^4$. 另外，类似于方程(1)，赋予方程(9)、方程(14)和方程(15)周期边界条件，并定义相应的稳态测度和稳态统计解，后文中不再重复叙述.

引理3^{[5, 10]}   设v₀是一个$\widetilde V$值的随机变量，与ζ(t)相互独立，满足$E\left(\tilde{h}_0\left(v_0\right)\right) < \infty, E\left(\tilde{h}_1\left(v_0\right)\right) < \infty$，$\widetilde{B}_1 < \infty, \widetilde{B}_2 < \infty$，则对于任意的T>0，下列结论成立：

(ⅰ) 方程(9)存在解$v^v \in L^2(0, T; \widetilde{W}) \cap C(0, T; \tilde{V})$. 解v^υ在概率意义下唯一，且对于t∈[0，T]有

(ⅱ) 方程(9)存在稳态测度$\mu^\nu \in \mathscr{P}(\tilde{V})$，且存在独立于υ的常数C，满足

(ⅲ) 若存在正整数n，使得对于所有的1≤|j|≤n都有b_j≠0，则方程(9)的稳态测度唯一存在；

(ⅳ) 若(ⅲ)中的假设条件成立，则方程(9)存在唯一的稳态统计解$P^v \in \mathscr{P}(\tilde{\mathscr{X}})$，且存在独立于υ的常数C，满足

给出二维有界区域D上的非线性Schrödinger方程

和三维薄区域D_ε上的非线性Schrödinger方程

由于λ>0，方程(14)和方程(15)的解唯一存在^[13].

引理4^[13]   若初值$v_0 \in \tilde{V}$，满足$\tilde{h}_0\left(v_0\right) < \infty, \tilde{h}_1\left(v_0\right) < \infty$，则方程(14)存在稳态测度μ和稳态解v(t，x′)，且$\mu=\mathscr{D}(v(0))$.

引理5^[13]   若初值u₀∈V_ε，满足h₀(u₀)＜∞，h₁(u₀)＜∞，则方程(15)存在稳态测度μ_ε和稳态解u_ε(t，x)，且$\mu_{\varepsilon}=\mathscr{D}\left(u_{\varepsilon}(0)\right)$.

定义映射$K_{\varepsilon}: H_{\varepsilon} \longrightarrow \widetilde{H}, \left(K_{\varepsilon} u\right)\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)=\frac{1}{\varepsilon} \int_0^{\varepsilon} u\left(\boldsymbol{x}^{\prime}, x_3\right) \mathrm{d} x_3$和映射$K_{\varepsilon}^*: \widetilde{H} \longrightarrow H_{\varepsilon}, \left(K_{\varepsilon}^* v\right)(\boldsymbol{x})=$$v\left(\boldsymbol{x}^{\prime}, 0\right)$. 对于测度$\mu \in \mathscr{P}\left(V_{\varepsilon }\right)$，记K_εμ表示μ在K_ε作用下的像，满足(K_εμ，f)=(μ，K_ε^*f)，其中f∈C_b($\tilde{V}$). 定义算子$\hat{K}_{\varepsilon}: H_{\varepsilon} \longrightarrow H_{\varepsilon}, \left(\hat{K}_{\varepsilon} u\right)(\boldsymbol{x})=K_{\varepsilon}{ }^* K_{\varepsilon} u=v\left(\boldsymbol{x}^{\prime}, 0\right)$，其中$v\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)=\left(K_{\varepsilon} u\right)\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)$. 算子$\hat{K}_{\varepsilon}$定义了空间H_ε上的一个正交投影，与算子A_ε在空间H_ε中生成的正交投影相同^[9]. 记id为恒等映射，于是$H_{\varepsilon}=\hat{K}_{\varepsilon} H_{\varepsilon} \oplus \hat{I}_{\varepsilon} H_{\varepsilon}$，其中$\hat{K}_{\varepsilon}+\hat{I}_{\varepsilon}=i d$. 另外，算子$\hat{K}_\varepsilon$和$\hat{I}_\varepsilon$满足下列性质^[9]：

(ⅰ) $\hat{K}_{\varepsilon} \partial_{x_i}=\partial_{x_i} \hat{K}_{\varepsilon}, \hat{I}_{\varepsilon} \partial_{x_i}=\partial_{x_i} \hat{I}_{\varepsilon}, i=1, 2$；

(ⅱ) $\left(K_{\varepsilon} u, v\right)=\left(u, K_{\varepsilon}^* v\right)_{\varepsilon}, \forall u \in H_{\varepsilon}, \forall v \in \widetilde{H}$；

(ⅲ) $\left|\hat{I}_{\varepsilon} u\right|_{\varepsilon} \leqslant \varepsilon\left|\partial_3 \hat{I}_{\varepsilon} u\right|_{\varepsilon}, \quad \forall u \in V_{\varepsilon}$.

