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本文研究如下Klein-Gordon-Maxwell系统：
其中ω＞0，u，φ：
$ {\mathbb{R}^3} \to \mathbb{R}$ .这种类型的系统来源于一个非常有趣的物理情境，文献[1]首次研究了这类系统.随后，文献[1-5]获得了这类系统非平凡解的存在性结果.伴随着解的存在性研究，一类带有位势函数V的Klein-Gordon-Maxwell系统的径向对称解被广泛研究[6].以上文献大多数都是在径向对称空间中研究解的存在性结果，而对基态解的研究很少，只有文献[2, 5]研究了该系统的基态解.因此本文将研究一类带有位势函数V的Klein-Gordon-Maxwell系统基态解的存在情况，这里的非线性项满足的条件比一般Ambrosetti-Rabinowitz条件更弱.为了得出我们的结论，需要以下条件：(V0) V∈C(
${\mathbb{R}^3}, \mathbb{R} $ )，满足$\mathop {\inf }\limits_{x \in {\mathbb{R}^3}} $ V(x)=V0，并且对$ \forall $ M＞0，存在v0＞0，使得其中V0＞0是正常数，meas表示
$ {{\mathbb{R}^3}}$ 中的勒贝格测度；(f1)
$\mathop {\lim }\limits_{t \to 0 + } \frac{{f\left( {x, t} \right)}}{t} = 0 $ 关于$ {x \in {\mathbb{R}^3}}$ 一致成立；(f2) f∈C(
${\mathbb{R}^3} \times \mathbb{R}, \mathbb{R} $ )，存在C0＞0，4≤p＜2*，使得对于t∈$ \mathbb{R}$ ，|f(x，t)|≤C0(1+|t|p-1)关于${x \in {\mathbb{R}^3}} $ 一致成立，其中2*=6是临界指数；(f3)存在0≤σ＜V0，使得对于t∈
$\mathbb{R} $ ，有tf(x，t)-4F(x，t)≥-σt2，其中F(x，t)=$\int_0^t {f\left( {x, s} \right){\text{d}}s} $ .本文主要的结果是：
定理1 假设条件(V0)，(f1)，(f2)和(f3)成立，则系统(1) 有基态解.
注1 一方面，相比于文献[2, 5]，本文研究的是带非常值位势V的系统(1) 的基态解.另一方面，相比于文献[5]，本文研究的是非自治的系统(1) 的基态解，且非线性项f的条件不同于文献[7-9]的非线性项f的条件，也不同于文献[10]的条件.
注2 条件(V0)比强制位势条件(当|x|→+∞时，V(x)→+∞)更弱，但是由它仍能得出E
$\circlearrowleft $ Ls(2≤s＜2*)是紧嵌入(详细可见文献[11]).条件(f3)比一般的Ambrosetti-Rabinowitz条件更弱.满足假设条件(f1)，(f2)和(f3)的非线性项f是存在的，例如f(x，t)=|t|p-2t，其中4≤p＜6.
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我们引入一些空间和对应的范数：
Lp勒贝格空间的范数为
我们引入H1的子空间E：
其范数为
令C，Ci是正常数.
容易得出E连续嵌入H1，因此s∈[2，2*]也连续嵌入Ls，从而存在常数Cs＞0，使得
‖u‖s≤Cs‖u‖
定义F(u，φ)为系统(1) 对应的能量泛函，即
由于F是强不定的，为了克服这种困难，我们将(2) 式转化成只含有一个变量u的等式，这种方法已经在文献[1]中第一次被用到.通过观察可得F∈C1(E×D1，2，
$\mathbb{R} $ )，它的临界点就是系统(1) 的弱解.引理1[1] 对于每一个u∈E，存在唯一的φ=φu，φu∈D1，2满足方程Δφ=(ω+φ) u2.并且对于{x：u(x)≠0}，当ω＞0时，-ω≤φu≤0.
通过引理1，我们定义φu：E
$\to $ D1，2，这个映射是C1的，并且对$\forall $ u∈E，映射φu是Δφ=(ω+φ)u2的唯一解.从而有-Δφu+u2φu=-ωu2
因此系统(1) 可以写成以下形式：
现在考虑J：E
$\to \mathbb{R} $ ，J(u)=F(u，φu)，它是C1的.为了研究方程(3) 的弱解，我们考虑对
$\forall v $ ∈E，有容易得出F和J之间的关系：若(u，φ)∈E×D1，2，则以下(ⅰ)和(ⅱ)等价：
(ⅰ)(u，φ)是F的临界点；
(ⅱ)u是J的临界点，并且φ=φu.
