On the Diophantine Equation 5x(x+1)(x+2)(x+3)=6y(y+1)(y+2)(y+3)

本节考察当n取何值时，4y_n+5为完全平方数.在做此工作之前我们先介绍几个引理.

引理1  设2|n，n＞0，则$\left( \frac{\pm 20{{v}_{2n}}+5}{{{u}_{2n}}} \right)=\left( \frac{{{u}_{n}}\pm 4{{v}_{n}}}{23} \right)$.

证  当2|n时，u_2n≡1(mod 8)，v_n≡0(mod 2)，u_n≡1mod 8，于是

证毕.

引理2  若4y_n+5是平方数，则n≡0，2，-1，-3(mod 2×5²).

证  在此次证明中我们采用对序列{4y_n+5}取模的方法证明，分两步

第一步：

mod 101，排除n≡1，3(mod 5)，此时4y_n+5≡89，89(mod 101)，余n≡0，2，4(mod 5)，即n≡0，2，4，5，7，9，10，12，14，15，17，19，20，22，24(mod 25). mod 101是对{4y_n+5}取的，mod 5指出所得剩余序列周期为5. 89为mod 101的平方非剩余，为节省篇幅，我们以下均按这种方式叙述.

mod 701，排除n≡4，7，17，20(mod 25)，此时4y_n+5≡642，540，540，642(mod 701).余n≡0，2，5，9，10，12，14，15，19，22，24(mod 25).

mod 14401，排除n≡5，12，19(mod 25)，此时4y_n+5≡14255，6834，14255(mod 14401)，余n≡0，2，9，10，14，15，22，24(mod 25).

mod 515401，排除n≡9，10，14，15(mod 25)，此时4y_n+5≡502844，226595，226595，502844mod 515401，余n≡0，2，22，24(mod 25)

即n≡0，2，22，24，25，27，47，49，50，52，72，74，75，77，97，99(mod 100).

第二步：

mod 231841，排除n≡3，4，5，7，12，14，15，16(mod 20)，排除n≡24，25，27，47，52，72，74，75(mod 100).

综上即余n≡0，2，22，47，49，50，77，97，99(mod 100)，即n≡0，2，22，27，47，49(mod 50)，mod 83401排除n≡22，27(mod 50)，此时4y_n+5≡81562，81562(mod 50).

综上n≡0，2，-1，-3(mod 50).

引理3  设n≡0(mod 2×5²)，则仅当n=0时，4y_n+5为平方数.

证  如果n≡0(mod 2×5²)且n≠0则可令

对{u_n±4v_n}取模23，所得的两个剩余序列周期均为3，而对{2^t}模3的剩余序列具有周期2.下面对k分两种情况讨论.

情况Ⅰ  k≡1(mod 4) 时，令

则有表 1.

对表中所有m，均有

于是，由(9)，(10) 及引理1，有

进而得

从而4y_n+5是非平方数.

情况Ⅱ  k≡-1(mod 4) 时，令

则有表 2.

对表中所有m，均有

于是，由(9)，(10) 式及引理1，有

进而得

从而4y_n+5是非平方数.

当n=0时，4y_n+5=3².证毕

引理4  设n≡-1(mod 2×5²)，则仅当n=-1时，4y_n+5为完全平方数.

证  如果n≡-1(mod 2×5²)且n≠-1，则可令

若取m为2^t，5×2^t之一，则由(10) 知：

于是

由引理1可知

只要完全按照引理3证明过程中的方式取m，可得

从而4y_n+5不为平方数，假设不成立.

当n=-1时，4y_n+5=3²，证毕.

引理5  设n≡2(mod 2×5²)，则仅当n=2时，4y_n+5为完全平方数.

证  如果n≡2(mod 2×5²)且n≠2，则可令

若取m为2^t，5×2^t之一，则由(10) 知，

由于2∣m时，u_m≡1(mod 8)，u_m≡1(mod 3).故

{u_m}对mod 613的周期为612，而{2^t}对mod 612的周期为24.

令

对所有m，均有$\left( \frac{{{u}_{m}}}{613} \right)=-1$.于是由上可知

从而4y_n+5不为平方数，假设不成立.

当n=2时，4y_n+5=43²，证毕.

引理6  设n≡-3(mod 2×5²)，则仅当n=-3时，4y_n+5为完全平方数.

证  如果n≡-3(mod 2×5²)且n≠-3，则可令

若取m为2^t，5×2^t之一，则由(10) 知，

由于2∣m时，u_m≡1(mod 8)，u_m≡1(mod 3).故

只要完全按照引理5证明过程中的方式取m，可得

从而4y_n+5不为平方数，假设不成立.

当n=-3时，4y_n+5=43²，证毕.

引理7  仅当n=0时，4y_n+5是平方数.

证  要使4y_n+5≥0成立，即y_n≤1，当且仅当n=0时成立，此时4y_n+5=1.证毕.

根据前面的讨论，现给出本文的主要结论.

定理  不定方程5x(x+1)(x+2)(x+3)=6y(y+1)(y+2)(y+3) 仅有一组正整数解(x，y)=(21，20).

证  由引理7知

因此y=-1，-2；

由引理3知

因此y=0，-3；

由引理4知

因此y=0，-3；

由引理5知

因此y=20，-23；

由引理6知

因此y=20，-23.

由此，容易知道方程(1) 共有20组整数解，其中有16组平凡解使得(1) 式两端都?#8838;悖?即(0，-1)，(-3，-1)，(-2，-1)，(-1，-1)，(0，-2)，(-3，-2)，(-2，-2)，(-1，-2)，(0，0)，(-3，0)，(-2，0)，(-1，0)，(0，-3)，(-3，-3)，(-2，-3)，(-1，-3)；另外4组非平凡解，它们是(-24，20)，(21，20)，(-24，-23)，(21，-23).因此，不定方程5x(x+1)(x+2)(x+3)=6y(y+1)(y+2)(y+3) 仅有正整数解(x，y)=(21，20).证毕.