An Efficient Principal Component Monte Carlo Method for Pricing European Options with Multi-Factors

Yi-juan LIANG; Cheng-long XU; Jun-mei MA

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2018.01.014

This paper constructs a framework of accelerating Monte Caro simulation for pricing European options with multiple stochastic factors. The underlying principle of the technique is that if all stochastic factors in the payoff function are replaced by some important principal components (PCs), the resulting integral can easily be evaluated in a closed form, and thus the approximated payoff can be used as a control variate. Due to the independence of the PCs, Monte Carlo simulations with multiple control variates are always more effective than the ones with a univariate control. Numerical tests designed for portfolio options and Asian options verify the efficiency and stability of our method.

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1973年，文献[1]给出了欧式标准期权的定价公式，成为衍生品定价历史上的一项重大突破.然而，如果欧式期权的标的资产与多个随机因子有关，如多资产期权、路径依赖期权等，一般就无法得到期权价格的封闭解.在风险中性世界中，如果能够对衍生产品进行完全对冲，则其价格可以表示为风险中性世界中的贴现收益函数的期望值.蒙特卡罗模拟可以用来求解这一类期望问题.相对于有限差分法、二叉树等其它数值方法而言，蒙特卡罗模拟思想简单，具有计算误差与维度无关的优势，可以很自然地用于高维问题的求解.然而，蒙特卡罗模拟收敛速度较慢，常常需要使用各类方差减小技巧^[2]来提高其精度.

控制变量是一种常用的方差减小技巧^[2]，它是一种充分利用已知量的估计误差来降低未知量的估计误差的技术.文献[3-8]就使用了控制变量方法来加速各种期权的定价.在本文中，我们基于主成分分析提出了一种多元控制变量的构造框架，称为主成分蒙特卡罗方法(principle components Monte Carlo，PCMC).主成分分析是一种常用的统计降维方法.其主要想法是，可以使用少数几个独立的主成分去表示原始多维随机变量的绝大部分信息^[9].主成分的一个重要特征就是，每一个主成分都是一个一维随机变量，从而基于一个主成分构造的控制变量容易得到精确值.目前，使用主成分方法来构造控制变量的研究还较少.文献[10]使用主成分抽样的方法去构造布朗桥，从而降低问题的维度.

本文首先分析了对欧式多因子期权定价模型使用多元控制变量进行蒙特卡罗模拟的一般思路，然后基于原始变量的主成分变换构造了3种不同的控制变量方法.对多资产期权和亚式期权分别展开的数值算例表明，与使用几何平均的期权作为控制变量的方法相比，本文提出的基于主成分的控制变量方法具有方差更小、效果更好且对模型参数不敏感的优点.

1. 多因子期权定价模型及主成分控制变量方法

1.1. 多因子欧式期权定价模型

本文考虑欧式多因子期权的定价问题.在风险中性世界中，这等价于求一个如下高维积分问题：

其中：$\boldsymbol{X}$是$n$维标的资产的状态变量，其概率密度函数为$f(x)$，$F(\boldsymbol{X})$是贴现收益函数.多因子指的是标的资产状态变量$\boldsymbol{X}$，它的“多”可能来源于标的资产的高维性，如多资产期权，或者标的资产的路径依赖性，如亚式期权的收益函数典型地依赖于多个时间状态的值.

经典的蒙特卡罗(classical Monte Carlo, CMC)方法可以用来解决这一类期望问题.首先根据密度函数$f(x)$生成容量为$N$的随机样本$X^{(i)}(i=1，2，…，N)$，然后计算每一个样本函数的值$V^{(i)}=f(\boldsymbol{X}^{(i)})$，最后计算样本均值

则样本均值$\bar{V}_{N}$就是期权价格$E[V]$的一个无偏估计.如果随机样本$V^{(i)}$具有有限方差$σ^{2}$，中心极限定理说明样本的误差满足

其成立的概率为1-α，其中$z_{1-\frac{α}{2}}$是标准正态分布的$1 - \frac{\alpha }{2}$分位数.于是蒙特卡罗方法的有效性可以用样本的标准误差$std(\bar{V}_{N})=\frac{σ}{\sqrt{N}}$来度量.可以看出，蒙特卡罗方法的收敛性速度非常慢，仅为$O(N^{-1/2})$.对多因子期权定价问题，考虑到标的状态变量的高维性，即使生成一个简单随机样本也需要大量的时间.

