-
自从约翰·霍普菲尔德在1982年提出Hopfield神经网络模型[1]以来，其理论在信号与图像处理、联想记忆及组合优化等问题中有着重要的应用[2-3]，得到了许多有关Hopfield神经网络稳定性或者同步的结论[4-5].然而，在过去的一些关于Hopfield神经网络稳定性或者同步的文章中，系统是在无限时间内实现稳定或者同步[6-8].
在神经网络系统中出于高效的目的，需要神经网络系统在有限的时间内实现稳定或者同步，如在工程领域等.自从文献[9]在1991年提出神经网络在有限时间内稳定的理论以来，许多研究者对神经网络在有限时间内的稳定性问题或者同步问题广泛研究，得到了很多有效的理论[10-12].在神经网络系统实现稳定或同步的过程中，由于信号在不同的神经元之间传递的速度是有限的，出现了影响系统稳定或者同步的常见因素时滞.除了时滞对神经网络系统的影响之外，来自系统之外的噪声对系统的稳定性或者同步也有影响，为此在神经网络系统中需要考虑随机扰动对系统的影响[13].在理论研究和工程领域中，相对于一阶神经网络模型，高阶神经网络在网络收敛速度、容错能力、储存水平、逼近能力都具有较强的功能[14].然而对于高阶随机Hopfield神经网络在有限时间内的同步问题研究得较少.
受此启发，本文研究了具有变时滞的高阶随机Hopfield神经网络在有限时间内的控制同步，在恰当的外部控制输入Ui(t)下，得到了神经网络在有限时间内同步的充分条件.
HTML
-
考虑如下具有变时滞的高阶随机Hopfield神经网络模型
其中：i∈I={1，2，…，n}；xi(t)表示第i个神经元在t时刻的状态变量；fj(·)，gj(·)表示激活函数；bij，cijl分别表示突触的一阶和二阶连接强度；ai＞0表示第i个神经元的衰减率；τij(t)表示t时刻神经网络中的变时滞且满足0≤τij(t)≤τ和
${{\dot{\tau }}_{ij}}$ (t)≤ρ＜1；Ii表示外界对神经网络的输入量.系统(1)的初值条件为
其中φ(s)=(φ1(s)，φ2(s)，…，φn(s))T∈C=([-τ，0]，
${\mathbb{R}^{n}}$ )指的是把[-τ，0]映射到${\mathbb{R}^{n}}$ 上的所有连续函数组成的一个集合. p-范数在本文中的形式为对于系统(1)，我们假设
(H1)存在实数
${{M}_{j}}>0, \text{ }{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{L}}_{j}}, \text{ }{{\bar{L}}_{j}}$ 及Nj＞0，使得|gj(x)|≤Mj，${{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{L}}}_{j}}\le \frac{{{f}_{j}}\left( y \right)-{{f}_{j}}\left( x \right)}{y-x}\le {{{\bar{L}}}_{j}}, $ $\left| {{g}_{j}}\left( y \right)-{{g}_{j}}\left( x \right) \right|\le {{N}_{j}}\left| y-x \right|$ 对任意的x，y∈$\mathbb{R}$ ，1≤j≤n成立.定义
把系统(1)作为主驱动系统，为了同步，引入如下的响应系统
其中ej(t)=yj(t)-xj(t).响应系统(4)的初值条件是yi(s)=ϕi(s)，s∈[-τ，0]，i∈I，其中：ϕ(s)=(ϕ1(s)，ϕ2(s)，…，ϕn(s))T∈C([-τ，0]，
${\mathbb{R}^{n}}$ )，Ui(t)为外部输入控制，ω(t)=[ω1(t)，…，ωn(t)]T为定义在完备概率空间(Ω，F，Ft，P)上具有自然滤波{Ft}t≥0的n维独立布朗运动，且有E{dω(t)}=0，E{[dω(t)]2}=dt；σij(t，ej(t)，ej(t-τij(t))dωj(t)，i，j∈I表示随机扰动.(H2)存在实数dij＞0和pij＞0，使得σij2(t，u，v)≤diju2+pijv2，对任意的u，v∈R，i，j∈I成立.
为了书写方便记
(H3)不等式
${{\lambda }_{i}}-{{\mu }_{i}}-\text{ }\frac{{{\sigma }_{i}}}{1-\rho }-{{\omega }_{i}}\ge 0$ ，i∈I成立.本文要通过构造一个恰当的外部输入控制Ui(t)，实现驱动系统(1)和响应系统(4)在有限的时间内同步
其中a＞0是一个常数，
${{F}_{i}}\left( \varepsilon \right)={{\lambda }_{i}}-{{\mu }_{i}}-\text{ }\frac{{{\sigma }_{i}}{{\text{e}}^{\tau \varepsilon }}}{1-\rho }-{{\omega }_{i}}-\varepsilon $ ，i∈I.根据系统(1)和系统(4)知误差系统为
定义1 对于驱动系统(1)和响应系统(4)，若存在一个有限的时间常数T＞0，使得
同时当t＞T时‖y(t)-x(t)‖=0，则驱动系统(1)和响应系统(4)以概率1在有限时间(t0，T]内同步.
