对于任意向量$\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^p$，$\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^p x_i^2}$和$\|\boldsymbol{x}\|_{\iota_1}=\sum\limits_{i=1}^p\left|x_i\right|$分别表示向量x的l₂范数与l₁范数. $\mathscr{A}=\left\{i: \boldsymbol{\beta}_i^* \neq \bf{0}\right\}$表示所有非零β_i^*的i的集合，$|\mathscr{A}|$称为其基数.

与传统的低频数据相比，高频数据会包含更为细致与丰富的数据信息，其估计值也更接近真实的协方差矩阵. 本文采用文献[12]提出的方法来构造已实现协方差矩阵(RCOV，简记为R). 假设一个投资组合具有n维资产，则其已实现协方差矩阵构造为

已实现协方差矩阵的结构与一般的协方差矩阵相类似，其对角线元素为方差项，非对角线元素为协方差项. R_ijt的具体构造方法可以参见文献[12]，后文中记R_t为Σ_t^RCOV.

设Σ_t^RCOV表示t时刻n维资产的已实现协方差矩阵，定义y_t=vech(Σ_t^RCOV)为矩阵拉直算子，返回一个长度为$k=\frac{n(n+1)}{2}$的向量，其元素为Σ_t^RCOV的上三角或下三角元素，Σ_t^RCOV的自回归模型为

其中Φ_i^*为一个k×k维的参数矩阵，ε_t~N(0，Σ)且相互独立，p表示VAR模型的滞后阶数.

观察(1)式可以发现，自回归模型中的待估参数的个数k以n²的速度增加，会产生大量的待估参数，导致最小二乘估计惩罚函数的精确度大幅度下降. 为了解决这一问题，文献[11]使用文献[13]提出的LASSO惩罚函数来提升估计的精确度. 为了方便模型的估计与计算，在使用LASSO惩罚函数之前，可以先对模型进行如下的改写：

令Z_t=(y_t-1^T, …, y_t-p^T)^T为kp×1维的解释变量所组成的向量，Z =(Z_T，…，Z₁)^T为T×kp维的协变量矩阵. y_i=(y_T，i，…，y_1，i)^T(i=1，…，k)为第i个观测变量的T×1维向量，ε_i=(ε_T，i，…，ε_1，i)^T是对应的误差向量. 定义y =(y₁^T，…，y_k^T)^T，ε =(ε₁^T，…，ε_k^T)^T，设$\boldsymbol{X}=\boldsymbol{I}_N \otimes \boldsymbol{Z}$，则(1)式可以改写为

变换模型之后，引入LASSO惩罚函数，该惩罚函数不但可以将不重要的参数压缩为0，同时还可以同步进行特征选择，实现数据的降维. 文献[10]中模型(1)的参数β^*通过最小化

进行估计.

为了改进LASSO惩罚函数不满足Oracle性质的缺点，本文使用满足无偏性的MCP惩罚函数与SCAD惩罚函数来对VAR-LASSO模型进行改进.

文献[14]基于LASSO惩罚函数不满足Oracle性质提出了如下的SCAD惩罚函数：

其中a>2，λ_T≥0. 为了更进一步了解其惩罚的背后含义，可以对(4)式求导，得

可以发现，当|β_i|≤λ_T时，SCAD惩罚函数与LASSO惩罚函数拥有相同的惩罚力度，但是随着|β_i|的增加，SCAD惩罚函数的惩罚力度会逐渐降低，当|β_i|>aλ_T时，惩罚力度降为0，这保证了较大的| β |不会被过度地惩罚，确保了较大参数估计的无偏性.

文献[15]提出的MCP惩罚函数也同样满足Oracle性质，且在处理特征之间有很高相关性数据时，表现要比SCAD惩罚函数更好. MCP惩罚函数的惩罚项为

其中a>1，λ_T≥0.

MCP惩罚函数与SCAD惩罚函数的惩罚逻辑类似，随着|β_i|的增加，惩罚力度会逐渐地降低到0.

在VAR-LASSO模型的基础上，将(3)式中的λ_T‖β_i‖_l1项代换为(4)式，则VAR-SCAD模型的参数可通过如下函数估计：

将(6)式代换为(3)式中的λ_T‖β_i‖_l1项，可以得出VAR-MCP模型的参数估计函数为

在(8)式与(9)式中，还有未知的参数a需要进行估计. 不同参数a的取值会直接影响(8)式与(9)式的估计性能. 对于(8)式中的参数a，文献[14]通过蒙特卡洛模拟得出a的最优值约等于3. 7，(9)式的a在实际的使用中通常默认为3. 通常使用CV法、L曲线法^[16]、AIC信息准则等方法对λ_T进行估计，本文使用CV法进行估计.

