An Equivalent Characterization of the Steiner Symmetrization of Convex Functions

Steiner对称化是为了证明等周不等式而引入的一种概念^[1]. 160年来，Steiner对称化已成为解决与等周相关的几何不等式的基本工具^[2-5]，并且在最近的很多工作中扮演着重要的角色^[6-13]. 19世纪70年代，数学家开始寻找函数不等式的几何证明，由此凸体的Steiner对称化推广到Sobolev空间中函数的Steiner对称化.本文的目的是给出凸函数Steiner对称化的一个等价特征.和经典函数Steiner对称化的定义不同，这个新的特征并不依赖于函数水平集的Steiner对称化，而是给出了函数Steiner对称化的明确的分析表达式，因此更有利于证明函数形式的不等式.

令Ω是n维欧式空间$ \mathbb{R} $ⁿ中的开凸子集，Ω|u表示Ω在u^⊥上的正交投影.对于x′∈u^⊥，如果令Ω_x′表示集合{t∈$ \mathbb{R} $：x′+tu∈Ω}，则Ω关于方向u∈S^n-1的Steiner对称化定义为

其中|Ω_x′|表示Lebesgue测度.如果对于任意的x，y∈Ω和0≤λ≤1，有

则函数f：Ω→$ \mathbb{R} $被称为凸函数.如果$ \underset{x\in \mathit{\Omega} , x\to \partial \mathit{\Omega} }{\mathop{\text{lim}}}\, $f(x)=+∞，则函数被称为强制的.

f的上图定义为epif={(x，y)∈$ \mathbb{R} $ⁿ⁺¹：x∈Ω，y≥f(x)}.经典的函数Steiner对称化是利用水平集的Steiner对称化定义的，定义如下：

定义1  对于强制的凸函数f：Ω→$ \mathbb{R} $和超平面H=e_n^⊥，对于任意的x=x′+te_n，x′∈H，t∈$ \mathbb{R} $，f的Steiner对称化Sf定义为

其中μ(x′，h)=|{x_n∈$ \mathbb{R} $：f(x′，x_n)≤h}|是f(x′，·)的分布函数.

本文给出了强制凸函数的一个等价特征：

定理1  如果f：Ω→$ \mathbb{R} $是强制的凸函数并且H=e_n^⊥，那么对于任意的x=x′+x_ne_n，x′∈H，x_n∈$ \mathbb{R} $，有

(4) 式不依赖于函数f的水平集的测度，而是给出了函数Steiner对称化的一个解析表达式，有利于证明各种函数不等式.

对于凸体K⊂$ \mathbb{R} $ⁿ，它关于点z∈$ \mathbb{R} $ⁿ的极体定义为

对应凸体的定义，定义对数凹函数ϕ=e^-f，ϕ：Ω→(0，∞)关于点z∈$ \mathbb{R} $ⁿ的极函数定义为

为了更好地理解(6)式，先看经典的Legendre变化：对于函数f：$ \mathbb{R} $ⁿ→$ \mathbb{R} $，它关于点z∈$ \mathbb{R} $ⁿ的Legendre变换定义为

根据(6)式和(7)式，如果ϕ(x)=e^-f(x)，那么

凸体的Blaschke-Santalo不等式最早由文献[14]证明，后面被文献[15-16]推广到更一般的函数情形.最近，文献[17]给出了一个新的直接证明.根据文献[14]中关于中心对称凸体的Santalo不等式的证明，我们证明了函数形式的关于偶的凸函数的Blaschke-Santalo不等式.

