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向量均衡问题已被许多学者研究，其中包含向量优化问题、不动点问题、变分不等式问题、向量相补问题、鞍点问题等许多问题，而且在经济领域有着广泛的应用.向量均衡问题解的稳定性是一个重要的研究课题.解的稳定性的研究包括研究解映射的下半连续性、上半连续性、连续性、Lipschitz连续性以及Hölder连续性等.近些年来，许多学者对均衡问题、含参均衡问题解的连续性进行了较为广泛的研究[1-9].
向量均衡模型通常是在对实际问题做出简化假设的基础上建立的，模型反映往往与实际问题存在误差，因此得到的往往是实际问题的近似解，并且在计算过程中，数值算法通常产生的也是该问题的近似解.故对近似解的研究具有一定的现实意义.目前，已有一些学者对含参均衡问题近似解的连续性进行了研究.其中，文献[10]研究了两种含参集值变分不等式近似解的连续性；文献[11]对集值拟均衡问题建立了不同的近似解，并研究了其解集的各种半连续性；文献[12]利用标量化函数研究了单值的含参均衡问题近似解的连续性；文献[13]利用文献[12]的方法研究了集值含参均衡问题近似解的连续性；文献[14]同样利用标量化的方法研究了集值的含参弱向量均衡问题近似解的连续性；文献[15]通过线性标量化函数及致密性定理研究了含参均衡问题近似解的半连续性.
基于文献[10-15]的启发(它们大多利用标量化的方法处理近似解的连续性)，本文既不需要利用标量化函数及致密性定理，也不需要单调性的假设，而是利用关键假设的方法，研究了强向量集值均衡问题近似解解集的连续性.
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设X和Y为Hausdorff拓扑线性空间，Λ和Γ为Hausdorff拓扑空间，C为Y中的闭凸点锥，K：Λ→2X与F：X×X×Γ→2Y都为集值映射.
含参集值强向量均衡问题(PSSVEP)如下：
$ \forall $ (λ，u)∈(Λ，Γ)，找到${\bar x} $ ∈X，使得${\bar x} $ ∈K(λ)，F($ {\bar x}$ ，y，u)$ \subset $ C ($\forall $ y∈K(λ)).其解集记为S(λ，u).ε-含参集值强向量均衡问题(ε-PSSVEP)如下：
$\forall $ (λ，u)∈(Λ，Γ)，找到${\bar x} $ ∈X，使得${\bar x} $ ∈K(λ)，F(${\bar x} $ ，y，u)+ε$\subset $ C ($\forall $ y∈K(λ)).其对应的近似解集记为S(ε，λ，u).显然有S(0，λ，u)=S(λ，u).定义1[16] 设X，Y为拓扑线性空间，F：X→2Y是集值映射.
(ⅰ)令x∈X，若对Y中的任意开集O，有F(x)
$\subset $ O，且存在x的开邻域N(x)$\subset $ X，使得对$\forall $ x′∈N(x)，有F(x′)$\subset $ O，则称F在x处是上半连续的；(ⅱ)令x∈X，若对Y中的任意开集O，有F(x)∩O≠∅，存在x的开邻域N(x)⊂X，使得对∀x′∈N(x)，有F(x′)∩O≠∅，则称F在x处是下半连续的；
(ⅲ)若F既是下半连续的又是上半连续的，则称F在x∈X点处是连续的.
引理1[17] 设X，Y为拓扑线性空间，F：X→2Y是集值映射.
(ⅰ)若F(x)是紧集，F在x∈X处是上半连续的当且仅当对于X中任意的网{xα}，xα→x，Y中任意的网{yα}，yα∈F(xα)，均存在y∈F(x)和{yα}的一个子网yβ，使得yβ→y；
(ⅱ)F在x∈X处是下半连续的当且仅当∀y∈F(x)，对于X中的任意网{xα}，xα→x，均存在Y中的网{yα}，yα∈F(xα)，使得yα→y.
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在本节中，我们主要讨论ε-PSSVEP的近似解集S(ε，λ，u)的下半连续性.