为了后续估计参数Oracle性质的证明，先给出如下4个正则条件：

1) ε_i，1具有有限四阶矩，i=1，…，k；

2) $\boldsymbol{C}=E\left(\frac{1}{T} \boldsymbol{Z}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Z}\right)$是正定矩阵；

3) 当T→∞时，$\sqrt{T} \lambda_T \rightarrow \infty$且λ_T→0；

4) 当T→∞时，$\frac{2 \boldsymbol{x}_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varepsilon}}{\sqrt{T}}$与$\frac{2 \boldsymbol{x}_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}}{T}$均有界.

定理1  在条件1)-4)成立的情况下，当T→∞时，VAR-SCAD模型的估计参数满足如下性质：

(ⅰ) $P\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}_{\mathscr{A}c}=\bf{0}\right) \rightarrow 1$；

(ⅱ) $\sqrt{T}\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}_\mathscr{A}-\boldsymbol{\beta}_\mathscr{A}^*\right) \underset{d}{\rightarrow} N\left(\boldsymbol{0},\left[\left(\boldsymbol{I}_k \otimes \boldsymbol{C}\right)_\mathscr{A}\right]^{-1}[\mathit{\pmb{\Sigma}} \otimes \boldsymbol{C}]_\mathscr{A}\left[\left(\boldsymbol{I}_k \otimes \boldsymbol{C}\right)_\mathscr{A}\right]^{-1}\right)$.

证  令$\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}^*+\frac{\boldsymbol{\mu}}{\sqrt{T}}$且$\boldsymbol{\mu}=\left(\mu_1, \cdots, \mu_{k^2 p}\right)^{\mathrm{T}}$，则(9)式可以改写为

设$\widehat{\boldsymbol{\mu}}=\arg \min L(\boldsymbol{\mu})$，则可得$\hat{\boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{\beta}^*+\frac{\hat{\boldsymbol{\mu}}}{\sqrt{T}}$.

定义

由文献[17]中的定理11.2.1与文献[18]中第十章的定理1可得

则

记$\mathscr{T}=T \sum\limits_{i=1}^{k^2 p}\left(p_{\lambda, a}\left(\left|\beta_i^*+\frac{\mu_i}{\sqrt{T}}\right|\right)^{\mathrm{SCAD}}-p_{\lambda, a}\left(\left|\beta_i^*\right|\right)^{\mathrm{SCAD}}\right)$. 当T→∞时，对T使用中值定理，可得

令$\sum\limits_{i=1}^{k^2 p} \mathscr{T}_i=\sum\limits_{i=1}^{k^2 p} p_{\lambda, a}^{\prime}\left(\left|\beta_i^*\right|\right)^{\mathrm{SCAD}} \operatorname{sgn}\left(\beta_i^*\right) \mu_i$，展开$p_{\lambda, a}^{\prime}\left(\left|\beta_i^*\right|\right)^{\mathrm{SCAD}}$，则可得

当$\left|\beta_i^*\right| \geqslant a \lambda_T$时，$p_{\lambda, a}^{\prime}\left(\left|\beta_i^*\right|\right)^{\mathrm{SCAD}}=0$，则$\mathscr{T}_i=0$.

当$\lambda_T \leqslant\left|\beta_i^*\right|<a \lambda_T$时，由于λ_T→0，有$\left|\beta_i^*\right| \rightarrow 0$. 得出$p_{\lambda, a}^{\prime}\left(\left|\beta_i^*\right|\right)^{\mathrm{SCAD}}=0$，则$\mathscr{T}_i=0$.

当$0<\left|\beta_i^*\right| \leqslant \lambda_T$且μ_i≠0时，$p_{\lambda, a}^{\prime}\left(\left|\beta_i^*\right|\right)^{\mathrm{SCAD}}=\operatorname{sgn}\left(\beta_i\right) \lambda_T$. 结合假设2)可得$\mathscr{T}_i=\infty$.

当$0<\left|\beta_i^*\right| \leqslant \lambda_T$且μ_i=0时，可得$\mathscr{T}_i=0$.

