Lower Semicontinuity of Random Implicit Multifunctions and Its Applications in Separable Asplund Spaces

引理1 ^[4]  设(X, d)是完备度量空间, φ: X → $\bar{\mathbb{R}}$ 是真下半连续下有界函数.任给ε >0和x₀ ∈ X满足φ(x₀) ≤inf_Xφ +ε.则对任意的λ >0, 存在 $\bar{x}$ ∈ X满足

$\left( a \right)\varphi (\bar{x})\le \varphi ({{x}_{0}}),$

$\left( b \right)d(\bar{x},{{x}_{0}})\le \lambda ,$

$\left( c \right)\varphi (x)+\frac{\varepsilon }{\lambda }d(x,\bar{x})>\varphi (\bar{x}),\forall x\ne \bar{x}.$

引理2 ^[4]设φ: X → $\bar{\mathbb{R}}$ 在x具有有限值.若x是φ的局部极小值点, 则

引理3^[4]设φ: X → $\bar{\mathbb{R}}$ 在x的某邻域内是Lipschitz连续的且系数为l≥0, 则

且

引理4  ^[4]设X是Asplund空间, φ_i: X → $\bar{\mathbb{R}}$ , i=1, 2, …, n ≥2在x的某邻域内是下半连续的.φ_i中除一个外其余的在x是序列正规上紧(SNEC).若

则

引理5^[5]  设(Ω, $\mathscr{A}$ , μ)是完全σ-有限可测空间, X是完备可分度量空间, G ∈ $\mathscr{A}$ × $\mathscr{B}$ (X), 则投射

是可测的.

引理6^[1] 设(Ω, $\mathscr{A}$ ) 是可测空间, X 是可分 Banach空间,f₁: Ω →X 是可测映射, F₂: Ω $\rightrightarrows$ X 是具有闭值的弱可测集值映射, 则f₁ +F₂: Ω $\rightrightarrows$ X 是弱可测的.

定理1  设X, Y是可分Asplund空间, P是拓扑空间, (Ω, $\mathscr{A}$ , μ)是完全σ-有限可测空间, 集值映射F: Ω×X ×P $\rightrightarrows$ Y满足对任意的p ∈P, F(·, ·, p):Ω×X $\rightrightarrows$ Y是可测的.设G:Ω×P $\rightrightarrows$ X是由(1) 式定义的集值映射, (x₀, p₀) ∈ X ×P满足对任意ω ∈Ω有0∈F(ω, x₀, p₀).记F_{ω, p}(·): =F(ω, ·, p).若对任意的ω ∈Ω, 存在常数r >0和σ >0使得

(ⅰ)任意的p ∈B(p₀, r), 集值映射F_{ω, p}(·)是闭的;

(ⅱ)任意的(x, p) ∈B(x₀, r) ×B(p₀, r)且0∉F(ω, x, p),

(ⅲ)任意的(x, p) ∈B(x₀, r) ×B(p₀, r), 集值映射F(ω, x, ·)在p是下半连续的.则

1) 任意的p ∈ P, G(·, p): Ω $\rightrightarrows$ X是 $\mathscr{B}$ 可测的;

2) 任意的ω ∈Ω, 存在常数s∈ (0, r), 使得由

定义的集值映射: ${{\tilde{G}}_{\omega }}$ : P $\rightrightarrows$ X在B(p₀, s)上是非空的和下半连续的.

证  1) 任意的p ∈ P, 考虑G(·, p): Ω $\rightrightarrows$ X的图像

因为F(·, ·, p): Ω ×X $\rightrightarrows$ Y可测, 所以

从而

任给B ∈ $\mathscr{B}$ (X), 由引理5得

因为

所以

从而G(·, p): Ω $\rightrightarrows$ X是 $\mathscr{B}$ 可测的.

2) 任意的ω ∈Ω.因为0∈F(ω, x₀, p₀), 由条件(ⅲ), 存在p₀的邻域 $\tilde{U}$ 使得对任意的p ∈ $\tilde{U}$ 有

成立.故对任意的p ∈ $\tilde{U}$ , 有

任取s∈ (0, r)满足B(p₀, s) ⊂ $\tilde{U}$ .接下来证明s满足定理1的结论2).

