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本文研究如下一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff方程：
其中, a＞0, b＞0, Ω是$\mathbb{R}$3中的一个有界光滑区域, 且0∈Ω. Sobolev空间H01(Ω)中的范数为
当a=1, b=0, f (x, u)=0时, 方程(1) 已被广泛研究, 文献[1]得到了其正解的存在性.当a＞0, b≥0时, 方程(1) 为Kirchhoff方程.近年来, Kirchhoff方程引起了许多学者的兴趣, 文献[2-5]得到了很多有关Kirchhoff方程的临界指数正解的存在性结论.但至今类似方程(1) 的带Hardy-Sobolev临界指数的奇异Kirchhoff方程仍未被研究.受到文献[1, 4]的启发, 本文将研究方程(1) 正解的存在情况.我们定义I为方程(1) 对应的能量泛函, 即
其中u±=max{± u, 0}, F (x, u)为f (x, u)的原函数, 记
如果u∈H01(Ω)且u＞0, 并满足
我们称u是方程(1) 的正解.
本文主要的结果是：
定理1 假设a＞0, 0＜b＜A-2, 且f满足条件(f1), (f2)：
(f1) f∈C (Ω×$\mathbb{R}$+, $\mathbb{R}$+)且$\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to {0^ + }} $ $\frac{{f(x, t)}}{{{t^3}}}$=0, 当x∈Ω时, 一致地有$\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to { + ^\infty }} $ $\frac{{f(x, t)}}{{{t^5}}}$=0成立；
(f2)存在常数ρ, ρ＞4, 使得对所有x∈Ω, t∈$\mathbb{R}$+\{0}, 有0＜ρF (x, t)≤f (x, t) t成立.
此时, 方程(1) 至少有一个正解.
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我们定义Hardy-Sobolev常数
由文献[6]知, 当Ω=$\mathbb{R}$3, ε＞0, yε(x)=$\frac{{{{(2\varepsilon)}^{\frac{1}{2}}}}}{{}}\varepsilon + \left| x \right|$时, A可以达到.显然yε(x)是方程-Δu=$\frac{{{u^3}}}{{\left| x \right|}}$在$\mathbb{R}$3\{0}的解.令cε=(2ε)${^{\frac{1}{2}}}$, Uε(x)=$\frac{{{y_\varepsilon }(x)}}{{{c_\varepsilon }}}$, 我们可以选择R＞0, φ∈C0∞(Ω)为截断函数, 且满足:当|x|≤R时, φ(x)=1；当|x|≥2R时, φ(x)=0；当B2R(0) ⊂Ω时, 0≤φ(x)≤1.定义：
则
运用类似文献[7]的方法, 我们有：
其中本文出现的Ci(i=1, 2, 3, …)均表示不同的正常数.
引理1 若a＞0, 0＜b＜A-2, 且f满足条件(f1), (f2), 如果{un}⊂H01(Ω)为I的(PS)c序列, 且c∈$\left({0, \frac{{{{\left({aA} \right)}^2}}}{{4(1 -b{A^2})}}} \right)$, 则{un}在H01(Ω)中有强收敛子列.
证 设{un}是I的(PS)c序列, 对于c∈$\left({0, \frac{{{{\left({aA} \right)}^2}}}{{4(1 -b{A^2})}}} \right)$, 有：
首先, 我们证明{un}有界.由条件(f2)可得
可知{un}有界, 从而存在子列(不妨仍记为{un})及u∈H01(Ω), 使得当n→∞时, 有un
令
当E⊂Ω, mes E＜δ时, 有
因此∫Ωf (x, un) undx:n∈$\mathbb{R}$是等度绝对连续的.从而根据Vitali收敛定理[8], 可知
使用同样的方法, 有
令wn=un-u, 假设$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } $‖wn‖=l (l为正常数)成立.由于在(H01(Ω))*中, 有I′(un)→0, 则
这里的o (1) 是n→∞时的无穷小量.又因为un
由文献[7], 有
再结合(7) 式, 可得
由(6) 式可知
一方面, 由(11) 式及条件(f2), 可得
另一方面, 通过(10) 式和(11) 式, 可得：
由(14) 式及(2) 式, 有
又因b＜A-2, 有
再通过(13) 式和(14) 式可知, 当n→∞时, 有
与(12) 式矛盾, 所以假设不成立, 即
从而在H01(Ω)中, 当n→∞时, un→u, 因此I满足(PS)c条件.
引理2 若a＞0, 0＜b＜A-2, 且f满足条件(f1), (f2), 则存在常数ε1＞0, 对于任意的ε∈(0, ε1), 有$\mathop {{\rm{sup}}}\limits_{t \ge 0} I(tv\varepsilon)＜\frac{{{{\left({aA} \right)}^2}}}{{4(1 -b{A^2})}}$成立.
证考虑如下函数：
由于b＜A-2, 从而：
当t→0+时, g (t)＞0, 所以存在tε＞0, 使得$\mathop {{\rm{sup}}}\limits_{t \ge 0} $ g (t)达到.又由于
从而
令
由(5) 式可知
从而
由条件(f2), 容易得到
再由(3), (4), (5) 及(15) 式可得
当ε足够小, 且ρ＞4时, ${C_9}\varepsilon -{C_{11}}{\varepsilon ^{\frac{{6 -\rho }}{4}}}$＜0.因此存在常数${\varepsilon _1} = \frac{{1 -b{A^2}}}{{b{C_6}}}$＞0, 当ε∈(0, ε1)时, 有
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由条件(f1)可知, 存在常数M＞0, 使得对所有ε＞0, t∈$\mathbb{R}$+, x∈Ω, 有|f (x, t)|≤εt3+Mt5成立, 从而有
又因为
由于ε足够小, 则存在足够小的α＞0及β＞0, 使得当‖u‖=α时, 有I (u)≥β成立.由引理2可知
又由于
从而
因此存在t0＞0, 取u0=t0vε, 使得当‖u0‖＞α时, 有I (u0)＜0成立.
由山路引理[9]知, 存在{un}∈H01(Ω), 使得当n→∞时, 有
其中：
由引理2, 有
由引理1可知{un}⊂H01(Ω)有强收敛子列(仍记为{un}), 假设u∈H01(Ω), 且{un}收敛到u, 通过I′的连续性, 可知u是方程(1) 的弱解.由〈I′(u), u-〉=0, 可得‖u-‖=0, 从而u≥0, 又当c＞0时, u≢0, 由强极大值原理知u是方程(1) 的正解.
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