综上所述，由Slutsky定理可得

由于V_T(μ)是一个凸函数，且V(μ)有唯一最小值点$\left(\boldsymbol{I}_k \otimes \boldsymbol{C}\right)^{-1} \boldsymbol{w}$，可得

又因为$\widehat{\boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{\beta}^*+\frac{\hat{\boldsymbol{\mu}}}{\sqrt{T}}$，可得$\hat{\boldsymbol{\mu}}=\sqrt{T}\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}-\boldsymbol{\beta}^*\right) \in O_p(1)$，则

定理1(ⅱ)得证，下面证明定理1(ⅰ).

假定对于$i \in \mathscr{A}^c, \hat {\beta_i} \neq 0$，由(9)式可得

当$\left|\hat{\beta}_i\right| \geqslant a \lambda_T$时，$p_{\lambda, a}^{\prime}\left(\left|\hat{\beta}_i\right|\right)^{\mathrm{SCAD}}=0$，则

由假设4)可得

当$0<\left|\hat{\beta}_i\right| \leqslant \lambda_T$时，$p_{\lambda, a}^{\prime}\left(\left|\hat{\beta}_i\right|\right)^{\mathrm{SCAD}}=\operatorname{sgn}\left(\widehat{\beta}_i\right) \lambda_T$，则

当$\lambda_T \leqslant\left|\hat{\beta}_i\right|<a \lambda_T$时，有

综上所述，可以得

定理2  在条件1)-4)成立的情况下，当T→∞时，VAR-MCP模型的估计参数满足如下性质：

(ⅰ) $P\left(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{\mathscr{A} c}=\bf{0}\right) \rightarrow 1$；

(ⅱ) $\sqrt{T}\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}_\mathscr{A}-\boldsymbol{\beta}_\mathscr{A}^*\right) \underset{d}{\rightarrow} N\left(\boldsymbol{0}, \left[\left(\boldsymbol{I}_k \otimes \boldsymbol{C}\right)_\mathscr{A}\right]^{-1}[\mathit{\pmb{\Sigma}} \otimes \boldsymbol{C}]_\mathscr{A} \left[\left(\boldsymbol{I}_k \otimes \boldsymbol{C}\right)_\mathscr{A}\right]^{-1}\right)$.

定理2的证明过程与定理1类似，区别在于两种模型的惩罚项，结合定理1的证明过程可得证定理2.

选取标普500指数中的18只成分股进行实证分析研究. 为了使选取的股票具有一定的波动性，同时没有明显的牛熊趋势，选取区间为2011年6月1日到2013年6月3日，共有504个股票交易日. 使用上文提到的RCOV方法，在股票交易时间内，每5分钟获得一次对数交易价格，并构建已实现协方差矩阵，一共可以得到504个已实现协方差矩阵. 并对504个已实现协方差矩阵进行数据清洗. 具体方法如下：对任意的一个已实现协方差矩阵，如果其中某一个元素的值大于其本身所在矩阵所有元素均值的正负3倍，则对该元素与该元素所在矩阵进行标记；如果某一已实现协方差矩阵有30%以上的元素被标记，则删除这个被标记的矩阵，用其相邻5个未被标记的矩阵的均值来代替这个被标记矩阵. 条件1)中$\mathit{\pmb{\varepsilon}}=\mathit{\pmb{y}}-\widehat{\mathit{\pmb{y}}}$，因为使用股票收盘价数据，所以模型误差项不会出现无穷的情况，结合后文的表 1也可以得到这样的结果，从而具有有限四阶矩. 对于条件2)，因为选用实际的股票数据不会有任意两种股票的收益率在504个交易日内完全一样，这导致股票之间的协变量是非线性相关的，从而使得矩阵Z^TZ中没有共线的行与列，所以C正定.

记$\hat{\boldsymbol{e}}_{T+h}=\operatorname{vech}\left(\hat{\boldsymbol{\mathit{\pmb{\Sigma}}}}_{T+h}-\boldsymbol{\mathit{\pmb{\Sigma}}}_{T+h}\right)$，$\hat{\boldsymbol{\mathit{\pmb{\Sigma}}}}_{T+h}^v$为$\hat{\boldsymbol{e}}_{T+h}$按行组成的矩阵，其中h≥1为向后预测的区间长度，在实证分析中将h分别设置为1，5，10，20，以研究h对模型测试精度的影响. T₁与T₂分别为测试开始与结束的时间. 在对比3种模型的测试精度时，采用l₂测试误差(l₂)、平均最大绝对误差(AMaxE)、F范数(F)与平均测试误差中位数(AMedE)这4种指标.

