Ranks of the Semigroup S_n(k)

设[n]={1, 2, …, n }, 并赋予自然数的大小序. $\mathscr{T}$ _n是[n]上的全变换半群.令

则Sing_n是全变换半群 $\mathscr{T}$ _n的子半群, 称Sing_n为[n]上的奇异变换半群.对任意1≤k≤n, 令

则显然S_n(n)=Sing_n.易验证S_n(k)是奇异变换半群Sing_n的子半群.

通常, 有限半群S的秩定义为

如果S由它的幂等元集E生成, 那么S的幂等元秩定义为

显然有rank S≤idrank S.

变换半群秩的相关研究一直以来都是半群理论研究中的热点之一(参见文献[1-12]).文献[1]研究了[n]上的奇异变换半群Sing_n, 并得到了它的秩和幂等元秩都为 $\frac{n~(n-1)~}{2}$ .文献[2]证明了保序变换半群 $\mathcal{O}$ _n的秩和幂等元秩分别为n和2n-2.文献[9]研究了变换半群

的秩和幂等元秩.

本文将考虑半群S_n(k)的秩和幂等元秩, 证明S_n(k)是由秩为n-1的幂等元生成的, 并得到半群S_n(k)(1≤k≤n-1且k≠2) 的秩和幂等元秩都为 $\frac{{n(n - 1){\rm{ }}}}{2} + 1$ .同时, 得到半群S_n(2) 的秩和幂等元秩都为 $\frac{{n(n - 1){\rm{ }}}}{2} + 1$ .

设U是半群S的任意子集, 通常用E (U)表示U中的幂等元之集.本文未定义的术语及记号请参见文献[13].

为了叙述上的方便, 在S_n(k)上引入下面的二元关系:对任意α, β∈S_n(k), 定义：

则 $\mathscr{H}$ ^◇, $\mathscr{L}$ ^◇, $\mathscr{R}$ ^◇与 $\mathscr{J}$ ^◇都是S_n(k)上的等价关系.易见：

对1≤r≤n-1, 记

则S_n(k)有n-1个 $\mathscr{J}$ ^◇-类:J₁^◇(k), J₂^◇(k), …, J_n-1^◇(k).在顶端 $\mathscr{J}$ ^◇-类J_n-1^◇(k)中, 类似于文献[6], 我们引入以下符号：

因此, J_n-1^◇有n个 $\mathscr{L}$ ^◇-类:L₁^◇(k), L₂^◇(k), …, L_n^◇(k)和 $\frac{n~(n-1)~}{2}$ 个 $\mathscr{R}$ ^◇-类R_{(i, j)}^◇(k)(1≤i＜n≤n).注意到R_{(i, j)}^◇(k)=R_{(j, i)}^◇(k).

引理1 设1≤k≤n, α∈S_n(k), 则α是幂等元当且仅当对任意t∈im (α), 且t≤k, 如果k∈tα^-1, 有tα=t.

证 众所周知, α∈Sing_n是幂等元当且仅当对任意t∈im (α), 有t∈tα^-1.因此, α∈S_n(k)是幂等元当且仅当对任意t∈im (α), 且t≤k, 如果k∈tα^-1, 有tα=t (若k∈tα^-1, 则由α∈S_n(k)可得t=tα=kα≤k).

设α∈S_n(k), 令

引理2 设n≥3且1≤k≤n, 则

证 任取α∈S_n(k).注意到:若s (α)=1, 则显然α是幂等元, 从而α∈E (S_n(k)).假设

由S_n(k)⊆Sing_n可知r≤n-1, 从而存在j∈{1, …, r}, 使得|A_j|≥2.令：

则由α∈S_n(k)及引理1可得δ₁∈E (S_n(k)).令

则y∈A_j且y≠a_j.注意到:如果a_j∈A_j\{min A_j}, 则a_j∈A_j\{y}；如果a_j∉A_j或a_j= min A_j, 则min A_j∈A_j\{y}.令

则α=δ₁β₁.显然β₁∈S_n(k)(因为α∈S_n(k))且s (β₁)=s (α)-1.对β₁进行类似于α的讨论, 必存在δ₂∈E (S_n(k)), β₂∈S_n(k), 使得：

继续上述讨论, 必存在δ₂, δ₃, …, δ_t∈E (S_n(k)), β_t∈S_n(k), 使得α=δ₁…δ_tβ_t且s (β_t)=1(注意到β_t∈E (S_n(k)), 因为s (β_t)=1), 从而

再由α的任意性可得

引理3 设1≤k≤n且1≤s≤n-2, 则

证 当s=1时, 任取

则由引理1知a≤k.

若k=1, 则a=1.令：

则β, γ∈E (J₂^◇(k))且α=βγ.

若k≠1, 设b=min ([n]\{1, a}), 则显然a≠b.令：

则β, γ, δ∈E (J₂^◇(k))且α=βγδ.

当s≥2时, 任取

则由引理1可得a_i∈A_i (1≤i≤s).由s≤n-2可知, 存在k∈{1, 2, …, s}, 使得|A_k|≥3, 或者存在i, j∈{1, 2, …, s}且i≠j, 使得|A_i|=|A_j|=2.以下我们分两种情形证明α∈〈E (J_s+1^◇(k))〉.

