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Cox模型[1]是处理生存数据的一种经典方法，常被广泛运用于医学、生物学、经济学、保险学等众多领域.尽管Cox模型是目前为止最有用的生存分析方法，但它却要求自变量间相互独立，至少不存在强相关的情况.此外，它还要求数据是大n小p类型.于是，经典Cox模型在处理强相关及大p小n问题时，就不再适用了.
Lasso方法为解决此类问题提供了新的思路. 1997年Tibshirani成功将该方法应用于Cox模型[2]，进一步验证了它的实用性.针对Lasso估计在某些情况下不相合的问题，Zou于2006年提出了具有Oracle性质的Adaptive Lasso方法[3-5]，很好克服了Lasso的不足.对于存在组效应的数据结构，Zou和Hastie在Lasso的基础上，提出了Elastic Net[6-8]，防止了模型的过于稀疏，且有效处理了大p小n问题.同样，Elastic Net估计也不具有Oracle性质[9-10]，而Zou和Zhang在Elastic Net的基础上，对l1惩罚部分加权，提出了具有Oracle性质的Adaptive Elastic Net方法[11].
在Cox模型的诸多变量选择方法[7, 12]中，对于存在强相关性的变量，Elastic Net方法较Lasso方法有更好的拟合效果和更高的预测能力，能将强相关变量全部选入或全部剔除模型.但美中不足的是，在模型精确度方面，Elastic Net方法对于零变量的估计却不及Adaptive Elastic Net方法.为此，将Adaptive Elastic Net方法应用于Cox模型的变量选择中，研究在该模型下Adaptive Elastic Net方法的相关性质是一件有意义的工作.
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对于第i个个体，Cox模型的表达式为：
其中，样本容量为n，预测变量个数为p，协变量矩阵为X=(X1，X2，…，Xn)，Xi=(xi1，xi2，…，xip)T为第i个个体的p个协变量，回归向量为β=(β1，β2，…，βp)T，h0(ti)为第i个个体的基准风险率，i=1，2，…，n.
现记观测数据为(Zi，δi，Xi)，Zi为第i个个体的研究时间，令h0(t)恒定，则似然函数[13]为：
其中：δi为示性函数，事件删失时δi=0，事件发生时δi=1；Ri为ti时刻个体的风险集；k=1，2，…，p.
于是，借鉴Tibshirani[2]及Fan[10]提出的处理思想，极小化偏对数似然函数的相反数并添上适当的惩罚项便可定义Cox模型的Elastic Net估计：
进一步由
可得
其中λ1和λ2为调整参数，且满足λ1≥0，λ2≥0.
进一步，借鉴普通线性模型中Adaptive Elastic Net估计的定义思想[7, 11]，在(1) 式的基础上，对l1惩罚部分加权，便可定义Cox模型的Adaptive Elastic Net估计：
其中：
${\hat \omega _k} = {(\left| {{{\hat \beta }_{(EN)k}}} \right|)^{ - \gamma }}$ ，γ为一正常数.
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现研究Cox模型Adaptive Elastic Net估计的组效应性质.
定理1 对Cox模型，给定数据(Zi，δi，Xi)及参数(λ1*，λ2)，响应变量已经中心化且自变量已经标准化.令xa=(x1a，x2a，…，xna)为n个个体的第a个协变量，xb=(x1b，x2b，…，xnb)为n个个体的第b个协变量，a，b=1，2，…，p.
$\hat \beta (\lambda_1^*,\lambda_2)$ 表示AEN估计，其中$\hat \beta_a (\lambda_1^*,\lambda_2)$ 和$\hat \beta_b (\lambda_1^*,\lambda_2)$ 是任意一组强相关变量xa和xb的系数.假设$\hat \beta_a (\lambda_1^*,\lambda_2)\hat \beta_b (\lambda_1^*,\lambda_2) > 0$ .定义
则
证 由于
$\hat \beta_a (\lambda_1^*,\lambda_2)\hat \beta_b (\lambda_1^*,\lambda_2) > 0$ ，故符号函数$\mathop{\rm sgn} \{\hat \beta_a (\lambda_1^*,\lambda_2)\} = \mathop{\rm sgn} \{\hat \beta_b (\lambda_1^*,\lambda_2)\}$ ，且$\hat \beta_a (\lambda_1^*,\lambda_2) \ne 0$ ，$\hat \beta_b (\lambda_1^*,\lambda_2) \ne 0$ .现令
$\hat \beta_m (\lambda_1^*,\lambda_2) \ne 0$ ，$\hat \beta (\lambda_1^*,\lambda_2) $ 满足其中
则由于
$\hat \beta_a (\lambda_1^*,\lambda_2) \ne 0$ ，故有成立.
即
于是
同理
将(3)，(4) 式相减得到
其中r=1，2，…，p，故(5) 式可变形为
从而
于是，对于强相关变量xa和xb，由于xa和xb强相关，即E[xaxbT]→1，故对第i个个体，有
从而
由(6)，(8) 式，有
故
由
可知
于是
由(7)，(9)，(10) 式，得到
即
证毕.