1.2. 多元控制变量方法

控制变量(control variate)技巧是一种常用的方差减小技术，它利用一个已知量的估计误差来降低未知量的估计误差^[2].使用控制变量技巧可以大大提高蒙特卡罗模拟的效率.为了说明其思想，考虑问题(1)，即计算随机变量V的期望$E[V]$.在得到$V^{(i)}$的同时能得到另一个随机向量$\boldsymbol{C}=(C_{1}，C_{2}，…，C_{d})^{\text{T}}$的样本$\boldsymbol{C}^{(i)}$，且其期望$E[\boldsymbol{C}]$已知.假设随机样本$(\boldsymbol{C}^{(i)}，V^{(i)})$具有如下的协方差矩阵

其中$\text{Σ}_{C}$是非奇异的$d×d$方阵，$\text{Σ}_{CV}$是$d×1$向量，常数$σ^{2}_{V}$是变量$V$的方差.对任意固定的向量$\boldsymbol{b}∈\mathbb{R}^{d}$，可以构造$E[V]$的一个估计值

其中误差$\bar{\boldsymbol{C}}_{N}-E[\boldsymbol{C}]$是可以观察的，这就成为未知误差$\bar{V}_{N}-E[V]$的一个控制，把$\boldsymbol{C}$称为$V$的一个控制向量或者多元控制变量.显然控制变量估计值$\bar{V}_{N}(\boldsymbol{b})$是一个无偏估计，并且可以选择如下的最优系数

使得估计值方差最小为

其中$R^{2}_{CV}$是平方复相关系数，它度量了使用控制变量$\boldsymbol{C}$后$V$的方差减小比例.于是，控制变量方法的效率可以用方差减小指数

来度量.方差减小指数对控制向量$\boldsymbol{C}$和原始变量$V$之间的相关系数$R_{CV}$高度敏感，如果$\left|R_{CV}\right|$趋向于1，则方差减小指数可以大幅度提高.这说明，为了有效地减小方差，必须要选择一个与原始变量高度相关的控制向量.当然，控制向量的选择取决于具体的问题，对于期权定价问题，标的资产、债券价格、对冲等都可以作为控制变量.

特别地，当多元控制变量$\boldsymbol{C}$的各个分量独立时，此时协方差矩阵$\text{Σ}_{C}$是对角矩阵.于是，平方复相关系数

其中$ρ_{C_{i}V}$是控制变量$C_{i}$与$V$的相关系数.这也说明，如果控制变量之间相互独立，使用的控制变量个数越多，那么其方差减小效果越好.

1.3. 主成分控制变量方法

主成分分析((principle component analysis, PCA))是一种对多维随机变量的统计降维方法.更准确地说，它是将研究对象的多个相关变量近似地转化为少数几个独立变量的一种多元统计方法^[9].在多变量统计分析中，为了尽可能完整地搜集信息，对每个样品往往测量许多指标，这虽然可以避免重要信息的遗漏，然而从统计的角度来看，这些变量可能高度相关，反而增加了问题的复杂性.因此，自然想到用少数几个不相关的综合变量来代替原来较多的相关变量，而不损失原始变量的大部分信息.

对标的资产的状态变量$\boldsymbol{X}=(X_{1}，X_{2}，…，X_{n})^{\text{T}}$，假设其均值向量和协方差矩阵分别为$\boldsymbol{\mu}_{X}，\text{Σ}_{X}$.显然$\text{Σ}_{X}$是一个半正定对称矩阵，于是有谱分解

其中

是特征值组成的对角矩阵，且$λ_{1}≥λ_{2}≥…≥λ_{n}≥0$.而$\boldsymbol{U}=(\boldsymbol{u}_{1}，\boldsymbol{u}_{2}，…，\boldsymbol{u}_{n})$是一个正交矩阵，$\boldsymbol{u}_{i}$是特征值$λ_{i}$对应的特征向量.于是，$\boldsymbol{X}$的主成分变换为