情形1 存在k∈{1, 2, …, s}, 使得|A_k|≥3.注意到a_i∈A_i (1≤i≤s).设：

令：

则由α∈S_n(k)及引理1可得β, γ∈E (J_s+1^◇(k))且α=βγ.

情形2 存在i, j∈{1, 2, …, s}且i≠j, 使得

注意到a_i∈A_i (1≤i≤s), 设：

令：

则由α∈S_n(k)及引理1可得β, γ∈E (J_s+1^◇(k))且α=βγ.

综上所述, 由α的任意性可知

类似于文献[9], 我们用符号[i→j](i≠j)表示半群Sing_n中秩为n-1的幂等元ε, 这里iε=j, xε=x (x≠i).设E_n-1是半群Sing_n中秩为n-1的幂等元之集, 则

任意取定1≤k≤n-1, 令

则易验证

引理4 设1≤k≤n, 则S_n(k)=〈E_n-1\E^Δ(k)〉.

证 注意到

由引理2、引理3可得

从而由

可得

为方便起见, 我们用符号 $\left[ \begin{align} & {{A}_{1}} & \ldots & {{A}_{r}} \\ & {{a}_{1}} & \ldots & {{a}_{r}} \\ \end{align} \right]$ 表示半群Sing_n中满足如下条件的元素α：

利用上述符号, 显然有：

令：

任意取定1≤k≤n-1, 令：

则显然有：

引理5 设n≥3, 则

证 由引理4可得

只需要证明：

任意取[a→b]∈E_n-1\E^Δ(k), 分以下3种情形讨论：

情形1  a＞b.若a＞b+1, 则

若a=b+1且a=k+1, 则

若a=b+1且a≠k+1, 则

从而

注意到a＞b≥1, 以下分3种子情形讨论：

子情形1.1 a≠k.注意到

且

令

则β∈〈G (k)〉, 且

于是

从而

子情形1.2 a=k=2.显然b=a-1=1, 从而

子情形1.3 a=k≥3.显然b=a-1=k-1.注意到

且

令

则β∈〈G (k)〉, 且

于是

从而

情形2  a＜b.若b=a+1, 则由

可得a≠k, 从而

若b＞a+1, 则

注意到

由[a→b]∈E_n-1\E^Δ(k)可得k∉{a, …, b-1}, 从而

令

则β∈〈G (k)〉, 且

于是

从而

综上所述, 我们已证明:若1≤k≤n-1且k≠2, 则[a→b]∈〈G (k)〉；若k=2, 则[a→b]∈〈G (k)∪{[2→1]}〉.再由[a→b]的任意性可得：

引理6 设1≤k≤n-1, G是S_n(k)的生成集, 则对任意1≤i＜j≤n, 有

证 设β=[j→i], 则显然β∈S_n(k)∩R_{(i, j)}^◇(k).由G是S_n(k)的生成集可知, 存在α₁, α₂, …, α_r∈G, 使得β=α₁α₂…α_r (r≥1), 于是由|im (β)|=n-1(因为β∈J_n-1^◇)及|im (α_i)|≤n-1(因为α_i∈G⊆S_n(k)⊆Sing_n)可推出

于是ker (β)=ker (α₁), 从而β $\mathscr{R}$ ^◇α₁.故α₁∈G∩R_{(i, j)}^◇(k)(因为β∈R_{(i, j)}^◇(k)).因此

引理7 设n≥3, G是S_n(2) 的生成集, 则|G∩R_{(1, 2)} ^◇(2) |≥2.

证 设ε∈{[1→2], [2→1]}, 则ε∈S_n(2) ∩R_{(1, 2)} ^◇(2).由G是S_n(k)的生成集可知, 存在α₁, …, α_r∈G, 使得ε=α₁α₂…α_r (r≥1).由ε∈J_n-1^◇可得α_r∈J_n-1^◇(否则|im (ε)|=|im (α₁α₂…α_r)|≤|im (α_r)|≤n-2, 矛盾), 于是

从而

即ε $\mathscr{L}$ ^◇α_r.我们断言α_r $\mathscr{H}$ ^◇ε.由α_r∈G⊆S_n(2) 可得1α_r≤2且2α_r≤2.注意到α_r∈J_n-1^◇.

若ε=[1→2], 则

于是

从而

即α_r $\mathscr{R}$ ^◇ε.因此α_r $\mathscr{H}$ ^◇ε.

若ε=[2→1], 则

于是

从而

即α_r $\mathscr{R}$ ^◇ε.

因此α_r $\mathscr{H}$ ^◇ε.再由im ([1→2])≠im ([2→1])可得([1→2], [2→1])∉ $\mathscr{H}$ ^◇, 从而|G∩R_{(1, 2)} ^◇(2) |≥2.

本文的主要结论为：

定理1 设n≥3, 则

证 注意到：

由引理5可得

从而

由引理6可知, S_n(k)的任意生成集都必须覆盖S_n(k)的顶端 $\mathscr{J}$ ^◇-类J_n-1^◇中每个 $\mathscr{R}$ ^◇-类.注意到J_n-1^◇有 $\frac{n~(n-1)~}{2}$ 个 $\mathscr{R}$ ^◇-类, 再由引理7可得

因此