Multiplicity of Positive Solutions for the Choquard Equation with a Disturbance Term

本文主要研究方程

正解的多重性.其中N≥3, α∈(0, N), p∈ $\left( \frac{N+\alpha }{N},\frac{N+\alpha }{N-2} \right)$ , f满足条件(f₁), (f₂)：

(f₁) f∈L²( $\mathbb{R}$ ^N)\{0}；

(f₂) f (x)≥0 (∀x∈ $\mathbb{R}$ ^N).

V_μ(x)=1+μg (x), μ＞0是一个变量, g (x)满足条件(g₁), (g₂), (g₃)：

(g₁) g (x)∈C ( $\mathbb{R}$ ^N, $\mathbb{R}$ ), g (x)≥0 (∀x∈ $\mathbb{R}$ ^N)；

(g₂) Ω=int g^-1(0) ≠∅是有界的光滑区域, 且Ω=g^-1(0)；

(g₃)存在M＞0, {x∈ $\mathbb{R}$ ^N|g (x)≤M}是非空且测度有限的集合.

K_α: $\mathbb{R}$ ^N→ $\mathbb{R}$ 是Riesz位势,

带Hartree项的椭圆方程是最近几年的研究热点之一.文献[1]研究并得到了这类方程最小解的存在性和唯一性.文献[2]得到了其基态解及相关性质.文献[3]研究了这类方程的正解和变号解.文献[4]提出了带有扰动项的Choquard方程, 并且用集中紧性原理和分歧理论证明了方程存在两个正解及分歧点.文献[5-6]研究了带有陡峭位势的Choquard方程

并得到了方程(2) 基态解的存在性和解的集中性.受以上结果的启发, 本文主要研究带有扰动项的这类方程在N维空间下正解的多重性.

本文主要的结果是：

定理1 若N≥3, α∈(0, N), p∈ $\left( \frac{N+\alpha }{N},\frac{N+\alpha }{N-2} \right)$ , V_μ(x)=1+μg (x), 函数f, g满足条件(f₁)-(f₂), (g₁)-(g₃).则存在常数μ_*, δ, 使得当μ＞μ_*＞0, |f|₂＜δ时, 方程(1) 存在两个正解.

为了证明定理, 令

由文献[6]知 $\mathscr{H}$ 是希尔伯特空间, 其内积和范数分别为：

易知方程(1) 的弱解和泛函I的临界点是一一对应的.定义方程(1) 的能量泛函I: $\mathscr{H}$ → $\mathscr{R}$ ：

其中

由条件(f₁)-(f₂), (g₁)-(g₃)可知, I∈C¹( $\mathscr{H}$ , $\mathbb{R}$ ).若u∈ $\mathscr{H}$ 是I的一个临界点, 即对任意的v∈ $\mathscr{H}$ , 有

引理1若{u_n}⊂ $\mathscr{H}$ 是I的有界(PS)_c序列, u_nu₀∈ $\mathscr{H}$ .那么u_n→u₀∈ $\mathscr{H}$ , I (u₀)=c.反之, c≥I (u₀)+m.其中：

证 因为{u_n}是I的有界(PS)_c序列, 则有：

由u_nu₀∈ $\mathscr{H}$ , 令v_n=u_n-u₀, 在H中有v_n0.类似文献[6]中引理2.6的相关计算, 可得

在 $\mathscr{H}$ 中, 当v_n→0时, 有u_n→u₀∈ $\mathscr{H}$ , $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } $ I (u_n)=I (u₀)=c.

当‖v_n‖_μ→η＞0时, 取一个序列{t_n}, 满足

化简整理可得

故

所以t_nv_n∈ $\mathscr{M}$ .由文献[6]可知, {v_n}是I₀(u)的(PS)_c序列, 且：

根据m的定义, 有

等式(3) 两边取极限, 有c≥I (u₀)+m.

