A New Exponential Stability Criterion for Impulsive Differential Dynamical Systems with Discrete Delays

本文对一类Cohen-Grossberg神经网络(CGNNs)的稳定性问题进行了研究. CGNNs在多领域都有其应用前景, 如模式识别、并行计算、联想记忆、组合优化、信号和图像处理等.然而, 这些成功的应用都依赖于CGNNs平衡解的稳定性.现在我们考虑用压缩映像原理来给出CGNNs的稳定性判据.由于脉冲项增加了不动点方法运用的难度, 我们考虑设置一些新条件, 通过数学分析技巧, 获得了一个新的基于LMI条件的指数型稳定判据.

考虑如下CGNNs模型：

其中：

a_j(x_j(t))和b_j(x_j(t))分别表示t时刻的放大函数与恰当行为函数.

为神经元激活函数, 离散时滞τ_j(t)∈[0, τ]. D=(d_ij)_n×n, 其中d_ij表示连接系数.脉冲时刻t_i(i=1, 2, …)满足0=t₀＜t₁＜t₂＜…, $\mathop {\lim }\limits_{i \to \infty } $ t_i=+∞. x_j(t_i⁺)和x_j(t_i^-)分别表示x_j(t)在t_i时刻的右极限和左极限. ζ_ji(x_j(t_i))表示x_j(t)在脉冲时刻t_i的变化量, 并且ζ_ji(·)∈C[ $\mathbb{R}$ , $\mathbb{R}$ ].

本文假设：

(H1) 存在正定对角矩阵G=diag (G₁, …, G_n), 使得

(H2) 存在正定对角矩阵A=diag (a₁, …, a_n)和 ${\mathit{\boldsymbol{\tilde A}}}$ =diag ( ${\tilde a}$ ₁, …, ${\tilde a}$ _n), 使得：

(H3) 存在正定对角矩阵H=diag (h₁, …, h_n), 使得

(H4) 存在正定对角矩阵Γ=diag (γ₁, …, γ_n), 使得

在给出本文主要结果之前, 我们还需假设 $\mathop {{\rm{inf}}}\limits_i $ (t_i-t_i-1)≥μ, 其中μ＞0是常数.

定理1 假如存在正数λ＜1, 使得以下线性不等式成立：

则系统(1) 是全局指数型稳定的.

证 下面分3步来证明定理1：

步骤1 建立函数空间框架.

设 $\mathscr{R}$ = $\mathscr{R}$ ₁× $\mathscr{R}$ ₂×…× $\mathscr{R}$ _n, 而 $\mathscr{R}$ _j(j∈N)是由函数q_j(t):[-τ, ∞)→ $\mathbb{R}$ 构成的, 满足对任意j∈ $\mathscr{N}$ , 有：

(a) q_j(t)关于t∈[0, ∞)连续, 且t≠t_i(i=1, 2, …)；

(b) q_j(θ)=φ_j(θ), -τ≤θ≤0；

(c) e^βtq_j(t)→0 (t→+∞), 其中β＞0是常数, 满足β＜min $\{\mathop {{\rm{lim}}\;{\rm{inf}}}\limits_{t \to + \infty } \frac{{\smallint _0^t{\Upsilon _j}(s){\rm{ d}}s}}{t},{\gamma _j}\}$ ；

(d)极限 $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to t_i^ - } $ q_j(t)和 $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to t_i^ + } $ q_j(t)都存在, 此外, $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to t_i^ - } $ q_j(t)=q_j(t_i) (i=1, 2, …).

显然, $\mathscr{R}$ 是以下距离意义下的完备距离空间：

其中：

特别指出, 以下涉及的极限都是指在此距离下的极限.

步骤2 构造 $\mathscr{R}$ 上的映射.

将系统(1) 的第一个方程写成分量形式, 两边积分, 则对于t＞0及t≠t_i(i=1, 2, …), 有

让ε＞0足够小, 再从t_i-1+ε积分到t∈(t_i-1, t_i)(i=1, 2, …), 有

令ε→0, 则

取t=t_i-ε(ε＞0), 则有

令ε→0, 有

则由(4) 式得出

让(5) 式在相间脉冲点间积分相加, 不难得到

综上分析, 我们定义映射Φ:x (t)→Φ(x)(t), 其中：

此外, 对于任给的j∈ $\mathscr{N}$ , Φ(x_j)(t):[-τ, ∞)→ $\mathbb{R}$ 满足

以及Φ(x_j)(θ)=φ_j(θ)(-τ≤θ≤0).

接着我们证明Φ( $\mathscr{R}$ _j)⊂ $\mathscr{R}$ _j (∀j∈ $\mathscr{N}$ ).显然条件(a)和(b)在Φ( $\mathscr{R}$ _j)中成立.下证x_j(t)∈ $\mathscr{R}$ _j,

显然

首先由β＜ $\mathop {{\rm{lim}}\;{\rm{inf}}}\limits_{t \to + \infty } \frac{{\smallint _0^t{\Upsilon _j}(s){\rm{ d}}s}}{t}$ 知 ${e^{\beta t}}{e^{ - \smallint _0^t{\Upsilon _j}(s){\rm{ d}}s}} = {e^{{{\left( {\beta - \frac{{\smallint _0^t{\Upsilon _j}(s){\rm{ d}}s}}{t}} \right)}^t}}} \to 0{\rm{ }}(t \to + \infty )$ .从而

其次, 由条件(H1) -(H4)、积分换元法、函数(∫₀^TΥ_j(s) ds-βt)关于t的递增性, 以及x_j满足条件(c), 不难推导得

由ε的任意性知

且仍由ε的任意性知

于是由(7) -(10) 式知, |e^βtΦ(x_j)|→0 (t→+∞).换而言之, 条件(c)成立.

再证条件(d)也在Φ( $\mathscr{R}$ _j)中成立.

事实上, 由(6) 式有

这里：

显然Q₁→0 (r→0).在(11) 式中, 让r＜0足够小, 则由

有l $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to {0^ - }} $ Q₂=0.让r＜0足够小, 有

这意味着

从而条件(d)在Φ( $\mathscr{R}$ _j)中成立.所以Φ( $\mathscr{R}$ _j)⊂ $\mathscr{R}$ _j.

步骤3 证明Φ是 $\mathscr{R}$ 上的压缩映射.

事实上, 对任给的x (t)=(x₁(t), …, x_j(t), …, x_n(t))^T∈ $\mathscr{R}$ , y (t)=(y₁(t), …, y_j(t), …, y_n(t))^T∈ $\mathscr{R}$ , 由(6) 式、三角不等式、微分中值定理、距离定义式子以及LMI条件(2), 不难推导得

则由距离的定义, 进一步有

这就证明了Φ是 $\mathscr{R}$ 上的压缩映射, Φ在 $\mathscr{R}$ 上有唯一的不动点x (t), 也是系统(1) 关于每个给定初值φ(θ)对应的唯一解, 满足e^βt‖x (t)‖→0 (t→∞).

注1 相比已知文献[1-4], 本文定理1的判据条件是线性矩阵不等式, 可以用计算机Matlab LMI工具箱来执行, 方便实际工程中的大型运算, 这是本文的创新点.本文的方法也不同于有关脉冲时滞系统的相关文献中的方法^[5-6].以下数值实例证实了我们方法的有效性：

例1 给系统(1) 配置如下参数：

那么直接运用计算机Matlab LMI工具箱解LMI条件(2), 获得可行性问题解的数据如下

λ=0.875 3

显然0＜λ＜1, 由定理1知, 系统(1) 是全局指数型稳定的.