-
引理1[15] (Harder)如果c1，c2，…，cn是正实数且0＜θ＜p，则
引理2[16] 若x(t)是一个关于时间t(t≥0)的n维
${\rm{It\hat o}}'{\rm{s}}$ 过程，且满足随机微分方程若V(t，x(t))∈C1，2(
${\mathbb{R}^{+}}\times {\mathbb{R}^{n}};{\mathbb{R}^{+}}$ )，则V(t，x(t))是一个实数值的Itô's过程，且满足随机微分方程其中：
${{V}_{t}}\left( t, \text{ }\mathit{\boldsymbol{x}} \right)=\frac{\partial V\left( t, \text{ }\mathit{\boldsymbol{x}} \right)}{\partial t}\text{, }{{V}_{\mathit{\boldsymbol{x}}}}\left( t, \mathit{\boldsymbol{x}} \right)=\left( \frac{\partial V\left( t, \text{ }\mathit{\boldsymbol{x}} \right)}{\partial {{x}_{1}}}, \cdots , \frac{\partial V\left( t, \text{ }\mathit{\boldsymbol{x}} \right)}{\partial {{x}_{n}}} \right), {{V}_{\mathit{\boldsymbol{xx}}}}\left( t, \mathit{\boldsymbol{x}} \right)={{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V\left( t, \text{ }\mathit{\boldsymbol{x}} \right)}{\partial {{x}_{i}}\partial {{x}_{j}}} \right)}_{n\times n}}, $ ${{C}^{1, 2}}\left( {\mathbb{R}^{+}}\times {\mathbb{R}^{n}};{\mathbb{R}^{+}} \right)$ 指的是关于t一阶连续可微和关于x二阶连续可微的所有非负函数V(t，x)构成的集合.引理3 如果存在实数a＞0和0＜θ＜1，且正定连续函数V(t)满足LV(t)≤-aVθ(t)，t≥t0，则对任意给定的t0，V(t)满足(EV(t))1-θ≤V1-θ(t0)-a(1-θ)(t-t0)，t0≤t≤T，且当t＞T时V(t)=0，其中
$T={{t}_{0}}+\frac{{{V}^{1-\theta }}\left( {{t}_{0}} \right)}{a(1-\theta )}$ .证 由引理2可知
对其两边取数学期望则有
则D+EV(t)≤-aEVθ(t).由数学期望Jensen不等式EVθ(t)≥(EV(t))θ，有D+EV(t)≤-a(EV(t))θ，即有(EV(t))1-θ≤V1-θ(t0)-a(1-θ)(t-t0)，t0≤t≤T，且当t＞T时V(t)=0，其中
$T={{t}_{0}}+\frac{{{V}^{1-\theta }}\left( {{t}_{0}} \right)}{a(1-\theta )}$ .
-
定理1 如果(H1)-(H3)成立，则驱动系统(1)和响应系统(4)在恰当的外部输入控制Ui(t)下，在有限时间(t0，T]内同步，
证 构造如下形式的Lyapunov泛函
结合误差系统(6)，假设(H1)-(H2)及引理2中的(8)式可以得到下面的式子
对于实数ai＞0(1≤i≤p)，有不等式
$p\prod\limits_{i=1}^{p}{{{a}_{i}}\le }\text{ }\sum\limits_{i=1}^{p}{a_{i}^{p}}$ 成立，若存在正实数γijk，δijk，ζijk，$\vartheta $ ijk且满足则
由(10)-(13)式可知
定义函数族
由假设(H3)知Fi(0)≥0，i∈I.因此，εi是方程
${{F}_{i}}\left( {{\varepsilon }_{i}} \right)={{\lambda }_{i}}-{{\mu }_{i}}-\text{ }\frac{{{\sigma }_{i}}{{\text{e}}^{\tau {{\varepsilon }_{i}}}}}{1-\rho }-{{\omega }_{i}}-{{\varepsilon }_{i}}$ ，i∈I的唯一正解.记成立.
由(14)式和Fi(ε)≥0可知
根据引理(1)可知
则由(15)和(16)式可知
当a≥0，b≥0且0＜r＜1时，不等式(a+b)r≤ar+br成立，则有
成立.
由(17)式和(18)式可知
成立.
由引理(4)可知
由(9)式和(19)式及数学期望的定义可知
可知
且当t＞T时‖y-x‖=0.说明驱动系统(1)和响应系统(4)在有限时间(t0，T]内是同步的.
-
下面给出一个例子，说明本文结论是正确的.在驱动系统(1)中，i，j，l=1，2，g1=g2=f1=f2=tanh(x)，a1=a2=1，τij(t)=τil(t)=
$\frac{{{\text{e}}^{t}}}{1+{{\text{e}}^{t}}}$ ，经过计算可知在响应系统(4)中取
当p=2时，
由(20)式和(21)式可知，驱动系统(1)和响应系统(4)在恰当的外部输入控制Ui(t)(i=1，2)下在有限时间内同步.
DownLoad: