The Asymptotic Behaviors of Mixed Generalized Gamma Distributions

Guo-tao LIU; Shou-quan CHEN

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2018.01.013

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In this note, we discuss the asymptotic behaviors of independent and identically distributed (i.i.d.) extremes for mixed generalized gamma distributions (MGGD) and their pointwise convergence rate.

Corresponding author: Shou-quan CHEN

Received Date: 22/10/2016

Available Online: 20/01/2018

Key words:

Abstract: In this note, we discuss the asymptotic behaviors of independent and identically distributed (i.i.d.) extremes for mixed generalized gamma distributions (MGGD) and their pointwise convergence rate.

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设$\{Y_{n}，n≥1\}$为独立同分布随机变量序列(简记$i. i. d.$随机序列)，其分布函数为$F(x)$.令$M_{n}=\text{max}\{Y_{1}，…，Y_{n}\}$，由经典极值理论知，如果存在规范常数$a_{n}＞0，b_{n}∈\mathbb{R}$，及对非退化的分布函数$G(x)$，使得

则G(x)必为极值类型分布，此时称F属于极值类型分布G的吸引场，记为F∈D(G)，其中规范常数a_n，b_n的确定方法可参看文献[1-2].

关于广义伽马分布的研究已有很多研究成果.文献[3]对伽马模型进行概括得出三参数广义伽马模型，广义伽马分布(简称为GGD)的概率密度函数为：

其中：β＞0，λ＞0，c＞0，且Γ(·)为伽马函数.文献[4]得到了广义伽马分布的Mills比率：

并证明了广义伽马分布(GGD)的极值分布属于Λ吸引场，得到了其极值分布的点点收敛速度.关于广义伽马分布的更多性质与应用可参见文献[5-6].

设X₁，X₂，…，X_r为服从广义伽马分布的独立随机变量序列，其中随机变量X_i的密度函数和分布函数分别为f_i(x)和F_i(x)，即F_i(x)~GGD_i，i=1，2，…，r，定义一个新的随机变量Z为

其中p_i≥0，1≤i≤r且$∑\limits^{r}_{i=1}p_{i}=1$.由此，通过定义易得Z的分布函数为

则称随机变量Z服从混合广义伽马分布(简记MGGD)，记F~MGGD.本文将进一步讨论混合广义伽马分布的渐进性质.

1. 极限分布

下面将给出混合广义伽马分布(MGGD)的极值类型分布.

定理1设{Z_n，n≥1}为独立同分布随机变量序列，其分布函数F(x)定义如(4)式，即F(x)~MGGD.令f_i(x)和F_i(x)分别为广义伽马分布的密度函数和分布函数，即F_i(x)~GGD(λ_i，β_i，c_i)，则对β_i＞0，λ_i＞0，c_i＞0，有

其中，规范常数

和

证首先令r=2，F(x)=p₁F₁(x)+p₂F₂(x)，其中p₁+p₂=1，则由(3)式得

设

则

易知

(Ⅰ)当x→∞，c₁＜c₂，λ₁，λ₂，β₁，β₂＞0时，有H(x)→0；

(Ⅱ)当x→∞，c₁=c₂，λ₁＜λ₂，β₁，β₂＞0时，有H(x)→0；

(Ⅲ)当x→∞，c₁=c₂，λ₁=λ₂，β₁＞β₂时，有H(x)→0.

因此

当r有限时，对此类似可以得到

其中1≤k≤r，且

(ⅰ)若c_k=min{c₁，c₂，…，c_r}只有一个值时，则λ_k，β_k和p_k分别为F_k(x)对应的值；

(ⅱ)若c_{k_i}=min{c₁，c₂，…，c_r}有多个值，其中i=1，2，…，a，且a＜r，但λ_{k_i}=min{λ_k₁，λ_k₂，…，λ_{k_a}}只有一个值时，则β_{k_i}，p_k为F_{k_i}(x)对应的值；

(ⅲ)若c_{k_i}=min{c₁，c₂，…，c_r}有多个值，其中i=1，2，…，a，a＜r，并且λ_{k_j}=min{λ_k₁，λ_k₂，…，λ_{k_a}}也有多个值，其中j=1，2，…，b，b＜a，则β_{k_l}=max{β_k₁，β_k₂，…，β_{k_b}}其中l＜b，p_k分别为F_{k_l}(x)对应的值.设

则当t→∞时

由文献[4]中定理1.1可得F∈D(Λ)，则有

规范常数a_n和b_n可由以下方程解得

其中u_n(x)=a_nx+b_n.类似文献[2]中定理1. 5. 3，易得(6)和(7)式.

定理证毕.

2. 收敛速度

下面讨论混合广义伽马极值分布的点点收敛速度.

定理2设{Z_n，n≥1}为独立同分布随机变量序列，其分布函数F(x)在(4)式中给出，即F(x)~MGGD.当n→∞时，对β_i＞0，λ_i＞0，c_i＞0，有

其中，规范常数

和

证由定理1可得F∈D(Λ).设

则

且

由式(2)和式(3)，有

令

当n→∞时，有

因此，由文献[2]中的定理2.4.2可知(10)式成立.

定理2证毕.

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

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