定理1   若引理1与引理3中的假设条件都成立，且极限

成立. 设μ_ε^υ是方程(1)的稳态测度，P_ε^υ是方程(1)的稳态统计解，则下列结论成立：

(ⅰ) 定义在$\tilde{V}$上的Borel概率测度序列{K_εμ_ε^υ}有弱收敛$K_{\varepsilon} \mu_{\varepsilon}^\nu \rightharpoonup \mu^\nu, \varepsilon \rightarrow 0$，其中μ^υ是方程(9)的唯一稳态测度；

(ⅱ) 定义在$\tilde{\mathscr{X}}$上的Borel概率测度序列{K_εP_ε^υ}有弱收敛$K_{\varepsilon} P_{\varepsilon}^v \rightharpoonup P^v, \varepsilon \rightarrow 0$，其中P^υ是方程(9)的唯一稳态统计解.

证   由于(6)式和(7)式对于ε一致成立，运用Prokhorov定理^[11]得，分别定义在空间$\tilde{V}$和$\tilde{\mathscr{X}}$上的概率测度集族{K_εμ_ε^υ}_ε和{K_εP_ε^υ}_ε存在弱收敛的子序列，不妨设

下面分别证明P^υ是方程(9)的稳态统计解，μ^υ是方程(9)的稳态测度.

运用Skorokhod定理构建一个新的概率空间$(\mathit{\Omega}, \mathscr{F}, \mathfrak{P})$，以及随机过程$K_{\varepsilon_j} \hat{u}_{\varepsilon_j}^v(t)$和$\hat{\mathcal{v}}^v(t)$，满足$K_{\varepsilon_j} P_{\varepsilon_j}^v=\mathscr{D}\left(K_{\varepsilon_j} \hat{u}_{\varepsilon_j}^v(t)\right)$和$P^v=\mathscr{D}\left(\hat{v}^v(t)\right)$，且

由于P_εj^υ是方程(1)的稳态统计解，因此$\hat{u}_{\varepsilon_j}^v(t)$是方程(1)的稳态解. 记$v: =K_{\varepsilon_j} \hat{u}_{\varepsilon_j}^{v}(t)$，于是

取$e: =\phi=\tilde{e}_{\gamma_j}$，并记

考虑$\mathrm{i} \lambda K_{\varepsilon_j}\left(\left|\hat{u}_{\varepsilon_j}^v\right|^2 \hat{u}_{\varepsilon_j}^v\right)$和$\mathrm{i} \lambda\left(\left|K_{\varepsilon_j} \hat{u}_{\varepsilon_j}^v\right|^2 K_{\varepsilon_j} \hat{u}_{\varepsilon_j}^v\right)$之间的逼近. 记$u: =\hat{u}_{\varepsilon_j}^v$，于是

运用Hölder不等式和Young不等式得

记$\psi(t): =\left(\|u\|_{W_\varepsilon }^2+\|v\|_{\widetilde{{W}}}^2+\|u\|_\varepsilon^4+\|v\|_D^4+\|u\|_\varepsilon^2+\|v\|_D^2\right)$，结合(20)-(22)式得

(23) 式表明当$\varepsilon_j \rightarrow 0$时，iλK_εj(|u|²u)弱收敛于iλ(|v|²v). 由(23)式和Chebyshev不等式^[14]得，对于任意的δ>0有

其中常数$\stackrel{\wedge}{C}_{e, \lambda, {\delta}}$不依赖ε_j. (19)式和(24)式表明

其中

由$ \mathit{\Xi}_e^{\varepsilon_j}=\left(\zeta_{\varepsilon_j}, K_{\varepsilon_j}^* e\right)_{\varepsilon}$知，对于任意的$e_1 \neq e_2 \in\left\{\tilde{e}_{\gamma_j}\right\}$，有Ξ_e1^ε_j和Ξ_e2^ε_j相互独立，因此Ξ_e1和Ξ_e2也是相互独立的，于是(25)式表明存在一个与ζ同分布的Wiener过程，替换到方程(9)中满足v是方程(9)的解. 通过定义2知P^υ是方程(9)的统计解，唯一性由引理3给出. 最后，(18)式蕴含了P^υ的稳态性.

