The Asymptotic Properties of Locations of the Second Maximum and Minimum of Stationary Sequences

下面先定义平稳序列超过水平u_n(x)=a_nx+b_n所构成的点过程N_n

其中$\mathbb{B}$是(0，1]上的Borel集.根据上述定义显然有

如果对于任意的τ，n(1-F(u_n))=np{x_i＞u_n}→τ，文献[1]中的条件D(u_n(τ))和D^′(u_n(τ))成立，那么点过程N_n收敛到参数为τ的泊松过程N.

文献[1]中对平稳序列在相依条件下的最大值分布做了研究，文献[5-6]证明了平稳序列在相依条件下最大值和最小值是渐近独立的.下面将对文献[1, 5-6]的条件进行推广，使得{M_n⁽¹⁾(I)≤u_n⁽¹⁾，M_n⁽²⁾(I)≤u_n⁽²⁾}和{M_n⁽¹⁾(J)≤u_n⁽³⁾，M_n⁽²⁾(J)≤u_n⁽⁴⁾}渐近独立.对于{1，2，…，n}中的子集I，J，E，F且有I∪J={1，2，…，n}，E∪F={1，2，…，n}和I∩J=E∩F=∅，使得{{M_n⁽¹⁾(I)≤u_n⁽¹⁾，M_n⁽²⁾(I)≤u_n⁽²⁾，M_n⁽¹⁾(J)≤u_n⁽³⁾，M_n⁽²⁾(J)}≤u_n⁽⁴⁾}和{m_n⁽¹⁾(E)＞v_n⁽¹⁾，m_n⁽²⁾(E)＞v_n⁽²⁾，m_n⁽¹⁾(F)＞v_n⁽³⁾，m_n⁽²⁾(F)＞v_n⁽⁴⁾}渐近独立，其中u_n^(k)，v_n^(k)，k=1，2，3，4满足

定义1  如果对于给定的实数序列{(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)}，且u_n^(i)*∈{(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)}使得

其中l_n=o(n).那么就说序列{X_n}_n≥1满足条件D₄(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾).

定义2  假设{u_n^(k)}_n≥1，{v_n^(k)}_n≥1，k=1，2，3，4是两个实数序列，如果

其中l_n=o(n)，u_n^(i)*∈{u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾}，v_n^(j)*∈{v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾}.那么我们就说序列{X_n}_n≥1满足条件D((u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)，(v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾)).

定义3  如果

其中u_n^(i)*∈{u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾}，v_n^(j)*∈{v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾}. {k_n}_n≥1是一个整数序列，且当n→∞时，k_n→∞，那么序列{X_n}_n≥1满足条件C₂((u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)，(v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾)).

对任意的I⊂R_n={1，…，n}，J⊂R_n={1，…，n}，I∪J=R_n，I∩J=∅，下面的引理说明了在条件D₄(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)下{M_n⁽¹⁾(I)≤u_n⁽¹⁾，M_n⁽²⁾(I)≤u_n⁽²⁾}和{M_n⁽¹⁾(J)≤u_n⁽³⁾，M_n⁽²⁾(J)≤u_n⁽⁴⁾}渐近独立，这是得到次最大值和它的位置的渐近性质的关键.

引理1  假设平稳序列{X_n}_n≥1满足条件D₄(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)，且存在整数序列{k_n}_n≥1和{l_n}_n≥1使得

其中α_n，l是条件D₄(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)的系数，则有

引理2  假设{u_n^(k)}_n≥1，{v_n^(k)}_n≥1，k=1，2，3，4是实数序列，如果对于k∈{1，2，3，4}，有

其中τ_k，η_k＜∞.且平稳序列{X_n}_n≥1满足条件α_n，ln^*=o(1)，整数序列{k_n}_n≥1满足

其中J₁，J₂，…，J_{k_n}为{1，2，…，n}中不相交的子集，则有

其中u_n^(i)*∈{u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾}，v_n^(j)*∈{v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾}.

引理3  假设序列{X_n}_n≥1和{-X_n}_n≥1分别有极值指标θ₁和θ₂，且平稳序列{X_n}_n≥1满足条件D((u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)，(v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾))和C₂((u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)，(v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾))其中u_n^(k)，v_n^(k)满足(2)式，{k_n}_n≥1满足(3)式，则

证  不妨设t₁＜t₂，取I₁={1，…，[nt₁]}，I₂={[nt₁]+1，…，[nt₂]}和I₃={[nt₂]+1，…，n}，则利用引理2，

由题设条件易知，对于任意的k∈{1，2，3，4}，C₂(u_n^(k)，v_n^(k))和D(u_n^(k)，v_n^(k))成立，则(4)式等于

因此，利用平稳性以及序列{X_n}_n≥1和{-X_n}_n≥1分别有极值指标θ₁和θ₂，得到(5)式等于

另一方面，由于{X_n}_n≥1和{-X_n}_n≥1分别满足条件D₄(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)和D₄(-v_n⁽¹⁾，-v_n⁽²⁾，-v_n⁽³⁾，-v_n⁽⁴⁾)，利用引理1，

因此(7)式也收敛到(6)式，从而结论成立.

