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我们知道，每个完全0-单半群都同构于一个I×Λ Rees矩阵半群
$\mathscr{M}^0$ [G；I，Λ；P][1].而I×Λ自然可以作成一个矩形带，本文引用文献[2]和文献[3]中关于完全单半群的记法，给出了关于完全0-单半群的Rees矩阵定理的一个简明刻画.文中未介绍的符号及记号请读者参见文献[1].令S为一个半群.
引理1[1] 若a，b∈S，(a，b)∈ℝ，且s，s′∈S1满足as=b，bs′=a，则右平移ρs|La，ρs′|Lb是分别从La到Lb和Lb到La的保持ℝ-类的互逆双射.
引理2[1] 若a，b∈S，(a，b)∈
$\mathscr{L}$ ，且t，t′∈S1满足ta=b，t′b=a，则左平移λt|Ra，λt′|Rb是分别从Ra到Rb和Rb到Ra的保持$\mathscr{L}$ -类的互逆双射.引理3[1] 若a，b∈S，且(a，b)∈
$\mathscr{D}$ ，则ab∈Ra∩Lb当且仅当La∩Rb含有一个幂等元.引理4[1] 每个I×Λ Rees矩阵半群
$\mathscr{M}^0$ [G；I，Λ；P]是完全0-单半群.引理5[1] 在S的正则
$\mathscr{D}$ -类中，每个$\mathscr{L}$ -类和ℝ-类含有幂等元.引理6[1] 每个矩形带都同构于笛卡尔积I×Λ上乘法如下定义的半群：
引理7 令B为半群S的一个
$\mathscr{D}$ -类中$\mathscr{H}$ 关系的代表元形成的集合.在B上定义乘法运算则(B，*)形成一个矩形带.
证 首先，上述乘法定义合理.又因为
所以(B，*)形成一个矩形带.
令G是单位元为e的群，B是一个矩形带，其中矩形带中每一个元素a都对应着0-群G0中的一个元素pa，称该对应为夹心矩阵，简记为P=(pa)a∈B.若对∀a∈B，∃b∈B，使得pab≠0，对∀a∈B，∃c∈B，使得pca≠0，则称P是正则的.令
定义T上的乘法运算：
引理8 上述T是一个完全0-单半群.
证 设B同构于笛卡尔积I×Λ按引理6做成的矩形带，改记夹心矩阵P中的元素pa为pλi，其中a=(i，λ)∈B，则P=(pa)a∈B的正则性保证了P=(pλi)的正则性.定义映射
如下：
显然ψ为双射，下证ψ为同态映射.任取x，y∈T，若x，y中有零元，则显然有
现令
若
则有
那么
且
否则，
所以ψ为T到(I× G× Λ)∪{0}的同构映射，由引理4，T为完全0-单半群.
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定理1 令G0是一个0-群，B是一个矩形带，其中矩形带中每一个元素a都对应着G0中元素pa，设P=(pa)a∈B是正则的，
且定义S上的乘法如(1)式与(2)式.则S是一个完全0-单半群.
反过来，每一个完全0-单半群均可如此构造.
证 据引理8，定理前半部分已经证明，为了证明定理的后半部分，令S是含有本原幂等元e的完全0-单半群.我们有
引理9[1] Re=eS\{0}.
引理10 Le=Se\{0}.
引理11 S只有两个
$\mathscr{D}$ -类，分别是{0}和D=S\{0}，且S是正则的.证 设a≠0，因为S是0-单半群，所以(a，e)∈
$\mathscr{J}$ ，因此存在x，y∈S使得据引理9和10，(e，xe)∈
$\mathscr{L}$ ，(e，ey)∈ℝ，据引理3，(xe)(ey)∈Rxe∩Ley，所以(a，e)∈$\mathscr{D}$ ，也即S\{0}是一个$\mathscr{D}$ -类.因为D=S\{0}含有幂等元e，所以D是正则的，因此S是正则的.
顺便指出，文献[1]是在下述两个引理的基础上证明S的正则性的，而在下述两个引理中，如果没有S的正则性，那么a∈aS或a∈Sa并不显然.
引理12[1] 对于每个0≠a∈S，Ra=aS\{0}.
引理13[1] 对于每个0≠a∈S，La=Sa\{0}.
令
B为S\{0}，按引理7的方式构造矩形带，并约定He中的代表元选为e.对任意a∈B，定义
当pa≠0时，据引理12和13有
因此，矩形带B中每一个元素a都对应着0-群He0中的一个元素pa.据引理3，(3)式成立当且仅当Ha中含有一个幂等元.据引理5，D=S\{0}中每一个
$\mathscr{L}$ -类和ℝ-类至少含有一个幂等元，因此P=(pa)a∈B是正则的.据引理8，(B×G)∪{0}形成完全0-单半群.定义映射如下：
因为
所以
据引理2，g|→(a*e)g是He到Ha*e的双射.类似地，因为
所以
据引理1，h|→h(e*a)是Ha*e到Ha的双射，所以φ是双射.
以下验证φ是同态映射：任取x，y∈(B×G)∪{0}，若x，y中有零元，则显然有
现令
若
即
则有
且
否则，
综上，φ是从(B×G)∪{0}到S的同构映射.
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