由引理1知，定义在$\widetilde{V}_{\varepsilon}$上的有界泛函$f(v)=\|v\|_{\widetilde{W}_{\varepsilon}}^2$满足$\frac{1}{t} \int_0^t\left(\mathscr{D}\left(\hat{u}_{\varepsilon_j}^v(s)\right), K_{\varepsilon_j}^* f(v)\right) \mathrm{d} s \leqslant C$，其中常数C不依赖ε_j，从而有

记$\bar{\mu}_t^v: =\frac{1}{t} \int_0^t\left(\mathscr{D}\left(\hat{\mathcal{V}}^v\right), \bullet\right) \mathrm{d} s$，运用Prokhorov定理，结合(26)式得序列$\left\{\bar{\mu}_t^v\right\}$存在弱收敛的子序列，不妨设$\bar{\mu}_t^v \rightharpoonup \bar{\mu}^v, t \rightarrow \infty$. 通过文献[15]得$\bar{\mu}^v$就是方程(9)的稳态测度. 运用Fatou引理得

(27) 式表明K_εjμ_εj^υ弱收敛于方程(9)的稳态测度$\bar{\mu}^v$. 通过引理3知，$\hat{v}^v(t)$是方程(9)的稳态解，从而有$\bar{\mu}^v=\mathscr{D}\left(\hat{v}^v(0)\right)$，于是$\bar{\mu}^v$是P^υ的迹测度. 又由(17)式和(18)式知，μ^υ也是P^υ的迹测度，所以

唯一性由引理3给出.

定理2   若引理1与引理3中的假设条件都成立，(16)式成立，且$\tilde{h}_0\left(v_0\right) < \infty, \tilde{h}_1\left(v_0\right) < \infty$，$h_0\left(u_0\right) < \infty$和h₁(u₀)＜∞. 设μ_ε^υ是方程(1)的稳态测度，P_ε^υ是方程(1)的稳态统计解，则

(ⅰ) 定义在$\tilde{V}$上的Borel概率测度序列{K_εμ_ε^υ}有弱收敛$K_{\varepsilon} \mu_{\varepsilon}^v \rightharpoonup \mu^v, \varepsilon \rightarrow 0$，其中μ^υ是方程(9)的唯一稳态测度. 进一步地，$\mu^v \rightharpoonup \mu, v \rightarrow 0$，其中μ是方程(14)的稳态测度.

(ⅱ) 定义在$\tilde{\mathscr{X}}$上的Borel概率测度序列{K_εP_ε^υ}有弱收敛$K_{\varepsilon} P_{\varepsilon}^v \rightharpoonup P^v, \varepsilon \rightarrow 0$，其中P^υ是方程(9)的唯一稳态统计解. 进一步地，$P^v \rightharpoonup P: =\mathscr{D}(\bar{v}(t)), v \rightarrow 0$，其中v(t)是方程(14)的稳态解.

(ⅲ) 结论(ⅰ)和结论(ⅱ)中的收敛顺序与ε，υ无关，即当ε，υ→0时，有$\mu_{\varepsilon}^v \rightharpoonup \mu, P_{\varepsilon}^v \rightharpoonup P$.

证   运用Prokhorov定理，结合(6)式和(7)式得序列$\left\{K_{\varepsilon} \mu_{\varepsilon}^v\right\}_{0 < \varepsilon, v \leqslant 1}$和$\left\{K_{\varepsilon} P_{\varepsilon}^v\right\}_{0 < \varepsilon, v \leqslant 1}$分别存在弱收敛的子序列，不妨设

由Skorokhod定理知，存在随机过程$K_{\varepsilon_j} \hat{u}_{\varepsilon_j}^v(t)$和$\hat{v}(t)$，满足$K_{\varepsilon_j} P_{\varepsilon_j}^{v_j}=\mathscr{D}\left(K_{\varepsilon_j} \hat{u}_{\varepsilon_j}^{v_j}\right)$和$P=\mathscr{D}(\hat{v})$，且

记$v: =K_{\varepsilon_j} \hat{u}_{\varepsilon_j}^{v_j}, u: =\hat{u}_{\varepsilon_j}^{v_j}$，对于任意的$e \in\left\{\tilde{e}_{\gamma_j}\right\}$，考虑下面两个逼近：

结合(23)，(31)和(32)式得

运用Chebyshev不等式，结合(4)，(8)，(10)，(11)和(33)式得，对于任意的δ>0有

其中$ \bar{C}_{e, {\delta}, \lambda}$与ε_j，υ_j无关. 于是(30)式和(34)式表明

其中

接下来，使用定理1中的方法，由(35)式推出结论(ⅰ)和结论(ⅱ)成立.

通过(34)式知，在取极限的过程中，ε_j和υ_j相互独立. 于是，使用定理1中的方法，并在形式上重复定理1的证明过程，结合(6)，(7)，(12)和(13)式得到下列收敛结果：

其中，μ_εj和u_εj(t)分别是方程(15)的稳态测度和稳态解，故结论(ⅲ)成立.