Independent Fuzzy Shells of Fuzzy Matroids

设E={x₁，x₂，…，x_N}是一个集合，则E上的模糊集μ是一个映射μ：E→[0, 1]. E上模糊集的全体记为F(E).关于模糊数学的有关概念和符号主要参见文献[2].有关拟阵的理论主要参见文献[3].

定义1^[1]  设E={x₁，x₂，…，x_N}是非空有限集，$\ell \subseteq F\left( E \right)$是满足下列条件的非空模糊集族：

(ⅰ)(继承性)若$\mu \in \ell $，ν∈F(E)，ν≤μ，则$\nu \in \ell $；

(ⅱ)(交换性)若$\mu, \nu \in \ell $，|supp μ|＜|supp ν|，则存在$\omega \in \ell $，使得：

(a) μ＜ω≤μ∨ν；

(b) m(ω)≥min{m(μ)，m(ν)}.

则称对偶$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是E上的模糊拟阵，$\ell $称为M的模糊独立集族. $\forall \mu \in F\left( E \right)$，如果$\mu \in \ell $，则称μ为M的模糊独立集，否则称为M的相关模糊集. M的最大模糊独立集称为M的模糊基.

有关模糊拟阵的理论参见文献[1, 4-5].

设$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是模糊拟阵，∀r∈(0，1]，令${I_r} = \left\{ {{C_r}\left( \mu \right)|\forall \mu \in \ell } \right\}$，则由文献[1]的定理2.1知，M_r=(E，I_r)是E上的拟阵.

闭模糊拟阵和模糊拟阵闭包的概念可见文献[1]，正规模糊拟阵的概念可参见文献[5]，准模糊图拟阵的内容可参阅文献[2, 6-10]，模糊截短列拟阵的理论可参看文献[11].

为了以后叙述方便，令$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是模糊拟阵，其闭包记为$\mathit{\boldsymbol{\bar M}} = \left( {E, \bar \ell } \right)\left( {\forall r \in \left( {0, 1} \right]} \right)$，记

假设$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是没有模糊环的模糊拟阵，而且0=r₀＜r₁＜…＜r_n≤1为M的基本序列，导出拟阵序列为

取E={e₁，e₂，…，e_m}，令r_M={r₁，r₂，…，r_n}.

定义2  构造模糊集σ_M∈F(E)为σ_M：E→[0, 1].∀e_i∈E，取σ_M(e_i)=sup{μ(e_i)|∀μ∈ $\ell $}，我们称模糊集σ_M为模糊拟阵M的独立模糊壳.记λ_σ=R⁺(σ_M)={σ_M(e_i)|∀e_i∈E，σ_M(e_i)＞0}，称之为M的独立模糊壳隶属度集.

容易看出，$\forall \mu \in \ell $，都有μ≤σ_M.反之，∀μ∈F(E)，只要有e∈E，使得μ(e)＞σ_M(e)，必定有$\mu \notin \ell $.这也就是称σ_M为M的独立模糊壳的主要原因.

定理1  如果$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是闭模糊拟阵，则∀e_i∈E，σ_M(e_i)=max{μ(e_i)|∀μ∈ $\ell $}.

证  由文献[5]的定理1.10，$\forall \mu \in \ell $，都有M的模糊基ν，使得μ≤ν.又由文献[6]的定理8知，M只有有限个不同的模糊基.因此，对∀e_i∈E，有

这说明在闭模糊拟阵M中σ_M可达.但是，反之却不一定.

推论1  如果$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是闭模糊拟阵，设B是M的全体模糊基组成的集合，则${\sigma _\mathit{\boldsymbol{M}}} = \mathop \vee \limits_{\mu \in B} \mu $.

定理2  设$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是模糊拟阵，r_M为其基本序列集，σ_M为其独立模糊壳，λ_σ为其独立模糊壳隶属度集.则有如下结论：

(ⅰ) $\forall \mu \in \ell $，都有μ≤σ_M.反之，$\forall \mu \in F\left( E \right)$，只要有e∈E使得μ(e)＞σ_M(e)，则$\mu \notin \ell $；

(ⅱ)∀λ∈λ_σ，都有λ≤r_n，进而∀λ∈λ_σ，存在i∈{1，2，…，n}使得r_i-1＜λ≤r_i；

(ⅲ)λ_σ⊆r_M；

(ⅳ)σ_M=σ_M；

(ⅴ)r_n∈λ_σ.

