A GR-KKM Theorem in GFC-Metric Spaces and Its Application to Coincidence Problems

1956年，文献[1]引入了超凸度量空间. 1996年，文献[2]建立了超凸度量空间中的FKKM映射原理. 2000年，文献[3]研究了超凸度量空间中的GMKKM映射原理. 2001年，文献[4]引入了H-度量空间. 2005年，文献[5]引入了G-凸度量空间. 2007年，文献[6]引入了L-凸度量空间. 2010年，文献[7]引入了FC-度量空间.本文的目的是在GFC-空间^[8-9]的框架下，引入GFC-度量空间.

本文沿用文献[2-9]的相关记号、概念和术语，并引入如下概念：

定义1  设(X，Y，Φ)为GFC-空间. F：Y→2^X称为GR-KKM映射，若对∀{y₀，…，y_n}∈〈Y〉，存在

使得对

有

注1  定义1统一推广了文献[2-9]的KKM映射、HKKM映射、FKKM映射、GMKKM映射、GLKKM映射、R-KKM映射等概念.

定义2  设(X，Y，Φ)为GFC-空间，γ∈ℝ为实数.泛函f：X×Y→ℝ：=ℝ∪{±∞}称为关于y广义γ-GR-对角拟凹(或凸)的，如果对∀{y₀，…，y_n}∈〈Y〉，存在N：={x₀，…，x_n}∈〈X〉，使得对∀{x_i0，…，x_ik}∈〈N〉和∀x∈φ_N(Δ_k)，有$\mathop {\min }\limits_{0 \le j \le k} $f(x，y_ij)≤γ(相应地$\mathop {\max }\limits_{0 \le j \le k} $f(x，y_ij)≥γ).

注2  定义2统一推广了文献[4]的广义γ-H-对角拟凹(或凸)、文献[10-11]的广义γ-L-对角拟凹(或凸)的定义以及文献[12]的定义2.2.

显然，我们有如下引理：

引理1  设(X，Y，Φ)为GFC-空间，γ∈ℝ为实数，f：X×Y→ℝ为泛函，F：Y→2^X定义为：F(y)：={x∈X：f(x，y)≤γ}(相应地，F(y)：={x∈X：f(x，y)≥γ})，∀ y∈Y.则泛函f是关于y广义γ-GR-对角拟凹(或凸)的当且仅当F是GR-KKM映射.

注3  引理1统一推广了文献[3]的引理2.7、文献[4]的引理4.1、文献[10]的引理1.1以及文献[12]的引理2.1.

定义3  设(X，d)为度量空间，(X，Y，Φ)为GFC-空间. (X，Y，Φ，d)称为GFC-度量空间，若对∀{y₀，…，y_n}∈〈Y〉，存在N：={x₀，…，x_n}∈〈X〉，使得φ_N(Δ_n)⊂co(N).设(X，Y，Φ，d)为GFC-度量空间且(X，d)完备，则称(X，Y，Φ，d)为完备GFC-度量空间.

注4   1)显然，GFC-度量空间包含了文献[7, 12]的FC-度量空间，因而，也包含了文献[1-3]的超凸度量空间、文献[4]的H-度量空间、文献[5]的G-凸度量空间和文献[6, 10-11]的L-凸度量空间作为特例.

2) 由定义3可知，设(X，Y，Φ，d)为GFC-度量空间，则对任意取定的x∈X，φ_{x}(e₀)=x.

定理1  设(X，Y，Φ，d)为GFC-度量空间，F：Y→2^X是有限度量紧闭值集值映射.则族{F(y)}_y∈Y有有限交性质当且仅当F是GR-KKM映射.

证  若{F(y)}_y∈Y有有限交性质，则对∀{y₀，…，y_n}∈〈Y〉，$\bigcap\limits_{i = 0}^n {F\left( {{y_i}} \right) = \emptyset } $.取${x^*} \in \bigcap\limits_{i = 0}^n {F\left( {{y_i}} \right)} $，令x_i=x^*，i∈{0，…，n}，N：={x₀，…，x_n}∈〈X〉，则对∀{x_i0，…，x_ik}∈〈N〉，{x_i0，…，x_ik}={x^*}.据注4，

故F是GR-KKM映射.

