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Boussinesq方程组作为一个热流体动力学数学模型，描述了受温度影响的粘性不可压缩流体的运动规律.对确定性的Boussinesq方程组，Temma在文献[1]中证明了方程在L2(D)2×L2(D)中存在全局吸引子，其中D=(0，1)×(0，1).对随机Boussinesq方程组的随机吸引子的存在性，许多学者也做了大量的研究，如文献[2]就讨论了MHD方程带乘法噪音的解的长时间行为，但就我们所知，没有文献涉及到带乘法扰动的随机Boussinesq方程组的随机吸引子的上半连续性.
本文将考虑定义在D=(0，1)×(0，1)⊂
$ {{\mathbb{R}}^{2}}$ 上带乘性白噪声的随机Boussinesq方程组：其边界条件为：
其中：ϕ=v，T，p，
$ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{v}}}{\partial {{\mathit{x}}_{\rm{1}}}}, \frac{\partial \mathit{T}}{\partial {{\mathit{x}}_{\rm{1}}}}$ .方程(1)中，ε∈(0，1]，e1，e2是$ {{\mathbb{R}}^{2}}$ 的基，未知量v=(v1，v2)，P和T分别代表流体的流速、所受的压强和温度，ν＞0，κ＞0分别表示粘质系数和热传导参数，T1表示在顶点x2=1处的温度，而T0=T1+1表示在下边界x2=0处的温度.随机函数W(t)=(w1(t)，w2(t))是定义在概率空间(Ω，$ \mathscr{F}$ ，P，θt)上的双边实值Wiener过程.这样，过程W(t，ω)可视为标准过程ω(t)且有dW(t，ω)=dω(t).
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为便于考虑，我们首先作变量代换，令
将P换为P-
$ \left( {{\mathit{x}}^{\rm{2}}}+\frac{\mathit{x}_{2}^{2}}{2} \right)$ ，则方程(1)改写为同时边界条件变为
其中：ϕ=v，η，p，
$ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{v}}}{\partial {{\mathit{x}}_{\rm{1}}}}, \frac{\partial \mathit{\eta }}{\partial {{\mathit{x}}_{\rm{1}}}}$ .为讨论方程组(1)相应的随机动力系统的存在性，接下来我们先给出相关的函数空间.设乘积希尔伯特空间H=H1×H2，其中H2=L2(D)以及引入空间V=V1×V2，其中V1={u∈V22：divu=0}，V2是满足在x2=0，x2=1处为零，而在x1方向具有周期性的函数全体构成的H1(D)的子空间，具有等价内积和范数
对v1,v2∈V2,((v1,v2))=∫D▽v1·▽v2dx,‖u‖V2=∫D|▽u|2dx,u∈V2.
求解方程组(1)，令
其中
是一维方程dz+zdt=dw(t)的解，则随机变量z(w)是缓增的，且存在一个保测的θt不变集
$ {\mathit{\tilde{\Omega }}}$ ⊂Ω使得对所有w∈$ {\mathit{\tilde{\Omega }}}$ ，t→z(θtw)连续，且z(θtw)满足则方程(4)有如下等价形式
同时边界条件为
其中：ϕ=u，η，p，
$ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{v}}}{\partial {{\mathit{x}}_{\rm{1}}}}, \frac{\partial \mathit{\eta }}{\partial {{\mathit{x}}_{\rm{1}}}}$ .运用Galerkin逼近，参考文献[1]中定理3.3.1的证明可得，对P. a.e. w∈Ω和所有的(u0，η0)∈H，方程组(8)-(9)存在唯一解其中
从而，对所有的t≥0，映射u(u0，η0)
$ \mapsto $ ((u(t，w，u0)，η(t，w，η0)))从H映到H是连续的.则(v，η)是随机系统(4)-(5)的解，其中v=ueεz(θtw).现定义一个连续的随机动力系统φ：$ {{\mathbb{R}}^{+}}\times \mathit{\Omega }\times \mathit{H}\to \mathit{H}$ 其中
同时我们假定
$ \mathscr{B}$ 是H=H1×H2上缓增随机子集的全体，即：
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根据有界域上随机吸引子存在的充要条件，本节我们证明V空间存在随机吸收集.
引理1 设ε∈(0，1]，则对任意的B∈B，P-a.e. w∈Ω，存在T=TB(w)＞0，使得对所有t≥TB(w)，(v0，η0)∈B(θ-tw)，有
其中：
证 在方程(1)第二式两边同时乘以T，再在D上积分得：
由Poincare不等式，取c=1可得
再在(0，t)上由Gronwall引理有
已知η=T-T0+x2，则由(16)式可得，
将(17)式中所有的w用θ-tw来代替，则有
由假设知(v0(θ-tw)，η0(θ-tw))，所以存在TB(w)＞0，当t＞TB(w)时有
再用u对方程(8)第一式两边在H1中作内积，并由Poincare不等式及Young不等式可得：
由Poincare不等式，存在λ＞0，有
则(20)式整理可得：
再在(0，t)上由Gronwall引理，并将(21)式中的w换为θ-tw有：
由τ
$ \mapsto $ z(θτω)是连续的，由(7)式和(22)式有再由于(v0，η0)∈B(θ-tw)，存在TB(w)＞0，当t≥TB(w)＞0时，有
因此，由(19)，(24)式可知，该引理成立.