上述4种指标越小，代表模型的估计精确度越高，l₂测试误差对比如图 1、图 2所示.

将清洗后的数据划分为训练集与测试集两个部分，其中训练集404天，测试集100天. 在VAR模型的拟合中，默认VAR模型的滞后阶数为1.

观察表 1可得，VAR-LASSO模型在h=1，5的情况下，F范数(F)分别为26.925 0，29.577 9，而VAR-SCAD模型仅为27.036 8，29.599 3，VAR-LASSO模型的表现要优于VAR-SCAD模型. 但在平均最大绝对误差(AMaxE)与平均测试误差中位数(AMedE)这两项指标上，VAR-LASSO模型均最大，表现逊色于VAR-MCP模型与VAR-SCAD模型. 当h=10，20时，VAR-LASSO模型的F范数(F)分别为29.070 3与27.992 8，拥有3种模型中最差的测试精度. 虽然VAR-SCAD模型在h=1，5时，从指标F范数(F)来看，VAR-SCAD模型的优势相较于VAR-LASSO模型不明显，但是h=10，20时，从表 1的3种指标来看，VAR-SCAD模型的测试精确度仅次于VAR-MCP模型. 无论h取何值，VAR-MCP模型均拥有最优的估计精确性，3种评价指标均最小.

更为直观的信息可以从图 1与图 2中获得. 观察图 1可以发现，当h=1时，3种模型的测试误差差异不大，VAR-LASSO模型与VAR-SCAD模型在前期的测试误差几乎重合，VAR-MCP模型的测试误差与其误差曲线都明显较低，在测试的后期，3种模型的测试误差十分贴近，3条线几乎重合. h=5，10时，3种模型的测试误差光滑曲线走势相同，在测试前期，VAR-MCP模型与VAR-SCAD模型的测试误差点与其误差曲线较低，但当T=50时，VAR-LASSO模型的表现反而会优于VAR-MCP模型与VAR-SCAD模型. 当h=20时，可以明显看出VAR-MCP模型与VAR-SCAD模型的测试误差要小于VAR-LASSO模型. 不同h情况下的3种模型的测试误差光滑曲线走势大致相同，都是在测试前期误差较大，测试中期误差会逐渐减小，到了测试后期，误差又会慢慢增大.

图 2是小提琴图，图形内部是一个箱线图，箱线图外部颜色的宽度代表着数值分布的密集程度. 由图 2可知，相较于VAR-LASSO模型，VAR-MCP模型的异常值较小且集中. VAR-SCAD模型在h=1，5时，异常值的大小与分布与VAR-LASSO模型类似，而当h=10，20时，VAR-SCAD模型的异常值的大小与分布和VAR-MCP模型类似. 同时也可以发现，当h=20时，VAR-LASSO模型的上四分位数偏大，说明VAR-LASSO模型较大测试误差值的数量要多于VAR-SCAD模型与VAR-MCP模型. VAR-SCAD模型与VAR-MCP模型的小提琴图的底部相较于VAR-LASSO模型来说更为圆润与宽大，表明这两种模型的测试误差分布相对集中，模型也更为稳健.

综上所述，相较于VAR-LASSO模型，VAR-SCAD模型与VAR-MCP模型的测试精确性有着明显的提升，VAR-SCAD模型与VAR-MCP模型的稳健性也要优于VAR-LASSO模型. VAR-SCAD模型在h较大的情况下表现较好，VAR-MCP模型全局表现最优.

文献[19]研究指出，在变量具有相关性的情况下，SCAD惩罚函数的表现会不如LASSO惩罚函数，下面从股票相关性角度分析VAR-SCAD模型表现不佳的原因.

图 3中间为股票名，上三角单元格饼图的填充程度代表相关系数的大小，下三角单元格为相关系数热力图. 18支股票的最低相关度为0.16，51%的股票之间的相关性要高于0.5，这导致VAR-SCAD模型的参数虽然具有Oracle性质，但测试精确性在h较小的情况下不如VAR-LASSO模型，更不如可以较好处理相关性数据的VAR-MCP模型，这也与文献[19]的研究结果保持一致.

采用上文18种股票的已实现协方差矩阵构建均值—方差投资组合模型. 选取100个已实现协方差矩阵进行投资组合模型的模拟研究，在投资组合分析中，将h分别设置为1与10.

假定股票交易中没有手续费的产生，无风险收益为0. 投资组合模型的表达式为

其中1为元素均为1的向量，q是投资组合所需的预期回报率，w_t+1是投资组合中股票的权重，$\hat{\boldsymbol{\mu}}_{t+1}$为资产的期望收益率向量，其值通过50天移动平均取得.

基于VAR模型的3种模型在估计过程中都没有考虑到$\hat{\mathit{\pmb{\Sigma}}}_T$矩阵的正定性，会导致投资组合模型求解中出现病态协方差矩阵，干扰最优权重w_t+1的求解. 为了确保$\hat{\mathit{\pmb{\Sigma}}}_T$的正定性，需要对$\hat{\mathit{\pmb{\Sigma}}}_T$采用文献[11]提出的特征值替换方法对特征值λ≤0的矩阵进行正定化处理. 首先对$\hat{\mathit{\pmb{\Sigma}}}_T$进行谱分解：$\hat{\mathit{\pmb{\Sigma}}}_T=\hat{\boldsymbol{V}}_T^{\mathrm{T}} \hat{\mathit{\pmb{\Lambda}}}_T \hat{\boldsymbol{V}}_T$，其中$\hat {\mathit{\pmb{\Lambda}}_T}$为对角线元素为特征值的对角矩阵，$\hat{\lambda}_{i T}$为其对角线元素. 最后设$\hat{\lambda}_{m T}=\min \left\{\hat{\lambda}_{i T} \mid \hat{\lambda}_{i T}>0\right\}$，λ_mT是$\hat {\mathit{\pmb{\Lambda}}_T}$中最小的非负特征值. 对于满足$\hat{\lambda}_{i T}<\lambda_{m T}$的特征值，均用λ_mT代替，特征值替换后的对角矩阵用$\stackrel{\vee}{\mathit{\pmb{\Lambda}}}$表示，则正定处理后的协方差矩阵$\hat{\mathit{\pmb{\Sigma}}}_T$记为$\stackrel{\vee}{\mathit{\pmb{\Sigma}}_T}=\hat{\boldsymbol{V}}_T^{\mathrm{T}} \stackrel{\vee}{\mathit{\pmb{\Lambda}}_T} \hat{\boldsymbol{V}}_T$.

为了对比3种模型构建的投资组合模型的绩效，选用夏普比率(SP)这一指标对投资组合模型进行评价. 夏普比率表示单位风险所带来的收益，夏普比率值越大表示投资组合的收益越好.

通过表 2可以发现，在各种情况之下，VAR-MCP模型构建的投资组合均拥有最大的夏普比率. 在h=1时，VAR-LASSO模型构建的投资组合的夏普比率为0. 101 010 1，仅略大于VAR-SCAD模型构建的投资组合的夏普比率. 当h=10时，VAR-SCAD模型构建的投资组合的夏普比率为0. 101 037 2，略小于VAR-MCP模型构建的投资组合的夏普比率0. 102 079 6，此时VAR-LASSO模型构建的投资组合的表现最差，拥有最小的夏普比率0. 101 003 9.

随着信息技术的发展与数据可获取性的提高，金融数据的维度与频率都呈现出快速增长的趋势. 基于高频金融数据，本文在VAR-LASSO模型的基础上，将非凸惩罚函数即MCP惩罚函数与SCAD惩罚函数引入VAR-LASSO模型，得到了新的VAR-SCAD模型与VAR-MCP模型，并证明了VAR-SCAD模型与VAR-MCP模型估计参数的Oracle性质. 使用VAR-SCAD模型与VAR-MCP模型对高维已实现协方差矩阵进行建模，通过高频股票数据的实证研究，发现将SCAD惩罚函数与MCP惩罚函数引入VAR模型后，较好地克服了LASSO惩罚函数面对较大真实未知参数会产生较大估计误差的缺点，VAR-MCP模型在不同h的情况下均拥有最小的测试误差. VAR-SCAD模型在h较大的情况下表现优于VAR-LASSO模型，但在h较小的情况下，因为股票数据之间的高相关性，VAR-SCAD模型的表现不如VAR-LASSO模型.

最后通过构建均值—方差投资组合模型可以发现，VAR-MCP模型构建的投资组合可以为投资人带来最高的经济收益. VAR-SCAD模型构造的投资组合在h较大的情况下，表现仅次于VAR-MCP模型构造的投资组合.