证 (ⅰ)由σ_M的定义即知结论成立.

(ⅱ)∀λ∈λ_σ，都有e_i∈E，使得λ=σ_M(e_i).由σ_M(e_i)的定义知，要么有$\mu \in \ell $使得μ(e_i)=λ；要么有$\left\{ {{\mu _k}} \right\} \subseteq \ell $，使得μ_k(e_i)在k趋于∞时，严格递增趋于λ，即

若μ(e_i)=λ，取M的闭包M(文献[1]的定义3.5).由于M是包含M的最小的闭模糊拟阵，因此存在M的模糊基ν，使得λ=μ(e_i)≤ν(e_i).又由文献[6]的定理8知，存在r_j∈r_M，使得ν(e_i)=r_j.因此λ≤r_j≤r_n，我们断言λ＞r_j-1.如果λ≤r_j-1，则取a∈(r_j-1，r_j).构造模糊集δ=e_i^a，根据文献[1]的定义3.5，I_a=I_a，则对∀r∈(0，1]，当r≤a时，

当r＞a时，

所以，由文献[1]的定理2.4知$\delta \in \ell $.但δ(e_i)=a＞λ，这与已知矛盾.故

若$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {\mu _k}\left( {{e_i}} \right) = \lambda $，如果λ＞r_n，由$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {\mu _k}\left( {{e_i}} \right) = \lambda \left( {{\mu _k} \in \ell } \right)$知，可取某足够大的正整数k，使得μ_k(e_i)=a∈(r_n，λ).由文献[1]的定理2.4知$\left\{ {{e_i}} \right\} \subseteq {C_a}\left( {{\mu _k}} \right) \in {I_a} \ne \mathit{\emptyset} $.但根据文献[1]的定义3.5和观察2.2，∀r＞r_n都有I_r=∅，矛盾.则λ≤r_n.又由于M无模糊环，因此0＜λ≤r_n.这说明存在j∈{1，2，…，n}，使得r_j-1＜λ≤r_j.

(ⅲ)∀ λ∈λ_σ，由(ⅱ)，存在j∈{1，2，…，n}，使得r_j-1＜λ≤r_j.我们断言，λ=r_j.否则，r_j-1＜λ＜r_j，取r′∈(r_j-1，λ)，r″∈(λ，r_j).根据独立模糊壳的定义2，存在e∈E，使得λ=σ_M(e).因此，必有$\mu ' \in \ell $，使得μ′(e)≤r′，即{e}⊆C_r′(μ′)∈I_r′.而由r″＞λ=σ_M(e)知，$\forall \mu \in \ell $，都不会有μ(e)≥r″，即$\left\{ e \right\} \notin {I_{r''}}$.由r′，r″∈(r_j-1，r_j)和文献[1]的观察2.2知，I_r′=I_r″，这与{e}∈I_r′，但$\left\{ e \right\} \notin {I_{r''}}$矛盾.由此知λ=r_j∈r_M，故λσ⊆r_M.

(ⅳ)由于M是包含M的最小的闭模糊拟阵，因此σ_M≤σ_M.下面证明σ_M≥σ_M.

∀e_i∈E，由(ⅲ)知，存在r_j∈r_M使得σ_M(e_i)=r_j.由定理1，存在$\mu \in \bar \ell $使得μ(e_i)=r_j，由此知{e_i}∈I_rj.取无穷数列{λ_k}⊆(r_j-1，r_j)，使其递增且$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {\lambda _k} = {r_j}$.构造无穷个模糊子集列{μ_k=e_i^λ_k}，由文献[1]的观察2.2知$\left\{ {{e_i}} \right\} \in {\bar I_{{r_j}}} \subseteq {\bar I_{{\lambda _k}}} = {I_{{\lambda _k}}}$，再由文献[1]的定理2.4得出$\left\{ {{\mu _k}} \right\} \subseteq \ell $，因此

从而

即σ_M≥σ_M.故σ_M=σ_M.

(ⅴ)由文献[1]的定义3.5和观察2.2知，I_rn≠∅.取{e}∈I_rn，造模糊集μ=e^r_n，由文献[1]的定理2.4知$\mu \in \ell $，因此，由μ(e)=r_n知σ_M(e)≥r_n.再由(ⅱ)知σ_M(e)≤r_n，得出σ_M(e)=r_n.由(ⅳ)知σ_M(e)=σ_M(e)=r_n，故而r_n∈λ_σ.