下面将给出${\overline {{L_n}} ^{\left( 2 \right)}}/n$和a_n^-1(M_n⁽²⁾-b_n)的渐近性质以及次最大值和次最小值与其位置的渐近性质.

定理1  假设{X_n}_n≥1是一平稳序列，有极值指标θ，且存在常数序列{a_n}_n≥1和{b_n}_n≥1使得

其中G是非退化的分布函数.如果对于每个x_k∈ $\mathbb{R}$，u_n^(k)=a_n^-1x_k+b_n，k=1，2，3，4，且{X_n}_n≥1满足条件D₄(u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)和D^′(u_n^(k))，则

其中x是实数，0＜t≤1.

也就是说，次最大值和其位置是渐近独立的，且位置是渐近地服从均匀分布.

证  由于

所以

令I={1，2，…，[nt]}，J={[nt]+1，…，n}，0＜t≤1；令M⁽¹⁾(I)，M⁽²⁾(I)分别表示区间I上的最大值和第二最大值；令M⁽¹⁾(J)，M⁽²⁾(J)分别表示区间J上的最大值和第二最大值.设

的联合分布函数为H_n(x₁，x₂，x₃，x₄)，则对于任意的x₁＞x₂，x₃＞x₄

其中u_n^(k)=a_n^-1x_k+b_n.易知

其中I^′=(0，t]，J^′=(t，1].利用引理1和文献[1]中的推论5.5.2，取B₁=I^′，B₂=J^′，则

其中

由(9)式知(X_n⁽¹⁾，X_n⁽²⁾，Y_n⁽¹⁾，Y_n⁽²⁾)依分布收敛到(X₁，X₂，Y₁，Y₂)，其联合分布函数H是绝对连续的.因此

定理2  假设平稳序列{X_n}_n≥1和{-X_n}_n≥1的极值指标分别为θ₁和θ₂.且存在常数序列{a_n＞0}_n≥1，{b_n}_n≥1，{c_n＞0}_n≥1和{d_n}_n≥1使得

和

成立，其中G和H为非退化的分布函数.如果对于每个x₁，x₂，y₁，y₂∈ $\mathbb{R}$，u{(k)}_n=a_nx_k+b_n，v{(k)}_n=c_nx_k+d_n，k∈{1，2，3，4}，{X_n}_n≥1满足条件D((u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)，(v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾))和C₂((u_n⁽¹⁾，u_n⁽²⁾，u_n⁽³⁾，u_n⁽⁴⁾)，(v_n⁽¹⁾，v_n⁽²⁾，v_n⁽³⁾，v_n⁽⁴⁾))，且整数序列{k_n}_n≥1满足(3)式，那么

证  由于n(1-F(u_n^(k)))→τ_k，n(F(v_n^(k)))→η_k，所以

用I，J，E，F分别表示区间{1，2，…，[nt₁]}，{[nt₁]+1，…，n}，{1，2，…，[nt₂]}和{[nt₂]+1，…，n}；M⁽¹⁾(I)，M⁽²⁾(I)，M⁽¹⁾(J)，M⁽²⁾(J)分别表示X_i中在区间I，J上的最大值和第二最大值；m⁽¹⁾(E)，m⁽²⁾(E)，m⁽¹⁾(F)，m⁽²⁾(F)表示X_i中在区间E，F上的最小值和第二最小值.设随机变量

的分布函数为H_n^′(x₁，x₂，x₃，x₄，y₁，y₂，y₃，y₄)，则对任意的x₁＞x₂，x₃＞x₄，y₁＞y₂，y₃＞y₄有

其中u_n^(k)=a_n^-1x_k+b_n，v_n^(k)=c_n^-1x_k+d_n.易知

其中：I^′=(0，t₁]，J^′=(t₁，1]，E^′=(0，t₂]，F^′=(t₂，1].由文献[1]中的推论5.5.2和引理3，

其中

由于

利用点过程的性质(X_n⁽¹⁾，X_n⁽²⁾，Y_n⁽¹⁾，Y_n⁽²⁾，X_n^′(1)，X_n^′(2)，Y_n^′(1)，Y_n^′(2))依分布收敛到(X₁，X₂，Y₁，Y₂，X₁^′，X₂^′，Y₁^′，Y₂^′)，其分布函数H绝对连续.因此，