引理2 令S_r={u∈ $\mathscr{H}$ :‖u‖_μ=r}, B_r={u∈ $\mathscr{H}$ :‖u‖_μ＜r}, B_r是一个闭凸集.则存在常数r, ρ＞0, 使得：

证由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式^[7]可知

当μ＞0时, 根据Sobolev嵌入和范数的定义, 存在常数b＞0, 有：

故存在 $r={{\left( \frac{p}{2b{{c}_{N,\alpha ,p}}} \right)}^{\frac{1}{2p-2}}},\rho =\frac{{{r}^{2}}}{8}>0,$ 当 ${{\left\| u \right\|}_{\mu }}=r,\left| {{f}_{2}} \right|\le \frac{r}{8}$ 时, 有

当u∈ $\mathscr{H}$ 使得∫ _{$\mathbb{R}$ ^N}fudx＞0时, 因为当t→0时, 有

所以存在t₀, 使得t₀u∈B_r, $\underset{u\in {{B}_{r}}}{\mathop{\text{inf}}}\,$ I (t₀u)＜0.

引理3 泛函I满足下列条件：

(ⅰ)存在r, ρ＞0, 使得当‖u‖_μ=r时, 有I≥ρ＞0；

(ⅱ)存在e∈ $\mathscr{H}$ , 使得‖e‖_μ＞r且I (e)＜0.

证  (ⅰ)由引理2已证. (ⅱ)当t＞0, w＞0时, 有：

即t充分大时, 存在‖u+t₀w‖_μ＞r, 使得I (u+t₀w)＜0.故令e=u+t₀w, 则I (e)＜0.

引理4 设f_y(x)=(1+x²)^p(1+y²)^p-1-(x²)^p(y²)^p-p (x²+y²).当x∈ $\mathbb{R}$ , y∈ $\mathbb{R}$ , α∈(0, N), p∈ $\left( \frac{N+\alpha }{N},\frac{N+\alpha }{N-2} \right)$ 时, min f_y(x)≥0.

证 因为p≥1, 当x＞0时, 有

同理可得, 当x＜0时, f_y′(x)＜0, 则函数f_y(x)在(-∞, 0) 上单调递减, 在(0, +∞)上单调递增, 故函数f_y(x)在零点取得极小值.又因

所以min f_y(x)≥0.

定理1的证明

由文献[8]中定理4.1的Ekeland变分原理可知, 存在极小化序列{u_n}⊂B_r, 使得：

由标准计算可知：

其中c₀是I在B_r中的极小值.由B_r是一个闭凸集, {u_n}显然有界.则存在u_*∈B_r, 使得u_nu_*(x∈ $\mathscr{H}$ ).又因为

由引理1可知, 在 $\mathscr{H}$ 中u_n→u_*, $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } $ I (u_n)=I (u_*)=c₀＜0.对任意v∈ $\mathscr{H}$ , 有

那么u_*是I的临界点, 且u_*≠0.下证u_*≥0.当v=u_*^-时, 因为

所以

由强极大值原理有u_*＞0.所以u_*是方程(1) 的一个正解.

由引理3知, I具有山路结构.由山路引理^[9], 存在序列{u_n}⊂ $\mathscr{H}$ , 使得当n→∞时, 有：

其中：

首先对c估值, c＜I (u_*)+m.事实上, 由引理4可知

因为

又因u_*是方程(1) 的一个正解, 则

根据(6), (7) 式可知

设w是I₀的临界点^[6], 当t=1时, 有

即

对I₀(tw)关于t求二阶导, 有

当 $t \in \left( {\frac{1}{{{{(2{p_1})}^{\frac{1}{{2p - 2}}}}}}, + \infty } \right)$ 时, I₀′(tw)单调递减.又因I₀′(w)=0, 所以当t＞1时, I₀(tw)＜I₀(w).由m的定义, I₀(tw)＜I₀(w)＜m.所以：

其次证明{u_n}有界.

当p＞1时, {u_n}在 $\mathscr{H}$ 中有界, 从而存在子列(不妨记为{u_n})及u_**∈ $\mathscr{H}$ , 使得当n→∞时, 在H中有u_nu_**.对任意φ∈ $\mathscr{H}$ , 有〈I′(u_**), φ〉=0, 故u_**是方程(1) 的一个弱解.

当I (u_**)＜I (u_*)＜0时, u_**≠0；

当I (u_**)≥I (u_*)时, 根据c的估值, c＜I (u_*)+m≤I (u_**)+m.由引理1知, 在 $\mathscr{H}$ 中u_n→u_**, $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } $ I (u_n)=I (u_**)=c＞0.则u_**≠0.下证u_**≥0.当φ=u_**^-时, 有

所以‖u_**^-‖_μ²=0, u=u_**⁺≥0.再由强极大值原理知u_**＞0.综上可知u_*, u_**是方程(1) 的两个正解.