此时，贴现收益函数$F(\boldsymbol{X})$变为$g(\boldsymbol{Y})$，期权定价问题(1)等价于

显然(5)式定义的主成分$\boldsymbol{Y}$具有零均值. $\boldsymbol{Y}$的第$i$个分量$Y_{i}=\boldsymbol{u}^{\text{T}}_{i}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu}_{X})$称为第$i$个主成分(principle component, PC).显然，$\boldsymbol{Y}$的协方差矩阵就是Λ，也就是说$\text{var}(Y_{i})=λ_{i}$，并且$\text{cov}(Y_{i}，Y_{j})=0，i≠j$.第$i$个主成分$Y_{i}$的贡献率定义为

这说明了$Y_{i}$对原变量的信息解释能力.前$q$个主成分的解释能力可以用累计贡献率$ψ_{q}$来度量，

$ψ_{q}$越大，说明前$q$个主成分的解释能力越强.

现在，对多因子期权定价问题(6)，利用主成分可以构造多元控制变量，我们称这种模拟方法为主成分蒙特卡罗(principle component Monte Carlo, PCMC)方法.

1.3.1. PCMC方法1

采用式(7)中定义的累计贡献率$ψ_{q}$作为标准，如果特征值$λ_{1}$相对于$λ_{2}$很大，则第一个主成分$Y_{1}$可以解释原始变量$\boldsymbol{X}$的绝大部分信息.自然，$Y_{1}$可以用来构造一个控制变量

如果$λ_{1}$相对于$λ_{2}$不是很大，那么在使用$Y_{1}$的同时，可以使用第二个主成分$Y_{2}$一起来解释$\boldsymbol{X}$的信息.同时使用$Y_{1}$，$Y_{2}$构造的一个控制变量是

理论上，可以用前$k$个主成分$Y_{1}，Y_{2}，…，Y_{k}$构造如下的控制变量

实际上，上面构造的控制变量可以从另一个角度来理解.在$n$维积分问题(6)中，如果特征值$λ_{2}，…，λ_{n}$相对于$λ_{1}$很小，这说明主成分$Y_{2}，…，Y_{n}$的方差也很小，于是可以把它们近似看作是常数.也就是说，在积分(6)中，$Y_{2}，…，Y_{n}$可以用它们的期望值0代替，于是就得到了$C^{1}$.$ C^{1}$自然地可以看作是贴现收益函数的一个近似.同样地，$C^{k}$也可以看作是贴现收益函数的一个近似.它们都可以用作蒙特卡罗模拟的控制变量.

一个好的控制变量必须容易得到它的期望，并且与原始变量高度相关.在实际中，考虑到计算的复杂程度，运用最多的还是$C^{1}$，$C^{2}$，$C^{3}$.

1.3.2. PCMC方法2

为了避免计算形如$C^{k}$这样的高维积分，可以使用单个的主成分构造如下的控制变量：

$C_{k}$的期望$E[C_{k}]$是一个一维积分，采用一些数值方法容易得到.由于主成分$Y_{k}$是按照它们的重要程度降序排列的，可以猜测$C_{k}$与贴现收益函数$g(\boldsymbol{Y})$之间的相关性也随着$k$增大而减小.由于$Y_{1}，Y_{2}，…，Y_{k}$之间是相互独立的，所以控制变量$C_{1}，C_{2}，…，C_{k}$之间也是独立的，使用多元控制可以得到更好的方差减小效果.

1.3.3. PCMC方法3

如果从贴现收益函数$g(\boldsymbol{Y})$的近似表达来看，$C^{k}$显然比$C_{1}，C_{2}，…，C_{k}$的精确程度更高，当然也具有更高的相关系数.于是，可以提出一种混合的多元控制变量，即使用$C^{k}，C_{k+1}，…，C_{p}(p≤n)$.注意到$C^{1}=C_{1}$.在下文中，我们将使用形如$C^{2}，C_{3}，…，C_{k}$的控制变量.

3. 结论

在本文中，对于具有多个随机因子的欧式期权定价问题，基于标的资产状态变量的主成分变换构造了一系列的控制变量.数值结果说明，使用多个主成分控制变量方法可以大大提高蒙特卡罗模拟的效率，并且加速效果比较稳定.相对于使用几何平均的期权作为控制变量而言，本文提出的方法在各种参数下都具有更好的效果.

本文提出的通过主成分来构造控制变量的方法也可以推广到其它多因子定价模型，如高维的随机波动率模型以及随机利率模型下的衍生产品定价问题.

Figure (2) Table (5) Reference (14)

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

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