(a)任意的p ∈B(p₀, s), 证明 ${{\tilde{G}}_{\omega }}$ (p)是非空的.定义函数f_p: X ×Y → $\bar{\mathbb{R}}$ 为

由条件(ⅰ), f_p在X ×Y上是下半连续的.特别地, 在B(x₀, r) ×B(0, r)上是下半连续的.若f_p(x₀, 0) =0, 则0∈Fω, p(x₀), 从而x₀ ∈G(ω, p), 故x₀ ∈G(ω, p) ∩int B(x₀, r), 即 ${{\tilde{G}}_{\omega }}$ _ω(p) ≠Ø.若f_p(x₀, 0) ≠0, 则0∉Fω, p(x₀), 故dist (0, F(ω, x₀, p)) >0.可以假设α: = dist (0, F(ω, x₀, p)), 其中 $0<\alpha <\frac{r\sigma }{1+\sigma }<r$

任意的ε ∈ (0, r-α)且 $\frac{\alpha +\varepsilon }{r}<\frac{\sigma }{1+\sigma }$ , 由距离函数的定义, 存在 $\bar{y}$ ∈F_{ω, p}(x₀)满足‖ $\bar{y}$ ‖ < α+ε < r.令β: =f_p(x₀, $\bar{y}$ ) =‖ $\bar{y}$ ‖, 任意的 $t\in \left( \frac{\alpha +\varepsilon }{r},\frac{\sigma }{1+\sigma } \right)$ , 易知

显然,

由引理1中的Ekelan d变分原理, 存在( $\hat{x},\hat{y}$ ) ∈B(x₀, r) ×B(0, r)满足

和

这意味着

且对任意的(x, y) ∈B(x₀, r) ×B(0, r), 有

显然，$ \hat x $∈B(x₀，r)，$ \hat y $∈B(0，r).因为

所以

下面证明0∈F_ω，p($ \hat x $).假设0∉F_ω，p($ \hat x $)，则$ \hat y $≠0.定义函数φ₁，φ₂，φ₃：X×Y→ $ \mathbb{\bar{R}} $分别为

由(3) 式知($ \hat x $，$ \hat y $)是函数φ₁+φ₂+φ₃在X×Y上的极小值点.由引理2得

显然，φ₁和φ₂在X×Y上是局部Lipschitz连续的，且φ₃在X×Y上是下半连续的.由引理3易知∂^∞φ₁($ \hat x $，$ \hat y $)={(0，0)}，∂^∞φ₂($ \hat x $，$ \hat y $)={(0，0)}和∂φ₂($ \hat x $，$ \hat y $)⊂tB_X^*×{0}+{0}×tB_Y^*.由引理4得

由函数φ₁和φ₃的定义得

因为$ \hat y $≠0，由文献[6]命题2.124得

故存在y₁^*∈Y^*和(x₃^*，y₃^*)∈N(($ \hat x $，$ \hat y $)；gphF_w，p)使得

从而，

令

则

从而

易知

这与条件(ⅱ)矛盾，故0∈F_ω，p($ \hat x $)，即$ \hat x $∈G(ω，p)，从而$ {{\tilde G}_\omega } $(p)≠Ø.

(b)任意的p∈B(p₀，s)，证明$ {{\tilde G}_\omega } $(·)在p是下半连续的，只需证明：任意的x∈$ {{\tilde G}_\omega } $(p)和任意的ε＞0，存在常数t＞0满足

因为x∈$ {{\tilde G}_\omega } $(p)，所以0∈F(ω，x，p)，x∈intB(x₀，r).任取0＜η＜ε满足B(x，η)⊂B(x₀，r)和B(p， η)⊂B(p₀，r).用(x，p)替代(x₀，p₀)，用常数η替代r，用球B(x，η)，B(0，η)，B(p，η)和$B\left( {0,\frac{{\eta \sigma }}{{1 + \sigma }}} \right) $分别替代B(x₀，r)，B(0，r)，B(p₀，r)和$B\left( {0,\frac{{\gamma \sigma }}{{1 + \sigma }}} \right) $，类似于上面的证明，存在常数0＜t＜η满足

因为intB(x, η)intB(x₀, r)∩intB(x, ε), 由(4) 式得

即

注1  定理1与文献[1]定理3.12类似，但是值得注意的是文献[1]定理3.12需要假设度量投射的内半紧性，而定理1不需要.

考虑定理1的确定性情形，得到下面的推论.

推论1  设X，Y是Asplund空间，P是拓扑空间，F：X×PY是集值映射，G：PX是由G(p)：={x∈X|0∈F(x，p)}定义的集值隐函数，(x₀，p₀)∈X×P且0∈F(x₀，p₀).记F_p(·)：=F(·，p).若存在常数r＞0和σ＞0使得

(ⅰ)任意的p∈B(p₀，r)，集值映射F_p(·)是闭的；

(ⅱ)任意的(x，p)∈B(x₀，r)×B(p₀，r)且0∉F(x，p)，

(ⅲ)任意的(x，p)∈B(x₀，r)×B(p₀，r)，集值映射F(x，·)在p是下半连续的.

