A Predator-Prey Mathematical Model with Both the Populations Affected by Diseases

系统(1)显然存在两个平衡点E₀=(0，0，0，0)与E₁=(1，0，0，0).

当β₁＞d₀时，存在边界平衡点E₂=(S_x2，I_x2，0，0)，其中${S_{x2}} = \frac{{{d_0}}}{{{\beta _1}}}, {I_{x2}} = \frac{{r({\beta _1}- {d_0})}}{{{\beta _1}({\beta _1} + r)}} $.

当θk＞d₁时，存在边界平衡点E₃=(S_x3，0，S_y3，0)，其中${S_{x3}} = \frac{{{d_1}}}{{\theta k}}, {S_{y3}} = \frac{{r(\theta k- {d_1})}}{{\theta {k^2}}} $.

假设(S_x^*，I_x^*，S_y^*，I_y^*)为系统(1)的正平衡点，则有

解得

所以当d₁(r+β₁)＞k(r+d₀)(ρθ-β₂)，(d₁-θkS_x^*)(ρθ-β₂)＞0，β₁S_x^*＞d₀时，存在正平衡点E₄=(S_x^*，I_x^*，S_y^*，I_y^*).

在这一节中，我们将讨论各个平衡点的局部稳定性.易得系统(1)在平衡点(S_x，I_x，S_y，I_y)处线性化后所对应的的Jacobian矩阵为

定理1  平衡点E₀是鞍点.

证  系统(1)在E₀处的Jacobian矩阵为

显然E₀是鞍点.证毕.

定理2  若β₁＜d₀且θk＜d₁，则平衡点E₁局部渐近稳定，若β₁＞d₀或θk＞d₁，则平衡点E₁不稳定.

证   系统(1)在E₁处的Jacobian矩阵为

其所对应的特征值为λ₁=-r，λ₂=β₁-d₀，λ₃=θk-d₁，λ₄=-d₂，所以当β₁＜d₀且θk＜d₁时，平衡点E₁局部渐近稳定; 当β₁＞d₀或θk＞d₁时，E₁不稳定.证毕.

定理3   假设β₁＞d₀，若

则平衡点E₂局部渐近稳定; 若

则平衡点E₂不稳定.

证   系统(1)在E₂处的Jacobian矩阵为

其对应的特征方程为

显然

为其特征值，且另外两个特征值λ₃，λ₄为方程λ²+rS_x2λ+β₁(r+β₁)S_x2I_x2=0的两个根，易得λ₃，λ₄的实部小于0.所以当

时，平衡点E₂局部渐近稳定; 当

平衡点E₂不稳定.

定理4  假设θk＞d₁，若β₁d₁＜θk d₀+r(θk-d₁)，则平衡点E₃局部渐近稳定，若β₁d₁＞θk d₀+r(θk-d₁)，则平衡点E₃不稳定.

证   系统(1)在E₃处的Jacobian矩阵为

其对应的特征方程为

显然有特征根

另外两个特征值λ₃，λ₄为方程λ²+rS_x3λ+θk²S_x3S_y3=0的两个根，显然λ₃，λ₄的实部小于0.所以当β₁d₁＜θk d₀+r(θk-d₁)时，平衡点E₃局部渐近稳定; 当β₁d₁＞θk d₀+r(θk-d₁)时，平衡点E₃不稳定.证毕.

定理5   平衡点E₄不稳定.

证  系统(1)在E₄处的Jacobian矩阵为

其对应的特征方程为

显然有特征根λ₁=-d₂.另外3个根λ₂，λ₃，λ₄满足方程

其常数项

从而根据Hurwitz判据^[16]可得，λ₂，λ₃，λ₄中至少有一个根的实部为正，所以平衡点E₄不稳定.证毕.

定理6   若β₁＜d₀且θk＜d₁，则平衡点E₁=(1，0，0，0)全局渐近稳定.

证  构造Lyapunov函数

将V(t)沿着系统(1)的轨线求导得

设

易得$\dot V\left( t \right) $ =0当且仅当S_x=1，I_x=0，S_y=0，I_y=0.因此D₁的最大不变集为{E₁}.从而由Lyapunov-LaSalle不变原理^[17]可以得到：当β₁＜d₀且θk＜d₁时，平衡点E₁全局渐近稳定.证毕.

定理7  假设β₁＞d₀，当$ {S_{x2}} + \frac{{\left( {r + {\beta _1}} \right){I_{x2}}}}{{{\beta _1}}} < \frac{{{d_1}}}{{\theta k}}$时，平衡点E₂=(S_x2，I_x2，0，0)全局渐近稳定.