反之，若F是GR-KKM映射，则对∀{y₀，…，y_n}∈〈Y〉，存在N：={x₀，…，x_n}∈〈X〉，使得对∀{x_i0，…，x_ik}∈〈N〉，有

又因(X，Y，Φ，d)称为GFC-度量空间，故

因此，

从而，

因F是有限度量紧闭值的，故对∀j=0，…，k，co(N)∩F(y_ij)是紧闭集.因φ_N连续，故φ_N(Δ_n)是紧集，于是φ_N(Δ_n)∩co(N)∩F(y_i)是φ_N(Δ_n)中的闭集.据φ_N连续性，φ_N^-1(φ_N(Δ_n)∩co(N)∩F(y_ij))是Δ_n中的闭集.据传统的KKM定理，

因此，

故

所以，族{F(y)}_y∈Y有有限交性质.

注5  定理1统一改进和推广了文献[2]的定理3、文献[3]的定理2.1、文献[4]的定理2.1、文献[5]的定理2.1、文献[6]的引理1、文献[7]的定理1、文献[12]的定理3.1和文献[13]的定理2.1.

定理2  设(X，Y，Φ，d)为完备GFC-度量空间，F：X→2^Y为集值映射，且F^-1是转移紧开值的，F^*：Y→2^X定义为F^*(y)：=X\F^-1(y)，y∈Y是GR-KKM映射，

则{x∈X：F(x)=Ø}是非空紧集.

证  定义clF^*：Y→2^X为clF^*(y)：=cl_XF^*(y)，∀y∈Y，则clF^*是闭值的，从而是有限度量紧闭值的.因F^*是GR-KKM映射，故clF^*是GR-KKM映射.据定理1，{clF^*(y)}_y∈Y有有限交性质.因(X，Y，Φ，d)为完备GFC-度量空间，故X完备.注意到

据文献[3]的引理4.1，$\;\bigcap\limits_{y \in Y} {{\rm{cl}}{F^*}\left( y \right)} $是非空紧集.

现定义$\hat{F} :Y\to {{2}^{X}}$为

因F^-1是转移紧开值的，故F^*是转移紧闭值的.注意到$\bigcap\limits_{z \in Y} {{\rm{cl}}{F^*}\left( z \right)} $是非空紧集，故$\hat F$是转移闭值的.据文献[3]的引理2.4，

于是，

所以，{x∈X：F(x)=Ø}是非空紧集.

注6  定理2统一改进和推广了文献[2]的定理4、文献[3]的推论2.6、文献[7]的定理2、文献[10]的定理2.1和文献[12]的定理3.2.

定理3  设(X，Y，Φ，d)为完备GFC-度量空间，γ∈ℝ为实数.泛函f：X×Y→ℝ关于y是广义γ-GR-对角拟凹的，关于x是γ-转移紧下半连续的，且

则{x∈X：f(x，y)≤γ，∀y∈Y}是非空紧集.

证  定义F：X→2^Y为

则对∀y∈Y，

因f(x，y)关于x是γ-转移紧下半连续的，据文献[12]的引理2.2，F^*是转移紧闭值的，因此， F^-1是转移紧开值的.因f(x，y)关于y是广义γ-GR-对角拟凹的，据引理1，F^*是GR-KKM映射.注意到

故据定理2，{x∈X：f(x，y)≤γ，∀y∈Y}={x∈X：F(x)=Ø}是非空紧集.

注7  定理3改进和推广了文献[3]的定理2.8、文献[4]的定理4.1、文献[10]的定理2.2、文献[12]的定理3.3和文献[14]的定理4.

定理4  设(X，Y，Φ，d)为完备GFC-度量空间，f：X→Y为单值映射，F：X→2^Y为集值映射，G：Y→2^X定义为G(y)：={x∈X：f(x)∈F(x)}，∀y∈Y是转移紧闭值的GR-KKM映射且

则{x∈X：f(x)∈F(x)}是非空紧集.

证  定义泛函g：X×Y→ℝ为：

则

因G是转移紧闭值的，据文献[12]的引理2.2，g(x，y)关于x是0-转移紧下半连续的.因G是GR-KKM映射，据引理1，g(x，y)关于y是广义0-GR-对角拟凹的.又因

据定理3，{x∈X：f(x)∈F(x)}={x∈X：g(x，y)≤0，∀y∈Y}是非空紧集.