因此，为了得到方程(3) 的弱解，我们研究J的临界点.
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证明解的存在性结果，是通过一系列引理来完成的，首先证明J满足山路结构.
引理2 泛函J满足：
(ⅰ)存在正常数a，ρ，使得当‖u‖=ρ时，J(u)≥a；
(ⅱ)存在u1∈E，使得当‖u1‖＞ρ时，J(u1)＜0.
证 由条件(f1)和(f2)，对
$\forall $ ε＞0，存在Cε＞0，使得根据引理1和4≤p＜6可以得出
从而存在正常数a，ρ，使得
则(ⅰ)得证.
根据条件(f1)和(f3)，存在C3，C4＞0，使得
对
$\forall u $ ∈E，t≥0，通过引理1，我们得出当t→+∞时，J(tu)→-∞.从而存在u1∈E，u1=tu，当t充分大时，使得
则(ⅱ)得证.
从而存在一个(PS)c序列{un}
$\subset $ E，使得J(un)→c和J′(un)→0，且其中
Γ={γ∈C([0,1]，E)：γ(0)=0，γ(1)=u1}
引理3 (PS)c序列{un}在E中有界.
证 对于M＞0，{un}
$ \subset $ E，使得：|J(un)|≤M -J′(un)，un〉≤on(1)‖un‖
则根据(4)，(5) 式和条件(f3)，有
所以{un}在E中有界.从而，存在子列{un}，u∈E，使得
un
$ \rightharpoonup $ u x∈E，n→+∞又因为E
$ \circlearrowleft $ Ls(2≤s＜2*)是紧嵌入，则un→u x∈Ls，2≤s＜2*，n→∞
又因为
所以{φun}在D1，2中有界.从而存在子列{φun}，ψ∈D1，2，使得当n→∞时，φun
$\rightharpoonup $ ψ.根据文献[12]得ψ=φu φun→φu
类似于文献[2]中引理2.7的证明，我们可得
类似于文献[9]中引理3.2的证明，我们可证得(PS)c条件成立.即假设条件(V0)，(f1)，(f2)和(f3)成立，{un}
$ \subset $ E是J的有界(PS)c序列，则un→u(x∈E，n→∞).则由(6) 式可得：J(un)→J(u)=c＞0 J′(un)→J′(u)=0
从而u是方程(3) 的非平凡解.
设
W={u∈E\{0}：J′(u)=0}
接下来，我们证明：存在C＞0，使得对
$ \forall u$ ∈W，都有由条件(f1)和(f2)，任给ε＞0，存在Cε＞0，使得
对
$ \forall u$ ∈W，得出根据引理1，可得
因为u≠0，从而存在C＞0，使得‖u‖≥C.
引理4 假设u0是方程(3) 的基态解，则(u0，φu0)是系统(1) 的基态解.
证 设
B={(u，φ)∈E×D1，2：(u，φ)满足系统(1)，(u，φ)≠0}
接下来证明：若u0满足J(u0)=
$\mathop {\inf }\limits_{u \in W} J\left( u \right) $ )，则F(u0，φu0)=$\mathop {\inf }\limits_{\left( {u, \phi } \right) \in B} F\left( {u, \phi } \right) $ .一方面，
另一方面，
$ \forall $ (u，φ)∈B，由引理1和文献[12]得φ=φu，则F(u，φ)=F(u，φu)=J(u)≥J(u0)=F(u0，φu0)
因此
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设
$\alpha = \mathop {\inf }\limits_{u \in W} J\left( u \right) $ .我们得到一个极小化序列{un}$ \subset $ W，可以看成(PS)α序列，使得：J(un)→α J′(un)=0
从而存在一个子列(仍然用{un}表示)和u0∈E，使得
un
$\rightharpoonup $ u0 x∈E，n→+∞根据(6) 式和un→u，我们得到：
J(un)→J(u0)=α J′(un)→J′(u0)=0
接下来，我们证明α＞0和u0≠0.
对于un∈W，我们得出
由(8) 式，我们可得
由(7) 式和(9) 式，我们得出
从而α＞0.所以我们得出u0≠0，因此u0∈W，故u0是方程(3) 的基态解.根据引理4，(u0，φu0)是系统(1) 的基态解.所以定理1得证.
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