下面的定理描述了模糊拟阵的导出拟阵、导出拟阵列和基本序列与独立模糊壳隶属度集之间密切的关系.同时该定理也是计算独立模糊壳的有效工具.

定理3  设$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是模糊拟阵，r_M为其基本序列集，σ_M为其独立模糊壳，λ_σ为其独立模糊壳隶属度集，∀r∈(0，1]，I_r={C_r(μ)| $\forall \mu \in \ell $}. ∀r_i∈r_M，r_i∈λ_σ的充要条件是存在e∈E，使得{e}∈I_r′(0＜r′＜r_i)，但{e}∉I_r″(r_i＜r″≤1).

证  必要性 若r_i∈λ_σ，则有e∈E，使得r_i=σ_M(e).由定理2的(ⅳ)知，r_i=σ_M(e)=σ_M(e).再由定理1，存在$\mu \in \bar \ell $使得μ(e)=r_i.则当0＜r′＜r_i时，有$\left\{ e \right\} \in {C_{r'}}\left( \mu \right) \in \overline {{I_{r'}}} = {I_{r'}}$.当r_i＜r″≤1时，如果存在r″使得{e}∈I_r″，则取r_i＜r″＜r_i+1，仍有$\left\{ e \right\} \in {I_{r''}} = \overline {{I_{r''}}} $.构造模糊集ν=e^r″，则由文献[1]的定理2.4知$\nu \in \bar \ell $.由σ_M(e)=σ_M(e)=r_i＜r″=ν(e)知矛盾.因此{e}∉I_r″.

充分性 从{e}∈I_r′(r′＜r_i)，构造模糊集μ=e^r′，由文献[1]的定理2.4知$\mu \in \ell $.所以σ_M(e)≥μ(e)=r′.由此，取数列{λ_k}⊆(r_i-1，r_i)，使得k→∞时{λ_k}递增趋于r_i.构造模糊集列μ_k=e^λ_k，同样也有$\left\{ {{\mu _k}} \right\} \subseteq \ell $.因此，从σ_M(e)≥μ_k(e)=λ_k知${\sigma _\mathit{\boldsymbol{M}}}\left( e \right) \geqslant \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {\lambda _k} = {r_i}$.

另一方面，如果有$\mu \in \ell $，使得μ(e)＞r_i.令r=μ(e)，则r＞r_i，但{e}∈C_r(μ)∈I_r，与已知矛盾.因此，$\forall \mu \in \ell $，必有μ(e)≤r_i，得出σ_M(e)≤r_i.故r_i=σ_M(e)∈λ_σ.

由定理3，再用定理1，可以很容易得到如下推论：

推论2  设$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是闭模糊拟阵，σ_M为其独立模糊壳，∀r_i∈r_M，r_i∈λ_σ的充要条件是存在e∈E，使得{e}∈I_r′(0＜r′≤r_i)，但{e}∉I_r″(r_i＜r″≤1).

推论2与定理3几乎一样，只是“{e}∈I_r′(0＜r′≤r_i)”与“{e}∈I_r′(0＜r′＜r_i)”中一个是“≤”，而另一个是“＜”.而这个差异就是闭模糊拟阵的独立模糊壳的体现.

推论3  设$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是模糊拟阵，σ_M为其独立模糊壳，∀r_i∈r_M，r_i∈λ_σ的充要条件是存在e∈E，使得$\left\{ e \right\} \in {I_{{{\bar r}_i}}}$.如果i=1，2，…，n-1，则有$\left\{ e \right\} \notin {I_{\overline {{r_{i + 1}}} }}$.

推论3说明σ_M可以由模糊拟阵的导出拟阵列和基本序列唯一确定.这是用来计算独立模糊壳的最好工具.

本段主要讨论一些具有特殊性质的模糊拟阵的独立模糊壳的性态.

定理4  设$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是模糊拟阵，基本序列为0=r₀＜r₁＜r₂＜…＜r_n≤1，导出拟阵序列为

则λ_σ=r_M的充要条件是∀i(i=1，2，…，n)，都存在e∈E，使得$\left\{ e \right\} \in {I_{{{\bar r}_i}}}$.如果i＜n，则$\left\{ e \right\} \notin {I_{\overline {{r_{i + 1}}} }}$.

证  根据推论3和定理2即可证明.

