Some Theorems of Finsler Metrics with Special Flag Curvature Properties

Xin-yue CHENG; Ting-ting LI; Li YIN; Shu-hua LIU

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2017.04.001

In this paper, we first study the Finsler metric F of weakly isotropic flag curvature with K=$ \frac{{3\theta }}{F} $+σ on a manifold M of dimension n(≥3), where θ=θ_i(x)yⁱ is a 1-form and σ=σ(x) is a scalar function on manifold M. We obtain a system of partial differential equations that θ and σ satisfy. Next, we prove that the H-curvature vanishes when F is of constant mean Berwald curvature. Finally, we discuss Finsler metrics of scalar flag curvature and of constant mean Berwald curvature. In this case, we find an identity that the flag curvature K satisfies and prove that K is actually a constant when n is greater than 2.

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芬斯勒几何中的旗曲率是黎曼几何中截面曲率的自然推广，它是由文献[1-2]首次引进的.旗曲率直接反映了芬斯勒空间的弯曲程度.研究并刻画具有特殊旗曲率性质的芬斯勒度量是芬斯勒几何中最重要的课题之一. 2003年，沈忠民教授在文献[3]中分类刻画了射影平坦且具有常数旗曲率的Randers度量(在芬斯勒几何中，这是第一个没有“流形是闭的”这一条件限制的分类定理).同年，沈忠民教授在文献[4]中给出了一般芬斯勒度量为射影平坦且具有常数旗曲率的充分条件，利用此方法，我们可以构造出很多射影平坦且具有常数旗曲率的芬斯勒度量. 2005年，莫小欢教授和沈忠民教授在文献[5]中证明了：在n(≥3) 维紧致流形上具有负标量旗曲率的芬斯勒度量一定是Randers度量.进一步，2009年，本文第一作者与沈忠民教授在文献[6]中分类了n(≥3) 维流形上具有弱迷向旗曲率的Randers度量.

芬斯勒几何学家们在芬斯勒空间中引进了若干重要的非黎曼几何量(如Cartan张量C、Berwald曲率B、H-曲率H、S-曲率S等).非黎曼几何量在黎曼空间中均为零.如果说黎曼几何量(如旗曲率、Ricci曲率等)刻画了空间的弯曲和形状，那么，非黎曼几何量则描述了芬斯勒空间的色彩的变化程度. 2003年，文献[7]证明了：具有标量旗曲率且具有迷向S-曲率的芬斯勒度量一定具有弱迷向旗曲率.文献[8]讨论了具有弱迷向旗曲率的Randers度量，证明了对Randers度量而言，具有弱迷向旗曲率的Randers度量一定具有迷向S-曲率.此外，文献[7]还对于具有标量旗曲率且具有相对迷向平均Landsberg曲率的芬斯勒度量，给出了旗曲率K和平均Cartan张量I满足的一个微分方程组.这些成果充分表明：在芬斯勒空间中，旗曲率与非黎曼几何量有着紧密的联系. 2010年，文献[9]研究了非Randers型的(α，β)-度量F，并证明了：F具有标量旗曲率且具有常数S-曲率等价于F是旗曲率为零的Berwald度量，在此情形下，F是局部Minkowski度量.因此，刻画具有特殊非黎曼曲率性质的芬斯勒度量也是芬斯勒几何中的重要课题.

1988年，文献[10]首次提出了非黎曼几何量H-曲率，并证明了：对于具有标量旗曲率的芬斯勒度量F，旗曲率仅为流形上的标量函数等价于F的H-曲率为零.

在本文中，我们首先讨论了具有弱迷向旗曲率的芬斯勒度量F，利用相关的Bianchi恒等式，结合F的旗曲率表达式，得到了θ和σ满足的一个偏微分方程组，其中θ=θ_i(x)yⁱ是一个1-形式，σ=σ(x)是流形上的一个标量函数(见本文定理1).其次，根据H-曲率的定义，我们证明了具有常数平均Berwald曲率的芬斯勒度量的H-曲率必然为零，并进一步地讨论了具有标量旗曲率且具有常数平均Berwald曲率的芬斯勒度量，得到了关于旗曲率K的两个结论(见本文定理2与定理3).

1. 预备知识

定义1^[11]  设M是一个n维光滑流形，F：TM→[0，+∞)是定义在其切丛上的非负函数.如果F满足如下条件：

(f₁)光滑性：在带孔切丛TM\{0}上，F(x，y)是C^∞函数；

(f₂)正齐次性：F=F(x，y)满足

(f₃)正则性：对于任意y≠0，

构成一个正定矩阵.

则称F为M上的一个芬斯勒度量.

F的基本张量定义为

正如在黎曼几何中一样，测地线是芬斯勒几何中的一个重要的基本概念，它可以由下述2阶微分方程组来刻画：

其中

Gⁱ=Gⁱ(x，y)称为F的测地系数^[11].

由芬斯勒度量的测地系数，我们可确定度量的黎曼曲率，其定义如下：

其中

令R_{j kl}ⁱ表示芬斯勒度量关于Berwald联络的黎曼曲率张量，R_klⁱ=y^jR_{j kl}ⁱ，则：

芬斯勒度量中的角度量张量定义为：

其中

定义2  对一个包含切向量y的二维切子空间P=span{y，u}⊂T_xM，旗曲率K=K(P，y)定义为

即旗曲率K=K(P，y)可以看作是“旗面”P=span{y，u}⊂T_xM和“旗杆”y∈P\{0}的函数.