Dλ1*，λ2(a，b)刻画了两个变量系数估计之间的差距，这表明若xa和xb高度相关，则对应的系数估计之间的差距将趋于0.也就是说，Cox模型的AEN估计具有组效应性质，即强相关变量得到的系数估计大致相同.
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上节从理论上揭示了Cox模型Adaptive Elastic Net估计的组效应性质.现通过数值模拟加以验证.
设xi~N(0，1)，i=1，2，…，10，其中x3=x2，x7=x6，
$x_4 = 2x_1 +\frac{1}{3}x_2 +\frac{1}{3}x_3$ .则x3与x2强相关，x7与x6强相关，且x4与x1，x2及x3之间存在共线性.考虑Cox模型$h(t) = h_0(t)\exp(\sum\limits_{i=1}^{10} \beta_i x_i)$ ，t~U[0, 1]，且真实参数为(-1，3，3，0，$\frac{1}{2}$ ，2，2，0，0，0)T，同时将该模型模拟1 000次，得到n=1 000，p=10的样本数据.分别运用Lasso方法、Adaptive Lasso(ALasso)方法、Elastic Net(EN)方法及Adaptive Elastic Net(AEN)方法对上述数据进行变量筛选[16-18]，其中后3种方法的系数估计值可先转化为Lasso方法的形式，再利用Lars算法[19]得到.取
$\lambda_2 = \frac{1}{3}$ ，γ=3，而其他参数由交叉验证方法[20]选出，重复计算50次，取系数估计值的平均值，得到的系数估计值见下表 1.由表 1可知：
1) 对与x1，x2，x3存在共线性的x4，4种方法均没有将其选入模型，说明Lasso方法、Adaptive Lasso方法、Elastic Net方法及Adaptive Elastic Net方法均能处理共线性问题.
2) 比较Lasso方法和ALasso方法：在对x8，x9及x10这3个零变量的处理上，ALasso方法比Lasso方法精确.这体现了Adaptive Lasso方法在零变量的处理方面优于Lasso方法.
3) 比较EN方法和AEN方法：在对变量x8，x9及x10这3个零变量的处理上，AEN方法比EN方法精确.这体现了Adaptive Elastic Net方法在零变量的处理方面优于Elastic Net方法.
4) 比较ALasso方法和AEN方法：在对x2与x3，x6与x7这两组强相关变量的处理上，AEN方法能将强相关变量x2与x3，x6与x7全部选入模型，且这两组强相关变量的系数估计值相同，而ALasso方法只能选择强相关变量组中的一个变量.这体现了AEN方法具有组效应性质.
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接下来，我们通过电信客户的实际数据来验证Cox模型Adaptive Elastic Net估计的优越性.
本实例来自对某高校在校大学生手机卡使用情况的调查. x1，x2，…，x10分别表示性别、年级、是否学生干部、是否少数民族、是否农业户口、是否生源地就读、是否移动用户、月均电话费用、售后服务质量、月均生活费用10个变量.调查时间从2007年1月开始至2014年1月结束，最终得到380份有效问卷.
对数据进行简单统计分析后发现，大多数变量间存在较高的相关性，故经典Cox模型不再适用.接下来，我们分别将Lasso方法、Adaptive Lasso(ALasso)方法、Elastic Net(EN)方法及Adaptive Elastic Net(AEN)方法运用于Cox模型中，得到的变量选择结果见表 2.
由表 2可知：
1) 4种方法均没有将变量x1和x7选入模型，这说明将Adaptive Elastic Net方法运用于Cox模型是可行的.
2) 对于具有较强相关性的x8与x10，Lasso和ALasso只选择了x10，而EN和AEN则把这两个强相关变量同时选入了模型，这表明Cox模型的Elastic Net方法和Adaptive Elastic Net方法能把强相关变量组中的变量全部选出；此外，在所有系数的估计值中，二者系数的差距最小.这表明Elastic Net方法和Adaptive Elastic Net方法能体现变量间的相关性，且相关系数越大，它们系数估计的差距就越小，这体现了Elastic Net方法和Adaptive Elastic Net方法的组效应性质.
3) 对与手机卡的流失无影响的x3和x4，AEN在对这两个零变量的处理上，比EN精确得多，这体现了Cox模型的Adaptive Elastic Net估计在零变量的处理方面优于Elastic Net.
综上，Cox模型的Adaptive Elastic Net估计优于其它3种估计.
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Cox模型的Elastic Net方法在处理具有强相关性的生存数据方面，优于Cox模型的Lasso方法.但在模型精确度方面，Elastic Net方法对零变量的估计却不太理想.
为克服这一缺陷，本文将Adaptive Elastic Net方法运用于Cox模型的变量选择中，证明了在一定条件下，Cox模型的Adaptive Elastic Net估计具有组效应性质，即Adaptive Elastic Net方法能将强相关变量全部选入Cox模型.此外，数值模拟和具体实例既验证了其组效应性质，也表明了Cox模型的Adaptive Elastic Net估计对零变量的处理更准确.这表明，Cox模型的Adaptive Elastic Net方法优于其他3种方法.
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