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设函数Ω(x, z):
${{\mathbb{R}}^{n}}$ ×${{\mathbb{R}}^{n}}$ →${\mathbb{R}}$, 满足对任意的x, z∈${{\mathbb{R}}^{n}}$ 和λ＞0有对任意的x∈
${{\mathbb{R}}^{n}}$ 有其中, Sn-1={x∈
${{\mathbb{R}}^{n}}$ :|x|=1}, r≥1, dσ表示其上的Lebesgue测度.设0 < α < n, f∈Lloc(
${{\mathbb{R}}^{n}}$ ), 变量核齐次分数次积分算子定义为变量核的奇异积分算子在研究具有不连续系数的椭圆方程时发挥着重要作用[1-2], 它的研究一直得到人们的广泛关注[3-9].当Ω(x, z)=1时, 文献[8]证明了T1, α是从Morrey空间
${{L}{\frac{\lambda }{a},\lambda }}\left( {{\mathbb{R}}^{n}} \right)$ 到BMO(${{\mathbb{R}}^{n}}$ )上的有界算子.当Ω(x, z)=Ω(x)并满足一定的正则性条件时, TΩ, α的有界性的研究结果可参见文献[10-11].受文献[1-11]研究的启发, 本文主要研究变量核齐次分数次积分算子TΩ, α在Morrey空间上的有界性质.为此, 首先回忆有关定义和记号:设s≥1, 如果
则称Ω(x, z)满足一类Ls-Dini条件, 其中,
ρ是
${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中的一个旋转,用Q=Q(x0, d)表示
${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中以x0为中心, 边长为d的方体.设记
其中
Campanato空间
对于1≤p≤∞, 0 < λ≤n, Morrey空间定义为
设f为一局部可积函数, 对任意球B⊂
${{\mathbb{R}}^{n}}$ , 记BMO空间定义为
本文的主要结果如下:
定理1 设0 < α, λ < n, 如果Ω满足(1) -(3) 式及对某个s＞1满足Ls-Dini条件, 那么存在一个常数C＞0, 使得
定理2 设0 < α < 1, 0 < λ < n,
$\frac{\alpha }{\lambda }$ < p < ∞, Ω满足(1) -(3) 式.如果对某个β＞α-$\frac{\lambda }{p}$ , 当s＞$\frac{\lambda }{\lambda -\alpha }$ 时, Ω的r阶连续模ωr(δ)满足那么存在一个常数C＞0, 使得对于1≤l≤
$\frac{\lambda }{\lambda -\alpha }$ 时,成立.
全文中, 用C表示不依赖于主要参数的绝对正常数, 在不同行甚至在同一行中可以不同.
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为证明定理, 需要下面的引理.
引理1 设0 < α < n, s＞1, Ω满足(1) -(3) 式及Ls-Dini条件.则存在一个常数0 < a0 <
$\frac{1}{2}$ , 使得当|x| < a0R时,成立.
证 容易得到
引理证毕.
定理1的证明 设Q(x0, d)为以
${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中的x0为中心, 边长为d的方体, 并记因此,
另一方面, 记p=
$\frac{\lambda }{\alpha }$ , 相应的p′=$\frac{\lambda }{\lambda -\alpha }$ , 利用Hölder不等式, 有综合(7) 式和(8) 式, 我们得到
下面估计T2f(x):
利用Hölder不等式, 有
由于
我们有
对于E1, 记R=2jd, 注意到x∈Q时, 有
因此由引理1, 有
由于
所以
因此, 由(12), (13), (14) 式, 得
最后我们估计(11) 式中的另一部分, 由于
利用Hölder不等式, 有
因此,
我们综合(9) 式和(16) 式可以得到
定理1证毕.
定理2的证明 记T1f(x)与T2f(x)同定理1的证明, 我们首先估计T1f(x):
因此
另一方面, 利用Hölder不等式, 容易得到
综合(18) 式和(19) 式, 我们得到
下面估计T2f(x):
注意到s＞
$\frac{\lambda }{\lambda -\alpha }$ , 所以有s′ <$\frac{\lambda }{\alpha }$ < p.记E1和E2同定理1的证明, 利用Hölder不等式和定理1的证明中关于E1+E2的估计式, 我们有其中,
因此,
我们综合以上几部分, 得
由(21) 式和(23) 式得
最后, 综合(20) 式和(24) 式, 得
从而完成了定理2的证明.
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