特别地，若旗曲率K=K(P，y)是切丛TM₀=TM\{0}上的标量函数，即K(P，y)=K(x，y)，则称F具有标量旗曲率；若K=K(P，y)满足

其中θ=θ_i(x)yⁱ是一个1-形式，σ=σ(x)是流形上的一个标量函数，则称F具有弱迷向旗曲率；若K=K(P，y)是流形M上的标量函数，即K(P，y)=K(x)，则称F具有迷向旗曲率.根据Schur引理^[12]，当n≥3时，若F具有迷向旗曲率，即K=K(x)，则K为常数，此时称F具有常数旗曲率.

我们知道，对于黎曼度量，其测地系数Gⁱ=$ \frac{1}{2} $Γ_jkⁱ(x)y^jy^k是切向量y∈T_xM的二次齐次式，其中Γ_jkⁱ是Christoffel记号.然而，对于一般的芬斯勒度量，Gⁱ=Gⁱ(x，y)并不一定是切向量y∈T_xM的二次齐次式.因此，为了刻画芬斯勒度量中Gⁱ的齐次性，我们给出如下的几何量：

其中

B={B_y|y∈T_xM\{0}}称为Berwald曲率.当B=0时，芬斯勒度量F称为Berwald度量.易见：芬斯勒度量F是Berwald度量的充分必要条件为测地系数Gⁱ是关于y的二次型.

通过Berwald曲率，我们可以定义如下的Landsberg曲率：

其中

进一步，我们还可以定义平均Berwald曲率：

其中

定义3  设F是n维的芬斯勒度量，若F满足

则称F是具有迷向平均Berwald曲率的芬斯勒度量，其中c=c(x)是流形上的一个标量函数.当c为常数时，我们称F是具有常数平均Berwald曲率的芬斯勒度量.

通过平均Berwald曲率，我们又可以给出非黎曼几何量H-曲率的定义^[10]：

其中

“|”表示芬斯勒度量在Berwald联络下的水平协变导数. H-曲率刻画了度量的平均Berwald曲率E沿测地线的变化率，它是带孔切丛TM\{0}上关于y的零阶正齐次标量函数.

2. 主要结论及证明

在本节中，我们利用Berwald联络讨论相关问题.

首先，在Berwald联络下，关于黎曼曲率张量R_{j kl}ⁱ和Berwald曲率B_{j kl}ⁱ有如下重要的Bianchi等式^[13]：

对(6) 式用yⁱ和y^l缩并，我们可以得到一个新的Bianchi等式如下：

在(6) 式中，关于i，j求迹，并利用(4) 式，我们又可以得到一个新的Bianchi等式：

现在，设F是具有标量旗曲率的芬斯勒度量，即K=K(x，y)，在局部坐标下，

其中

将(11) 式两边求水平协变导数，可得

再将(11) 式分别代入(2) 式和(1) 式，我们又可以得到：

由(14) 式计算可得

将(13) 式两边求水平协变导数，并用y^m缩并，得

将(12) 式和(16) 式代入Bianchi等式(9)，可得

进一步，我们考虑具有弱迷向旗曲率的芬斯勒度量，此时

其中，θ=θ_i(x)yⁱ是一个1-形式，σ=σ(x)是流形上的一个标量函数.利用上述获得的一系列Bianchi等式，我们可以得到下面定理：

定理1  设(M，F)是n(≥3) 维芬斯勒流形.若F具有弱迷向旗曲率，即

则

其中θ=θ_i(x)yⁱ是一个1-形式，σ=σ(x)是流形上的一个标量函数.

证

设F是具有弱迷向旗曲率的芬斯勒度量.由K=$ \frac{{3\theta }}{F} $+σ得：

其中：

结合(17) 式，得

关于i，k求迹，可直接得到

这里，我们已用到

易知，当n≥3时，(18) 式成立.

接下来，我们考虑具有标量旗曲率的芬斯勒度量.在此条件之下，如果芬斯勒度量还具有常数平均Berwald曲率，那么，我们可以得到如下定理：

定理2  设(M，F)是n维芬斯勒流形，若F具有常数平均Berwald曲率，即

其中c是常数，则H=0.进一步地，若F具有标量旗曲率K=K(x，y)，则旗曲率K满足

证

设F是具有标量旗曲率和常数平均Berwald曲率的芬斯勒度量.首先证明H=0.利用Berwald联络，我们知道：

由

其中c是一个常数，可得

由

得

现在，对Bianchi等式(7) 两边用y^k缩并，得

再由(14) 式可得

结合：

可得

由H=0及(20) 式可知(19) 式成立.

事实上，(19) 式等价于(KF)_·j·l=KF_·j·l.根据Hopf极大值原理，我们可以证明，此时K只能是仅依赖于x的函数，即K=σ(x).根据Schur定理，当n≥3时，K是常数，即F此时具有常数旗曲率.所以，我们实际上证明了下面定理：

定理3  设(M，F)是n(≥3) 维芬斯勒流形.若F是具有标量旗曲率和常数平均Berwald曲率的芬斯勒度量，则F具有常数旗曲率.

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

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