定义2 设X为Hausdorff拓扑空间，Y为Hausdorff拓扑线性空间，C为Y中的锥，∀ε∈Y，若∀xα→x0，∀εα→ε，H(x0)+ε⊂C，存在
$ {\bar{\alpha }}$ ，满足$ H\left( {{x}_{{\bar{\alpha }}}} \right)+{{\varepsilon }_{{\bar{\alpha }}}}\subset C$ ，则称H在x0处具有严格近似C包含性质.定理1 设X为Hausdorff拓扑线性空间，对∀(ε，λ，u)∈(Y，Λ，Γ)，若有：
(ⅰ)K(·)在Λ上是连续的，且具有紧值；
(ⅱ)F(·，·，·)在X×X×Γ上是上半连续的；
(ⅲ)
$ \forall \bar{x}$ ∈S(ε，λ，u)，∀y∈K(λ)，F(${\bar{x}} $ ，y，u)+ε⊂int C.则S (ε，λ，u)是下半连续的.证 假设S(ε，λ，u)不是下半连续的，于是存在x0∈S(ε，λ，u)，(εα，λα，uα)→(ε，λ，u)，对∀xα∈S(εα，λα，uα)，有xα
$ \nrightarrow $ x0.因为K(·)是下半连续的，所以存在网{
$\overline {{x_\alpha }} $ }∈K(λα)，则$\overline {{x_\alpha }} $ →x0.由上述假设知，存在子网{
$ $ }，使得$ {\overline {{x_\beta }} }$ →x0，且$\overline {{x_\beta }} \notin $ S(εβ，λβ，uβ).于是存在yβ∈K(λβ)，使得因为K(·)在Λ上是上半连续的，且具有紧值，于是存在y0∈K(λ)，使得yβ→y0(如有必要可取子网).又由条件(ⅲ)，对于x0∈S(ε，λ，u)，y0∈K(λ)，有
因为int C是开集，且F(·，·，·)是上半连续的，所以存在β0，对∀β≥β0，有
成立，这与(1) 式矛盾.所以结论成立.
下面给出例子说明条件(ⅲ)是必要的：
例1 令X=Y=
$\mathbb{R} $ ，Λ≡Γ=[0,1]，C=${\mathbb{R}_ + } $ ，K(λ)=[-λ，1-λ]，ε=1，F(x，y，λ)={λ(x-y)-1}
显然定理1中的条件(ⅰ)与条件(ⅱ)成立.当ε=1时，计算
此时，显然S1(λ)在λ=0处不是下半连续的.于是S(·，·，·)在(Y，Λ，Γ)处不是下半连续的.通过计算可以知道
F(x，y，0)+ε=0∉int C
不满足条件(ⅲ).
因此，在定理1中条件(ⅲ)是必要的，不可或缺的.
注1 通过例1可以发现，条件(ⅲ)不能去掉，但条件(ⅱ)与条件(ⅲ)可以被严格近似C包含性质所代替.在定理1的条件(ⅲ)中包含了解集的信息，下面定理2在关键假设——严格近似C包含性质的条件下，就有效避免了条件中解集信息的出现.
定理2 设X为Hausdorff拓扑线性空间，对∀(ε，λ，u)∈(Y，Λ，Γ)，若有：
(ⅰ)K(·)在Λ上是连续的，且具有紧值；
(ⅱ)F(·，·，·)在X×X×Γ上具有严格近似C包含性质.则S(ε，λ，u)是下半连续的.
证 假设S(ε，λ，u)不是下半连续的，于是存在x0∈S(ε，λ，u)，存在(εα，λα，uα)→(ε，λ，u)，对∀xα∈S(εα，λα，uα)，有xα
$\nrightarrow $ x0.因为K(·)是下半连续的，所以存在{
$\overline {{x_\alpha }} $ }∈K(λα)，则$\overline {{x_\alpha }} $ →x0.由上述的假设知，存在子网
$ \left\{ {\overline {{x_\beta }} } \right\} \subset \left\{ {\overline {{x_\alpha }} } \right\}$ ，使得$\overline {{x_\beta }} $ →x0，且$\overline {{x_\beta }} \notin $ S(εβ，λβ，uβ).于是存在yβ∈K(λβ)，使得又因为K(·)在Λ上是上半连续的，且具有紧值，于是存在y0∈K(λ)，使得yβ→y0(如有必要可取子网).因为x0∈S(ε，λ，u)，所以有
F(x0，y，u)+ε⊂C
由条件(ⅱ)，存在
$ {\bar \beta }$ ，使得这与(2) 式矛盾，所以结论成立.