证   构造Lyapunov函数

将V(t)沿着系统(1)的轨线求导得

将r=rS_x2+(r+β₁)I_x2，d₀=β₁S_x2代入整理得

设

易得$\dot V\left( t \right) $ =0当且仅当S_x=S_x2，S_y=0，I_y=0.因此D₂的最大不变集为{(S_x，I_x，S_y，I_y)|S_x=S_x2，I_x=I_x2，S_y=0，I_y=0}显然当${S_{x2}} + \frac{{\left( {r + {\beta _1}} \right){I_{x2}}}}{{{\beta _1}}} <\frac{{{d_1}}}{{\theta k}} $时，有$\frac{{\theta k{d_0}}}{{{\beta _1}}} + \frac{{kr\left( {{\beta _1} - {d_0}} \right)\left( {\rho \theta - {\beta _2}} \right)}}{{\left( {{\beta _1}\left( {{\beta _1} + r} \right)} \right)}} < {d_1} $，所以平衡点E₂局部渐近稳定.从而由Lyapunov-LaSalle不变原理^[17]可以得到：当${S_{x2}} + \frac{{\left( {r + {\beta _1}} \right){I_{x2}}}}{{{\beta _1}}} < \frac{{{d_1}}}{{\theta k}} $时，平衡点E₂全局渐近稳定.证毕.

定理8   假设θk＞d₁，当$ {S_{x3}} + \frac{{\left( {{\beta _2} - \rho \theta } \right)k{S_{y3}}}}{{\theta \left( {r + {\beta _1}} \right)}} < \frac{{{d_0}}}{{{\beta _1}}}$时，平衡点E₃=(S_x3，0，S_y3，0)全局渐近稳定.

证   构造Lyapunov函数V(t)

将V(t)沿着系统(1)的轨线求导得

将r=rS_x3+kS_y3，d₁=θkS_x3代入整理得

易得$\dot V\left( t \right) $=0当且仅当S_x=S_x3，I_x=0，I_y=0.因此D₃的最大不变集为{(S_x，I_x，S_y，I_y)|S_x=S_x3，I_x=0，S_y=S_y3，I_y=0}.显然当$ {S_{x3}} + \frac{{\left( {{\beta _2} - \rho \theta } \right)k{S_{y3}}}}{{\theta \left( {r + {\beta _1}} \right)}} < \frac{{{d_0}}}{{{\beta _1}}}$时，有β₁d₁＜θk d₀+r(θk-d₁)，所以平衡点E₃局部渐近稳定.从而由Lyapunov-LaSalle不变原理^[17]可以得到：当${S_{x3}} + \frac{{\left( {{\beta _2} - \rho \theta } \right)k{S_{y3}}}}{{\theta \left( {r + {\beta _1}} \right)}} < \frac{{{d_0}}}{{{\beta _1}}} $时，平衡点E₃全局渐近稳定.证毕.

本文建立了一类捕食者与食饵都染病的捕食—食饵模型.通过对模型(1)的分析，我们得到当β₁＞d₀且$ {S_{x2}} + \frac{{\left( {r + {\beta _1}} \right){I_{x2}}}}{{{\beta _1}}} < \frac{{{d_1}}}{{\theta k}} $时，平衡点E₂全局渐近稳定，即捕食者全部灭绝; 当θk＞d₁且${S_{x3}} + \frac{{\left( {{\beta _2} - \rho \theta } \right)k{S_{y3}}}}{{\theta \left( {r + {\beta _1}} \right)}} < \frac{{{d_0}}}{{{\beta _1}}}$时，平衡点E₃全局渐近稳定，即染病食饵和染病捕食者全部灭绝.在分析中，我们发现正平衡点E₄一直是不稳定的.且平衡点E₂，E₃稳定的条件也不一定是互斥的，从而E₂，E₃都稳定的双稳定情形有可能发生.当β₁＞d₀，θk＞d₁且$ \theta k{d_0} + \frac{{kr({\beta _1} - {d_0})(\rho \theta - {\beta _2})}}{{{\beta _1} + r}} < {\beta _1}{d_1} < \theta k{d_0} + r(\theta k - {d_1})$时，平衡点E₂，E₃双稳定.另外，当E₂，E₃都不稳定时，系统的行为可能比较复杂，周期解或极限环情形有可能发生，这些值得我们进一步的研究.本文也只找到了平衡点E₂，E₃全局渐近稳定的充分条件，今后我们还可以进一步寻求平衡点E₂，E₃全局渐近稳定的充要条件.