Generalization of a Class of Integral Inequalities with Gronwall-Bellman Type for Discontinuous Functions

假设

(H₁) ϕ在[0，∞)是严格增的连续函数，对任意的u＞0，ψ(u)＞0；

(H₂) w_i (i=1，2) 在[0，∞)上是连续不减函数，在(0，∞)上是正的，且$\frac{{{w}_{2}}}{{{w}_{1}}}$是不减的；

(H₃) a(t)是定义在[t₀，∞)上的连续函数，a(t₀)≠0；

(H₄) f_i(t，s) (i=1，2) 和f(t，s)，g(s，t)是定义在[t₀，∞)×[t₀，∞)上的非负连续函数；

(H₅) β_i≥0是常数.

定理1  具有第一类不连续点$\left\{ {{t}_{i}}:{{t}_{0}} < {{t}_{1}} < {{t}_{2}}\cdots, \mathop {\lim }\limits_{i \to \infty } {\mkern 1mu} {t_i}=\infty \right\}$的非负逐段连续函数u(t) (t≥t₀≥0) 满足积分不等式(1)，则函数u(t)有下面的估计式：

其中

证  令

由于f(t，s)，g(t，s)，w(u(t))都是连续函数，得

由(2)，(4)，则(1) 式变为

首先，我们考虑情况t∈[t₀，t₁)，任取T∈[t₀，t₁)，对任意t∈[t₀，T]，由(5) 式，可得

令

则v(x)为非负不减的连续函数，且

对式(7) 求导，得

令

由(9) 和(10) 式可得

对(10) 式两边从t₀到t同时积分，并利用W_i(t)的定义，我们得到

由于W₁(v(t₀))=W₁(e₁(t₀))，则(11) 式可写为

令

由(14) 和(15)，则(13) 式变为

令

则v₁(t)在[t₀，t₁)是连续不减的函数，且

定义函数

则

对(18) 式的两边，从t₀到t积分，我们得到

由(10)，(17)，(19) 式可得

由(20) 式可得

由(17) 式，我们可以推出

由(22)，(21) 式可变为

由(23) 式可推出

由(8)，(14) 和(24) 式可得

其中

由T的任意性可得

当t∈[t₀，t₁)时我们证明了估计式.

当t∈[t₁，t₂)时，任意确定T₁∈[t₁，t₂)，对于任意的t∈[t₁，T₁]，不等式(4) 变为

令Γ(t)表示(25) 式的右边，

则Γ(t)是单调不减函数，且有

对Γ(t)的两边关于t求导得

使(27) 式两边同时除以w₁(ϕ^-1(Γ(t)))，可得

又对(28) 式两边从t₁到t积分可得

则

从而(28) 式变为了(11) 式的形式，利用相同的方法可以得到估计式

同理，对任意自然数k，当t∈[t_k，t_k+1)时，我们可以得到未知函数的估计式

综上定理被证明.

本节我们用得到的结果给出脉冲微分系统解的上界估计.考虑脉冲微分系统

其中：$0\le {{t}_{0}} < {{t}_{1}} < {{t}_{2}} < \cdots, \mathop {\lim }\limits_{i \to \infty } {\mkern 1mu} {t_i}=\infty, c>1 $是常数，F(t，x)关于t，x在[t₀，∞)×s(-∞，+∞)上连续.假设(30) 式中F(t，x)满足

其中f₁(t)，f₂(t)是[t₀，∞)上连续的非负函数.

推论1  在条件(32) 式成立的情况下，系统(30)，(31) 式所有的解x(t)满足估计式：

其中

证  脉冲微分方程(30) 与(31) 式等价于积分方程

利用条件(32)，由(34) 式，可得

令u(t)=|x(t)|，由(35) 式，我们可得不等式

令

我们看出(36) 式是(5) 式的特殊形式.且(36) 式中的函数满足定理1的条件，由定理1，我们可以推出x(t)的估计式(33) 式.