Best Proximity Point Theorems for α-g-ψ-Proximity Contractive Multimaps in b-Rectangular Metric Spaces

定义1^[10]   设X是一非空集合，s≥1为常实数，映射d：X×X→[0，∞)，若对于任意的x，y∈X，不同的u，v∈X\{x，y}，满足：

(ⅰ) d(x，y)=0当且仅当x=y；

(ⅲ) d(y，x)=d(x，y)；

(ⅴ) d(x，y)≤s[d(x，u)+d(u，v)+d(v，y)].

则称d是X的b-矩度量，称(X，d)是带有常数s的b-矩度量空间.

设(X，d)是度量空间，A，B⊂X.本文记：

dist(A，B)=inf{d(a，b)：a∈A，b∈B}

D(x，B)=inf{d(x，b)：b∈B}

A₀={a∈A：对于某个b∈B，d(a，b)=dist(A，B)}

B₀={b∈B：对于某个a∈A，d(a，b)=dist(A，B)}

2^X\∅为X的所有非空子集，CL(X)为X的所有非空闭子集，K(X)为X的所有非空紧子集.对于任意的A，B⊂CL(X)，令

映象H称为由d诱导的广义Hausdorff度量^[5].

定义2^[5]  设多值映象T：A→2^B\∅，若存在x^*∈A₀，使得D(x^*，Tx^*)=dist(A，B)，则称x^*为T的最佳逼近点.显然，当A=B时，最佳逼近点即为T的不动点^[3].

定义3   本文用Ψ表示所有满足以下条件的映射ψ：[0，∞)→[0，∞)的集合：

(a) ψ单调非减；

(b)对于任意的t＞0和某常数s＞1，$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{s^n}} {\psi ^n}\left( t \right) $＜∞.

定义4^[5]  设(A，B)是度量空间(X，d)的一对非空子集，且A₀≠∅.对于任意的x₁，x₂∈A和y₁，y₂∈B，

可推出

d(x₁，x₂)≤d(y₁，y₂)

则称(A，B)具有弱P-性质.

定义5  设A，B是度量空间(X，d)的非空子集，非自映象T：A→2^B\∅，自映象g：A→A，α：A×A→[0，∞)，对于x₁，x₂，u₁，u₂∈A以及y₁∈T(gx₁)，y₂∈T(gx₂)，

可推出

α(gu₁，gu₂)≥1

则称映象T是α-g逼近相容的.

定义6   设A，B是度量空间(X，d)的非空子集，非自映象T：A→CL(B)，自映象g：A→A，α：A×A→[0，∞).若对于任意的x，y∈A，有

α(gx，gy)H(Tgx，Tgy)≤ψ(d(gx，gy))

则称映象T是α-g-ψ逼近压缩的.

定义7^[5]  设{x_n}⊆A，若对于任意的n，α(x_n，x_n+1)≥1且吗$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} $=x，存在子序列{x_nk} ⊆{x_n}，使得对于任意的k，α(x_nk，x)≥1成立，则称A具有(C)性质.

引理1^[12]  设(X，d)是度量空间，B∈CL(X)，那么对于x∈X且D(x，B)＞0，存在恰当的q＞1以及b∈B，使得

d(x，b)＜qD(x，B)

定理1  设A，B是完备b-矩度量空间(X，d)的非空闭子集，α：A×A→[0，∞)，ψ∈Ψ是严格递增的.非自映象T：A→CL(B)和自映象g：A→A，满足以下条件：

(ⅰ)T(A₀)⊂B₀，A₀⊂g(A)，(A，B)具有弱P-性质；

(ⅱ)映象T是α-g逼近相容的；

(ⅲ)存在x₀，x₁，x₂∈A₀和y₁∈T(gx₀)，y₂∈T(gx₁)，使得：

(ⅳ)映象T是连续α-g-ψ逼近压缩的；

(ⅴ)对于常数q′，q″＞1，B∈CL(X)以及x，y∈X且D(x，B)＞0，D(y，B)＞0，存在b∈B，使得：

d(x，b)＜q′D(x，B)     d(y，b)＜q″D(x，B)

则存在x^*∈A₀，使得D(gx^*，Tgx^*)=dist(A，B).

证  首先，由条件(ⅲ)，可知存在x₀，x₁∈A₀和y₁∈T(gx₀)，使得

假设y₁$\notin$T(gx₁)，否则x₁即为最佳逼近点.因为T是α-g-ψ逼近压缩的，所以

对于y₂∈T(gx₁)，由引理1，存在某个q＞1，使得

由(2) 和(3) 式，可得

其次，由条件(ⅲ)，可知存在x₂∈A₀，使得

由(1)，(5) 和(4) 式，以及(A，B)具有弱P-性质，可得

由于ψ∈Ψ是严格递增的，所以

ψ(d(gx₁，gx₂))＜ψ(qψ(d(gx₀，gx₁)))

记

由条件(ⅲ)，可得

重复上述步骤.一方面，假设y₁，y₂$\notin$T(gx₂)，由T是α-g-ψ逼近压缩的，所以

和

成立.对于y₁，y₂$\notin$T(gx₂)以及q′₁，q＞1，由条件(ⅴ)，存在y₃∈T(gx₂)和q₁，使得：

由(9)，(10) 和(11) 式，可得

另一方面，因为y₃∈T(gx₂)⊆B₀且A₀⊂g(A)，所以存在x₃≠x₂且gx₃∈A₀，使得

由(1)，(8)，(13) 和(12) 式，以及(A，B)具有弱P-性质，可得：

由ψ是严格递增的，可得

ψ(d(gx₂，gx₃))≤ψ²(qψ(d(x₀，gx₁)))