引理2 设ε∈(0，1]，则对任意的B∈
$ \mathscr{B}$ ，P-a. e. w∈Ω，存在T=TB(w)＞0和两个缓增随机变量r3ε(w)，r4ε(w)，使得对所有t≥TB(w)，(v0，η0)∈B(θ-tw)，有证 首先，在(15)式中，由T1代替T，θ-tw代替w，并给所得式子两端分别乘以e2κ(T1-t)得
给(4)式中的第二式两边同乘η：
由Poincare不等式，存在ξ＞0，有ξ ‖η‖2≤
$ \frac{\mathit{\kappa }}{2}$ ‖▽η‖2，则对(28)式联合Young不等式可得则对(29)式当t≥T1，在(T1，t)上由Gronwall引理，并将所得式子中w替换为θ-tw有
由τ
$ \mapsto$ z(θτω)是连续的，令$ \mathit{\kappa }=\frac{\mathit{\boldsymbol{\xi}}}{2}$ ，由引理1和(27)式可得：对(31)式，由t+1代替t，t代替T1
由于s∈[t，t+1]，有eξ (s-t-1)≥e-ξ，因此由(32)式可得：
再因(v0，η0∈B(θ-tw))，则存在TB(w)＞0，当t≥TB(w)＞0时，有
则由(33)及(34)式即可得
设T2∈(0，t)，在(22)式中，用T2替换t，并在所得式子两端同乘以
$ {{\rm{e}}^{\mathit{\lambda }\left( {{\mathit{T}}_{\rm{2}}}-\mathit{t} \right)+2\mathit{\varepsilon }\int_{\mathit{s}}^{\mathit{t}}{\mathit{z}\left( {{\mathit{\theta }}_{\mathit{\tau -t}}}\mathit{w} \right)\rm{d}\mathit{\tau }}}}$ 得对(21)式在(T2，t)上由Gronwall引理，并将所得式子中的w替换为θ-tw，我们有
其中，当t→+∞时，
我们结合(36)，(37)式有
对(38)式，用t+1代替t，t代替T2有
注意到，当s∈[t，t+1]，有
则由(39)，(40)式可得
再由(v0，η0)∈B(θ-tw)，所以存在TB(w)＞0，当t≥TB(w)，由(40)，(41)式有
引理3 设ε∈(0，1]，则对任意的B∈
$ \mathscr{B}$ ，P-a. e. w∈Ω，存在T=TB(w)＞0和一个缓增随机变量Mε(w)，使得对所有t≥TB(w)，(v0，η0)∈B(θ-tw)，有证 给(8)式中的第一式两端同乘-Δu，则有：
给(8)式中的第二式两端同乘-Δη，则有：
又由文献[1]及Young不等式可得：
再结合(43)-(46)及Young不等式整理可得：
其中，
我们令
由(47)式有
为便于讨论，我们令
结合(48)，(49)式可得：
令s∈(t，t+1)，对(50)式在(t，t+1)上由Gronwall引理可得：
再对(51)式关于s在(t，t+1)上积分，并在所得式子中由θ-t-1w代替w可得：
由引理1，存在TB(w)＞0，当t≥TB(w)时，我们有
则
由引理2，存在TB(w)＞0，当t≥TB(w)时，我们有
结合(54)，(55)式可得
而
其中，由引理1
则结合(57)，(58)式及引理2，并由τ→z(θτw)的连续性可得：
则由(55)-(59)式我们有：
由引理3以及V到H的Soblev紧嵌入，我们得到H空间中随机吸引子的存在唯一性.
定理1 固定ε∈(0，1]，则方程(4)在H上存在唯一的随机吸引子.特别地，带乘性白噪声的随机Boussinesq方程组在H上存在唯一的随机吸引子
$ \mathscr{A}$ ε={Aε(ω)：ω∈Ω}∈$ \mathscr{B}$ .证 由引理1-3可得该定理成立.
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现在考虑当ε→0+时，吸引子的渐近行为.
接下来记ξε=(uε，ηε)是方程(8)的解，ξ =(u，η)是方程
的解.将由(4)式生成的动力系统记为φε.
由文献[3]随机吸引子的上半连续性的理论结果，证明系统的收敛性.
引理4 给定ε∈(0，1]，ξε，ξ分别为(4)式和(60)式的解，则对P-a. e. ω∈Ω，t＞0，当ε→0，ξ0ε→ξ0时，有
证 令
则由(4)式中第一式和(60)式中第一式可得：
对(62)式在H1中用W1作内积，其中
则对(60)式在H1中用W1作内积有：
而
结合(64)-(67)式，我们有：
其中令
对(68)式在(0，t)上由Gronwall引理可得：
由τ
$ \mapsto$ z(θτω)是连续的，对任意的t＞0，w∈Ω，有同理
结合(69)-(71)式，由Lebesgue控制收敛定理，当ε→0时有‖W1(t，w，W10)‖→0
由(8)式中的第二式及(64)式可得
对(73)式在H2中用W2作内积，其中
则对(73)式在H2中用W2作内积有：
而
结合(75)-(77)式可得
与对(69)式的讨论类似，当ε→0时我们有
结合(69)及(79)式可知该引理成立，即
定理2 给定ε∈(0，1]，令
$ \mathscr{A}$ ε={Aε(w)}w∈Ω是方程组(4)的随机吸引子，$ \mathscr{A}$ 是方程组(60)的全局吸引子，则对P-a.e. w∈Ω，有证 由引理1，定义如下的Kε={Kε(w)}w∈Ω：
其中r1(w)和r2ε(w)分别由(14)和(15)式给出.从而有
即Kε存在一致的上界.由引理3知，Eε(w)={ ξ ∈H：‖ ξ ‖V2≤Mε(w)}是H中紧的随机吸收集.由引理3的证明过程易知：Mε(w)关于ε是递增的(类似于r1ε(w))，则
所以，∪0＜ε≤1Aε(w)在H中是预紧的.由文献[4]的理论结果和引理4，结论成立.
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