定理2  如果f：Ω→(0，∞)是偶函数并且满足0＜∫e^-f＜∞，那么

我们首先研究一维的情况.如果f：$ \mathbb{R} $→[0，∞)是强制的一维凸函数，那么根据(4)式，有

引理1  如果f：$ \mathbb{R} $→[0，∞)是强制的凸函数，那么Sf是偶函数，并且对于任意的h∈$ \mathbb{R} $，有

证  首先，我们证明Sf是偶的.对于任意的x∈$ \mathbb{R} $，根据(10)式可得

接下来，我们将证明对于任意的x＞0，Sf(0)=inff，并且存在x′∈$ \mathbb{R} $，使得

令x=0，根据(10)式可得

一方面，对于x∈$ \mathbb{R} $，由于f是强制的凸函数，故存在x′∈$ \mathbb{R} $，使得

令G_x(λ)是关于λ∈[0, 1]的函数

对于任意的λ∈[0, 1]，选择$ {{x}_{1}}=\frac{{{x}'}}{2} $，可得

因此

另一方面，我们将证明存在λ₀∈[0, 1]，使得G_x(λ₀)=f(x′).由于f是定义在$ \mathbb{R} $上的凸函数，根据文献[18]的定理1.5.2，f的右导数f′_r和左导数f′_l存在并且满足f′_l≤f′_r.由于f(x′)=f(x′-2x)且x＞0，可得f′_r(x′)≥0并且f′_r(x′-2x)≤0，因此

如果

并且令

则

如果

那么

因此这时对于任意的λ₀∈[0, 1]，(18)式总是成立的.根据(18)式，我们定义

根据(18)式，Φ_λ0在x₁=x′/2处的右导数Φ_λ0，r和左导数Φ_λ0，l满足：

根据(16)，(20)，(21)，(19)式和f(x′)=f(x′-2x)，我们可得

综上所述

这表明对于任意的h∈$ \mathbb{R} $，{x∈$ \mathbb{R} $：Sf(x)＞h}={x∈$ \mathbb{R} $：f(x)＞h}.

定理1的证明  对于强制的凸函数f：Ω→$ \mathbb{R} $，令

根据引理1，对于任意的x′∈Ω|e_n，f₁(x′，x_n)是关于x_n的偶函数.因此，f₁的上图epi(f₁)关于e_n^⊥对称，因此根据凸体的Steiner对称化和引理1可得

根据文献[19]中的(13)式可得

根据(23)式和(24)式，可得f₁=Sf.

引理2  如果f：$ \mathbb{R} $ⁿ→[0，∞)是偶的凸函数，并且0＜∫e^-f＜∞，那么∫e^-Lf ≤∫e^-L(Sf).

证  对于f和x_n∈$ \mathbb{R} $，我们定义新的函数f_xn(x′)=f(x′，x_n)，其中x′∈e_n^⊥.根据函数Steiner对称化的定义，对于x′=x′₁+x′₂，其中x′，x′₁，x′₂∈e_n^⊥，我们可得

取λ= $ \frac{1}{2} $，根据sup sup(A+B)≤sup sup A+sup sup B，有

根据(25)式和x′₁，x′₂的任意性，可得

其中exp(f)表示e^f.根据(25)式和Prekopa-Leindler不等式，我们可得

其中最后一个等式是由于Lf的偶性.因此，根据Fubini定理，原命题成立.

引理3  令h(t)是递增的定义域为[0，∞)的凸函数，并且 $\int_{0}^{\infty } $e^-h(t)dt＜∞.令Lh|·|表示函数h(|x|) (x∈$ \mathbb{R} $ⁿ)的Legendre变换，则

证  根据球面坐标变换可得

其中dω表示单位球面上的Hausdorff测度.对于任意的x∈$ \mathbb{R} $ⁿ，令x=t_xθ_x，其中：

从而

因此可得

对于r∈[0，∞)，令：

并且

令

那么

并且对于任意的s，t∈$ \mathbb{R} $，$ {{g}_{1}}\left( s \right){{g}_{2}}(t)\le {{\left( {{g}_{3}}\left( \frac{s}{2}+\frac{t}{2} \right) \right)}^{2}} $.根据Prekopa-Leindler不等式可得

根据(29)式，可得

其中$ {{\omega }_{n}}=\frac{n\pi \frac{n}{2}}{\mathit{\Gamma} \left( 1+\frac{n}{2} \right)} $是欧式单位球的表面积^[20-21].

定理2的证明  根据引理2和Steiner对称化的积分不变性，可得

对于对数凹函数e^-f∈L¹($ \mathbb{R} $ⁿ)，存在一序列方向{u_i}_i=1^∞⊂S^n-1，使得exp(-S_{u1，…，ui}f)收敛到径向函数exp(-h(|x|)).根据(31)式和引理3以及L¹($ \mathbb{R} $ⁿ)函数的积分连续性可得