Temperature Control on Rectangular Curved Edges and the Curly Top Cylinder

Zhong-cheng LIU; Cheng-kang XIE; Jing DENG

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2017.05.018

Message Board

Dear readers, authors and reviewers,you can add a message on this page. We will reply to you as soon as possible!

This paper studies the temperature control on rectangular curved edges and the curly top cylinder. By applying the backstepping method, based on corresponding conditions, we derive a kernel equation and get its solution and control law, and then prove that the closed-loop system is exponentially stable.

Corresponding author: Cheng-kang XIE ;

Received Date: 04/05/2016

Available Online: 20/05/2017

Key words:

Abstract: This paper studies the temperature control on rectangular curved edges and the curly top cylinder. By applying the backstepping method, based on corresponding conditions, we derive a kernel equation and get its solution and control law, and then prove that the closed-loop system is exponentially stable.

HTML

反应扩散方程的边界控制问题有广泛的工程背景.在对一维的反应扩散方程的边界控制的研究中，最早考虑在容器的一端加控制的情况^[1-2].当区间的一端移动时，在移动端加控制的情况已被解决^[3-4].并且对输入时滞系统的边界控制的研究也取得成功^[5].对高维系统的边界控制的研究，现在只解决了矩形区域和立方体区域^[6]，以及圆形区域上温度的边界控制^[7].在其它高维区域上的反应扩散方程的边界控制问题尚无很好的结果.因此本文首先考虑曲边矩形上的系统的边界控制，即系统

其中：a，λ＞0；φ(x)在[0，l]上可微；P={(x，y)|0＜x＜l，0＜y＜φ(x)}；u(x，y，t)为温度；U(x，t)为边界控制输入.随后考虑曲顶柱体上的系统

其中：a，λ＞0；Ω⊂ℝ²是有界开域；V={(x，y，z)|(x，y)∈Ω，z∈(0，f(x，y))}；D是Ω的边界；f(x，y)在Ω上连续；u(x，y，z，t)为温度；U(x，y，t)为边界控制输入.

本文利用反步控制(Backstepping)方法，先给出一个指数稳定的目标系统，找到边界控制将原系统转化为目标系统.随后用李雅普诺夫方法证明目标系统是指数稳定的，并证明在所给出的边界控制下闭环系统稳定.

1. 曲边矩形上的边界控制

考虑系统(1)-(3) 的控制设计.引入变换

边界控制为

1.1. 控制器设计

将(8) 式两边同时对t求导，再分别同时对x，y求二阶偏导数并化简，可得

取核函数满足

得到

此时(8) 式将系统(1)-(3) 转化成目标系统

文献[2]中已给出方程(10)-(12) 的解为

1.2. 目标系统的指数稳定性

定理1 当a＞0时，系统(13)-(14) 指数稳定.即存在常数M，N＞0，使得

其中

1.3. 逆变换及稳定性

设(8) 式的逆变换为

类似k(y，z)的求解过程，可解得

在边界控制(9) 下，系统(1)-(3) 指数稳定.

2. 曲顶柱体上的边界控制

考虑系统(4)-(7) 的控制设计，引入变换

边界控制为

2.1. 控制器设计

变换(15) 两边分别对x，y，z求二阶偏导数，对t求偏导数，并化简，可取核函数满足：

得到

此时(15) 式将系统(4)-(7) 转换成目标系统

其中Γ为V的边界.

方程(16)-(18) 的解为

2.2. 目标系统的指数稳定性

定理2 目标系统(19)-(20) 指数稳定，其中

2.3. 逆变换及稳定性

记(15) 式的逆变换为

可知

下证系统(4)-(7) 指数稳定.

对(21) 式两边求范数，得

由施瓦茨不等式可知

由于对任意(x，y)∈Ω∪D，q(z，s)在{(z，s)|z∈(0，f(x，y))，s∈(0，z)}上有界，故存在连续且在Ω∪D上有界的函数K(x，y)，满足

从而有

由此可得

由于K(x，y)，f(x，y)在Ω上有界，存在常数C＞0，满足

从而

于是，存在常数C₁＞0，使得

类似可证明存在常数C₂＞0，使得

从而有

故u(x，y，z，t)指数稳定.

4. 结论

本文主要研究了曲边矩形及曲顶柱体上温度的边界控制.应用原有的反步控制方法，根据相应条件导出核方程，进而得到核方程的解和控制律，并证明闭环系统是指数稳定的.为了更好证明理论正确性，对二维系统进行数据仿真，实验结果与理论推导相吻合.与已有的成果相比，由于所施加控制的一端的形状对控制律没有影响，因此本文扩展了原有的Backstepping方法的适用范围.

Figure (2) Reference (8)

Name
	Name cannot be empty!
E-mail
	Mailbox cannot be empty! Mailbox cannot be empty!
Telephone
	Mobile number cannot be empty! Please enter a valid mobile number!
Title

Content
Verification Code

[1]	MIROSLAV K, ANDREY S. Adaptive Boundary Control for Unstable Parabolic PDEs-Part I: Lyapunov Design[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2008, 53(7): 1575-1591. doi: 10.1109/TAC.2008.927798 CrossRef Google Scholar
[2]	MIROSLAV K, ANDREY S. Boundary Control of PDEs: a Course on Backstepping Design[M]. Philadelphia: SIAM, 2008: 13-63. Google Scholar
[3]	MOJTABA I, STEVAN D. Backstepping Output-Feedback Control of Moving Boundary Parabolic PDEs[J]. European Journal of Control, 2015(21): 27-35. Google Scholar
[4]	E F, J L, S B D. On the Controllability of a Free-Boundary Problem for the 1D Heat Equation[J]. Systems & Control Letters, 2016(87): 29-35. Google Scholar
[5]	MIROSLAV K. Control of an Unstable Reaction-Diffusion PDE with Long Input Delay[J]. System & Control Letters, 2009, 58(11): 773-782. Google Scholar
[6]	ANDREY S, MIROSLAV K. Adaptive Control of Parabolic PDEs[M]. New Jersey: Princeton University Press, 2010: 52-54. Google Scholar
[7]	JIE Q, RAFAEL V, MIROSLAV K. Multi-Agent Deployment in 3-D via PDE Control[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2015, 60(4): 891-906. doi: 10.1109/TAC.2014.2361197 CrossRef Google Scholar
[8]	张渭滨.数学物理方程[M].北京:清华大学出版社, 2007: 92-93. Google Scholar

Message Board

Temperature Control on Rectangular Curved Edges and the Curly Top Cylinder

Abstract

References

Access History

通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

Article Metrics

Access History

Other Articles By Authors