ψ(d(gx₁，gx₃))≤ψ(qψ(d(x₀，gx₂)))

因此，记：

由(1)，(8) 和(13) 式，以及T是α-g逼近相容的，可得

依次重复下去，可得序列{gx_n}⊆A₀和{y_n}⊆B₀，其中y_n∈T(gx_n-1)，使得：

成立.因为y_n+2∈T(gx_n+1)⊆B₀且A₀⊂g(A)，所以存在x_n+2≠x_n+1且gx_n+2∈A₀，使得

由(17)，(19) 和(18) 式，以及(A，B)具有弱P-性质，可得：

下一步，证明序列{gx_n}⊆A₀和{y_n}⊆B₀为柯西列.对于d(y_n，y_n+p)，分为p=2m+1，p=2m两种情况证明

当p=2m+1时，由b-矩度量空间的定义以及(18) 式，有

当p=2m时，可得

由ψ∈Ψ $ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{s^n}} {\psi ^n}\left( t \right)$＜∞，可得

因此，由(21)，(22) 和(23) 式可得，在p=2m+1，p=2m两种情况下，均有$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } $ d(y_n，y_n+p)=0成立.

综上所述，{y_n}⊆B₀为柯西列.由(20) 式，易知{gx_n}⊆A₀也是柯西列.因为A，B是完备b-矩度量空间(X，d)的闭子集，所以存在x′∈A和y^*∈B，使得：

在(19) 式中，令n→∞，可得

d(y^*，x′)=dist(A，B)

所以x′∈A₀，再由A₀⊂g(A)，所以存在x^*∈A，使得gx^*=x′.这说明存在x′x^*∈A，y^*∈B，使得：

且

d(y^*，x′)=d(y^*，gx^*)=dist(A，B)

由条件(ⅵ)中T是连续的和y_n∈T(gx_n-1)，可得y^*∈T(gx^*).故

dist(A，B)≤D(gx^*，T(gx^*))≤d(gx^*，y^*)=dist(A，B)

所以

D(gx^*，T(gx^*))=dist(A，B)

即映象T存在最佳逼近点.

定理2  设A，B是完备b-矩度量空间(X，d)的非空闭子集，α：A×A→[0，∞)，ψ∈Ψ是严格递增的.非自映象T：A→CL(B)和自映象g：A→A，满足以下条件：

(ⅰ) T(A₀)⊂B₀，A₀⊂g(A)，(A，B)具有弱P-性质；

(ⅱ)映象T是α-g逼近相容的；

(ⅲ)存在x₀，x₁，x₂∈A₀和y₁∈T(gx₀)，y₂∈T(gx₁)，使得

(ⅵ) A具有(C)性质且映象T是α-g-ψ逼近压缩的；

(ⅴ)对于常数q′，q″＞1，B∈CL(X)以及x，y∈X且D(x，B)＞0，D(y，B)＞0，存在b∈B，使得：

d(x，b)＜q′D(x，B)     d(y，b)＜q″D(x，B)

则存在x^*∈A₀，使得

D(gx^*，Tgx^*)=dist(A，B)

证  同定理1，可证得存在x′，x^*∈A，y^*∈B，使得：

且

d(y^*，x′)=d(y^*，gx^*)=dist(A，B)

由条件(ⅳ)中的性质(C)，存在子列{gx_nk}{gx_n}，使得对于任意的k，α(gx_nk，gx^*)≥1成立.由于T是α-g-ψ逼近压缩的，则对任意的k，有

在(24) 式中，令n→∞，可得

由度量d的连续性，可得

因为

y_nk+1∈T(gx_nk)

且：

所以y^*∈Tgx^*，故

dist(A，B)≤D(gx^*，T(gx^*))≤d(gx^*，y^*)=dist(A，B)

所以

D(gx^*，T(gx^*))=dist(A，B)

即映象T存在最佳逼近点.

推论1  设A，B是完备b-矩度量空间(X，d)的非空闭子集，α：A×A→[0，∞)，ψ∈Ψ是严格递增的.非自映象T：A→B和自映象g：A→A，满足以下条件：

(ⅰ)T(A₀)⊂B₀，A₀⊂g(A)，(A，B)具有弱P-性质；

(ⅱ)映象T是α-g逼近相容的；

(ⅲ)存在x₀，x₁，x₂∈A₀和y₁=T(gx₀)，y₂=T(gx₁)，使得：

(ⅳ)映象T是连续α-g-ψ逼近压缩的.

则存在x^*∈A₀，使得

d(gx^*，Tgx^*)=dist(A，B)

推论2  设A，B是完备b-矩度量空间(X，d)的非空闭子集，α：A×A→[0，∞)，ψ∈Ψ是严格递增的.非自映象T：A→B和自映象g：A→A，满足以下条件：

(ⅰ)T(A₀)⊂B₀，A₀⊂g(A)，(A，B)具有弱P-性质；

(ⅱ)映象T是α-g逼近相容的；

(ⅲ)存在x₀，x₁，x₂∈A₀和y₁=T(gx₀)，y₂=T(gx₁)，使得：

(ⅳ)A具有(C)性质且映象T是α-g-ψ逼近压缩的.则存在x^*∈A₀，使得

d(gx^*，Tgx^*)=dist(A，B)