下面给出例子说明定理2中条件(ⅱ)也是必要的：
例2 令X=Y=
$\mathbb{R} $ ，Λ≡Γ=[0,1]，C=${\mathbb{R}_ + } $ ，K(λ)=[0,1]，ε=$ \frac{1}{2}$ ，于是当λ=0时，
易知F在(x，y，0) 处不是上半连续的.事实上，可取开集
对于任意的(x，y，0) 邻域N，F(N)⊂(-1，1) 不一定成立.于是F在(x，y，0) 处不是上半连续的，且有
则定理1中的条件(ⅲ)不满足.而显然定理2中的条件(ⅱ)是成立的.
通过计算有
$ {S_\varepsilon }\left( \lambda \right) = {S_{\frac{1}{2}}}\left( \lambda \right) = \left[{0, 1} \right]$ ，显然关于参数λ的解集是下半连续的.在例2中，定理1是不可用的，但定理2可用.
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在本节中，我们主要讨论ε-PSSVEP的近似解集S(ε，λ，u)的上半连续性.
定理3 设X为Hausdorff拓扑线性空间，对于∀ (ε，λ，u)∈(Y，Λ，Γ)，若有：
(ⅰ)K(·)在Λ上是连续的，且具有紧值；
(ⅱ)F(·，·，·)在X×X×Γ上是下半连续的.
则：
(Ⅰ)S(ε，λ，u)是上半连续的；
(Ⅱ)S(λ，u)是闭集.
证 (Ⅰ)若S(ε，λ，u)不是上半连续的，则存在S(ε，λ，u)的零元邻域O，满足S(ε，λ，u)⊂O，使得对∀(εα，λα，uα)→(ε，λ，u)，都有S(εα，λα，uα)⊄O，即存在xα∈S(εα，λα，uα)，使得
由xα∈S(εα，λα，uα)，有：
由(4) 式及K是上半连续的且具有紧值，利用引理1有xα→x0∈K(λ)(如有必要可取子网).
下面证明x0∈S(ε，λ，u).事实上，若x0
$\notin $ S(ε，λ，u)，则存在y0∈K(λ)，使得于是存在z0∈F(x0，y0，u)，使得
由于K是下半连续的且y0∈K(λ)，故存在
$\overline {{y_\alpha }} $ ∈K(λα)，使得$\overline {{y_\alpha }} $ →y0.由(5) 式，对于上述的
$\overline {{y_\alpha }} $ ∈K(λα)，有又因为F是下半连续的且z0∈F(x0，y0，u0)，故存在zα∈F(xα，
$ {\overline {{y_\alpha }} }$ ，uα)，使得zα→z0.那么zα+εα∈C.由C是闭的，且zα+εα→z0+ε，于是有z0+ε∈C.与(6) 式矛盾！所以
x0∈S(ε，λ，u)
又由S(ε，λ，u)⊂O与x0∈S(ε，λ，u)成立，故有x0∈O，与(3) 式矛盾.
故S(ε，λ，u)是上半连续的.
(Ⅱ)设xα∈S(λ，u)，于是有：
设xα→x0.由(7) 式及K是上半连续的且具有紧值，故有x0∈K(λ).
对∀y0∈K(λ)，由K是下半连续的，故存在y′α∈K(λ)，使得y′α→y0.
对∀z∈F(x0，y0，u)，由F是下半连续的，故存在zα∈F(xα，y′α， uα)，使得zα→z.
由(8) 式得，zα∈C.利用C的闭性有z∈C.于是有
F(x0，y0，u)⊂C ∀y0∈K(λ)
故有x0∈S(λ，u)，即得S(λ，u)是闭集.
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综合得到ε-PSSVEP的近似解集S(ε，λ，u)的连续性.
定理4 设X为Hausdorff拓扑线性空间，对于∀(ε，λ，u)∈(Y，Λ，Γ)，若有：
(ⅰ)K(·)在Λ是连续的，且具有紧值；
(ⅱ)F(·，·，·)在X×X×Γ上是连续的；
(ⅲ)∀
${\bar x} $ ∈S(ε，λ，u)，∀y∈K(λ， x)，F($ {\bar x}$ ，y，u)+ε⊂int C.则S(ε，λ，u)是连续的.证 综合定理1、定理3可得.
定理5 设X为Hausdorff拓扑线性空间，对于∀(ε，λ，u)∈(Y， Λ，Γ)，若有：
(ⅰ)K(·)在Λ上是连续的，且具有紧值；
(ⅱ)F(·，·，·)在X×X×Γ上是下半连续的；
(ⅲ)F(·，·，·)在X×X×Γ上具有严格近似C包含性质.
则S(ε，λ，u)是连续的.
证 综合定理2、定理3可得.
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