则存在常数s∈(0，r)，使得由

定义的集值映射$\tilde G$：PX在B(p₀，s)上是非空的和下半连续的.

注2  推论1说明文献[7]推论3.3和文献[8]定理5.1中的条件“F(x₀，·)在(p₀，0) 是内半连续的”可以去掉.进一步，推论1包含文献[3]定理3.1为特例，可以从下述4个方面阐述：

(a)文献[3]定理3.1中的条件“F在(x₀，p₀)周围具有非空值”被去掉；

(b)文献[3]定理3.1中的条件“任意的p∈P，集值映射F_p(·)是闭的”被推论1中较弱的条件“任意的p∈B(p₀，r)，集值映射F_p(·)是闭的”取代；

(c)文献[3]定理3.1中的条件(A1) 显然意味着推论1中的条件(ⅱ)成立；

(d)文献[3]定理3.1中的条件(A2) 被去掉.

本节考虑(2) 式中的F具有如下的特殊形式：

其中f：Ω×X×P→Y是单值映射，Q：Ω×X×PY是集值映射.此时，(2) 式退化为

这个随机广义方程的确定性形式是由Robinson^[9]提出的.众所周知，(5) 式的确定性情形为数学规划、补问题、变分不等式、最优控制、数理经济、均衡和其他与优化相关的领域的最优解的统一研究提供了方便的框架.

与(5) 式相关的解映射G：Ω×PX定义为

下面将建立关于(6) 式中解映射的下半连续性的充分条件.

定理2  设X是可分Asplund空间，Y是σ-紧可分Asplund空间，P是拓扑空间，(Ω，$\mathscr{A}$，μ)是完全σ-有限可测空间，f：Ω×X×P→Y是单值映射，集值映射Q：Ω×X×PY满足对任意的p∈P，f(·，·，p)是可测的，Q(·，·，p)是弱可测的且具有闭值.设G：Ω×PX是由(6) 式定义的解映射，(x₀，p₀)∈X×P且对所有的ω∈Ω有(ω，x₀，p₀，-f(ω，x₀，p₀))∈gphQ成立.令f_ω，p(·)：=f(ω，·，p)，Q_ω，p(·)：=Q(ω，·，p).若对任意的ω∈Ω，存在常数r＞0和σ＞0满足：

(ⅰ)任意的p∈B(p₀，r)，映射f_ω，p(·)在X上是严格可微的，集值映射Q_ω，p(·)是闭的；

(ⅱ)任意的(x，p)∈B(x₀，r)×B(p₀，r)且(ω，x，p，-f(ω，x，p))∉gphQ，

(ⅲ)任意的(ω，x，p)∈Ω×B(x₀，r)×B(p₀，r)，映射f(ω，x，·)在p是连续的，集值映射Q(ω，x，·)在p是下半连续的.则

1) 任意的p∈P，G(·，p)：ΩX是$\mathscr{B}$-可测的；

2) 任意的ω∈Ω，存在常数s∈(0，r)使得由

定义的集值映射$\tilde G$_ω：PX在B(p₀，s)上是非空的和下半连续的.

证  定义映射F：Ω×X×PY为

令

则

显然，

等价于0∈F(ω，x₀，p₀).由引理6，任意的p∈P，F(·，·，p)：Ω×XY是弱可测的.因为Y是σ-紧的，由文献[10]定理3.2(ⅱ)，F(·，·，p)：Ω×XY是可测的.任意的ω∈Ω，存在常数r＞0和σ＞0满足条件(ⅰ)和(ⅱ).由条件(ⅰ)，容易验证：任意的p∈B(p₀，r)，集值映射F_ω，p(·)是闭的.由条件(ⅱ)和文献[4]定理1.62知任意的(x，p)∈B(x₀，r)×B(p₀，r)且0∉F(ω，x，p)，有

由条件(ⅲ)，任意的(ω，x，p)∈Ω×B(x₀，r)×B(p₀，r)，集值映射F(ω，x，·)在p是下半连续的.综上可知，定理1的所有条件均满足，由定理1可得定理2成立.

注3 定理2的确定性情形与文献[1]定理4.9类似，但是值得注意的是文献[1]定理4.9需要假设度量投射的内半紧性，而定理2不需要.