Existence of Nontrivial Solutions for a Fractional Schrodinger-Maxwell Equation in $\mathbb{R}$³

本文研究以下分数阶Schrödinger-Maxwell方程非平凡解的存在性:

其中, α∈(0, 1], ${{K}_{\alpha }}=\frac{{{\pi }^{-\alpha }}\mathit{\Gamma }\left( \alpha \right)}{{{\pi }^{-\frac{3-2\alpha }{2}\mathit{\Gamma }\left( \frac{3-2\alpha }{2} \right)}}}$, λ＞0, μ＞0, 1 < q < 2, V, ξ:${{\mathbb{R}}^{3}}\to \mathbb{R}$, f:${{\mathbb{R}}^{3}}$×$\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, V, ξ, f满足以下条件:

(ⅰ) V是${{\mathbb{R}}^{3}}$上的连续函数, 存在a₁＞0使得

并且

(ⅱ) f是$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$上的连续函数, 存在d₁, d₂＞0, p∈(4, 2_α^*), 使得

其中

(ⅲ) f(x, u)=o(|u|), u→0对x∈${{\mathbb{R}}^{3}}$一致成立,

(ⅳ)存在θ＞4使得0 < θF(x, u)≤uf(x, u), 其中, x∈${{\mathbb{R}}^{3}}$, u≠0,

(ⅴ) $\xi \in {{L}^{\frac{2}{2-q}}}$(${{\mathbb{R}}^{3}}$).

近年来, 分数阶方程的研究引起了极大的关注, 其在社会生活中的应用层出不穷^[1].例如, Anastasio认为前庭视觉反射效应是分数阶的, 运动神经控制是整数阶的, 模型为

其中D^p是分数阶导数.

众所周知, Schrödinger方程是物理学中非相对性量子力学的基本方程, 文献[2]基于Lévy飞行的路径, 利用路径积分的方法, 得到用Riesz算子表示的空间分数阶Schrödinger方程:

在非线性项f的各种条件下, 文献[3-16]获得了方程(4) 弱解的存在性, 且利用山路定理获得了方程(4) 基态解的存在性, 其中f(x, u)在无穷远处关于u渐进线性增长, 即

对x∈${{\mathbb{R}}^{N}}$一致成立.

文献[4]利用山路定理, 在非线性项f满足次临界增长和Ambrosetti-Rabinowitz条件下, 获得了方程(4) 非平凡弱解的存在性.

文献[5]利用山路定理和Ekeland变分原理, 获得了带有扰动项的分数阶Schrödinger方程(4) 解的存在性, 其中的扰动项是

以下介绍本文所使用的工作环境, 并相应给出方程(1) 中函数φ的相关信息.

令r∈[1, +∞), 赋予Lebesgue空间L^r(${{\mathbb{R}}^{3}}$)上的范数为

令α∈(0, 1], 定义分数阶Sobolev空间为

其中${\hat{u}}$=$\mathscr{F}$(u), 并在其上赋予范数

令D^α(${{\mathbb{R}}^{3}}$)为C₀^∞(${{\mathbb{R}}^{3}}$)的完备化空间, 并赋予范数

根据Plancherel定理知

从而

因此, 有

鉴于此, 定义本文使用的工作空间

且E是Hilbert空间^[4], 其上的内积为

由内积诱导的范数为

根据(ⅰ)和λ＞0易知‖u‖_E和‖u‖_H^α等价.以下简记(u, v)_E和‖u‖_E为(u, v)和‖u‖.

引理1^{[3, 6, 8]}  当p∈[2, 2_α^*]时, H^α(${{\mathbb{R}}^{3}}$)连续嵌入到空间L^p(${{\mathbb{R}}^{3}}$); 当p∈[2, 2_α^*)时, H^α(${{\mathbb{R}}^{3}}$)紧嵌入到空间L^p(${{\mathbb{R}}^{3}}$).因此存在正常数c_p使得

其中

引理2^[13]  对每一个u∈H^α(${{\mathbb{R}}^{3}}$), 存在唯一的φ=φ(u)∈D^α(${{\mathbb{R}}^{3}}$)解方程(2), 且φ(u)定义为

从而映射Φ:u∈H^α(${{\mathbb{R}}^{3}}$)|→φ(u)∈D^α(${{\mathbb{R}}^{3}}$)是C¹类的, 并且

以下给出方程(1), (2) 对应的能量泛函.定义J:H^α(${{\mathbb{R}}^{3}}$)×D^α(${{\mathbb{R}}^{3}}$)→$\mathbb{R}$如下:

其中

在方程(2) 两端乘以φ=φ(u), 我们有

综上可知

并根据文献[13]中的引理2.7可得, 能量泛函J的导数为

定义1  如果(u, φ)是泛函J在H^α(${{\mathbb{R}}^{3}}$)×D^α(${{\mathbb{R}}^{3}}$)中的临界点, 则称(u, φ)是方程(1), (2) 的弱解.

定义2  令E是实Banach空间, J∈C¹(E, $\mathbb{R}$).若{J(u_n)}有界且J′(u_n)→0, n→∞蕴含{u_n}有收敛子列, 则称J满足(PS)条件.

引理3^[17]   令E是实Banach空间, J∈C¹(E, $\mathbb{R}$)满足(PS)条件以及

1) J(0) =0且存在β＞0, ρ＞0, 使得

2) 存在e∈E, ‖e‖＞ρ, 使得

令

其中

则c是泛函J的一个临界值.

以下是本文的主要结论:

定理1  若(ⅰ)-(ⅴ)成立, 则对于每一个λ＞0, 存在μ₀＞0, 使得当μ∈(0, μ₀)时, 方程(1), (2) 至少有一个非平凡解.