推论4  如果$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是准模糊图拟阵^[6]，则λ_σ=r_M.

定理5  设$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是模糊拟阵，基本序列为0=r₀＜r₁＜r₂＜…＜r_n≤1，导出拟阵序列为

则σ_M=ω(E，r_n)的充要条件是∀e∈E，都有{e}∈I_rn.

证  必要性 反证，如果存在e∈E，使得{e}∉I_rn.由于M无模糊环，因此，${\mathit{\boldsymbol{M}}_{{{\bar r}_1}}}$是无环拟阵.则存在i∈{1，2，…，n-1}，使得$\left\{ e \right\} \in {I_{{{\bar r}_i}}}$，但$\left\{ e \right\} \notin {I_{\overline {{r_{i + 1}}} }}$.根据推论3可知r_i∈λ_σ，这与λ_σ={r_n}矛盾.

充分性 由定理2的(ⅴ)知，r_n∈λ_σ.若有r_i≠r_n(即i＜n)使得r_i∈λ_σ，由推论3知，存在e∈E，使得$\left\{ e \right\} \in {I_{{{\bar r}_i}}}$，但$\left\{ e \right\} \notin {I_{\overline {{r_{i + 1}}} }}$，这与“∀e∈E，都有{e}∈I_rn”矛盾.故λ_σ={r_n}.

推论5  如果$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是模糊截短列拟阵，则σ_M=ω(E，r_n).即，λ_σ={r_n}.

推论5也是模糊截短列拟阵的必要条件.由文献[12]的定理6，还有一类更简单的闭正规模糊拟阵，叫作初等模糊拟阵.

推论6  设M_h=(E，Ψ_h)是拟阵M=(E，I)上的高度为h(h∈(0，1])的初等模糊拟阵^[12]，则此模糊拟阵是模糊截短列拟阵，而且λ_σ={h}.

根据文献[11]的定理3.5，模糊截短列拟阵是一类闭正规模糊拟阵.推论5和推论6给出了两类特殊的闭正规模糊拟阵的独立模糊壳的性质.

从独立模糊壳来研究模糊拟阵较困难，我们来做一点尝试.取μ∈F(E)，μ≠∅，令$\ell = \left\{ {\nu \in F\left( E \right)|\nu \leqslant \mu } \right\}$，则$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是一个闭模糊拟阵.我们称此模糊拟阵为由模糊集μ生成的模糊拟阵.

定理6  设$\mathit{\boldsymbol{M}} = \left( {E, \ell } \right)$是模糊拟阵，则其独立模糊壳σ_M∈ $\ell $的充要条件是M是由模糊集σ_M生成的模糊拟阵.

证  必要性 如果σ_M∈$\ell $，取μ=σ_M，则由定理2的(ⅰ)知，$\forall \nu \in \ell $，都有ν≤σ_M=μ，即

又由μ=σ_M∈ $\ell$知{ν∈F(E)|ν≤μ}$\subseteq \ell $.因此$\ell = \left\{ {\nu \in F\left( E \right)|\nu \leqslant \mu } \right\}$.因此，M是由模糊集σ_M生成的模糊拟阵

充分性 若M是由模糊集σ_M生成的模糊拟阵，则

假设M的独立模糊壳为δ，我们证明δ=σ_M.

∀e∈E，由独立模糊壳定义有

因为$\forall \nu \in \ell $，都有ν≤σ_M，则σ_M(e)≥δ(e).而从σ_M∈ $\ell$.又知σ_M(e)≤δ(e)，即σ_M(e)=δ(e).故σ_M=δ.

本文首先从模糊拟阵的模糊独立集的共同上界出发，提出独立模糊壳的概念；然后详细讨论了独立模糊壳的许多性质以及计算办法；接着，深入讨论了独立模糊壳隶属度集是基本序列集，以及模糊壳隶属度集是单点集的两种极端情况；最后，利用独立模糊壳隶属度集的这两种情况，研究了闭模糊拟阵、模糊截短列拟阵、准模糊图拟阵和部分特殊闭正规模糊拟阵的独立模糊壳性质.然而，这些性质都是必要条件，而非充分条件.但是，还是可以通过独立模糊壳来对模糊拟阵进行研究.特别是将独立模糊壳结合模糊拟阵的其它概念和工具来研究模糊拟阵，可能会得到一些更好的结果.这将是以后进一步用独立模糊壳研究模糊拟阵的方向.