Asymptotic Behavior of Solutions for Nonlocal Nonlinear Schr dinger Equations

本文我们研究如下带非局部项的非线性Schrödinger方程组：

其中： m_j为粒子的质量；β_j是耗散参数；α_j，γ_j，β_j∈$\mathbb{C}$；j=1，2；w_j为未知复值函数.

Schrödinger方程在非线性光学、激光、孤波的传播中有重要应用.文献[1]研究了方程组(1)在没有非局部项的情况下其渐近自由解的非存在性.文献[2]证明了Schrödinger方程在能量空间H¹($\mathbb{R}$)，L²($\mathbb{R}$)中Cauchy问题的适定性.文献[3]证明了一类非线性Schrödinger方程存在正解以及解的聚集性，同时给出了解的衰减性估计.文献[4]研究了带有非线性项|u|^pu的高阶非线性Schrödinger方程的Cauchy问题.对于Schrödinger方程的其他相关研究，可以参考文献[5-7].本文的主要目的是在文献[1]的基础上进一步证明方程组(1)的渐近自由解的非存在性.

首先定义f的Fourier变换如下：

对m，s∈$\mathbb{R}$，Sobolev空间H^{m, s}($\mathbb{R}$)满足

用C表示不同的正常数.由方程组(1)可以得到相应的自由Schrödinger方程组

其中u_j(0，x)=ϕ_j(x)(j=1，2).若存在方程组(2)的L²-自由解(u₁，u₂)，使得

则称方程组(1)的解(w₁，w₂)是渐近自由的.

将方程组(1)的各方程两边分别乘以${{\overline{w}}_{1}}$和${{\overline{w}}_{2}}$，取虚部，在$\mathbb{R}$上积分可得

假设Im α_j≤0，Im γ_j≥0，j=1，2且β₁=${{\overline{\beta }}_{2}}$，则有$\frac{\text{d}}{\text{d}t}({{\left\| {{w}_{1}} \right\|}_{{{L}^{2}}}}^{2}+{{\left\| {{w}_{2}} \right\|}_{{{L}^{2}}}}^{2})\le 0$(见文献[8-9]).应用文献[10]中的方法，容易得到方程组(1)的Cauchy问题解的存在性和解的L^∞-时间衰减估计，即下面的引理1：

引理1  设Im α_j≤0，Im γ_j≥0，3m₁=m₂，ψ_j(x)∈H^1，1($\mathbb{R}$)，j=1，2，β₁=${{\overline{\beta }}_{2}}$.假设对某个ε＞0，有‖ψ₁(x)‖_H^1，1+‖ψ₂(x)‖_H^1，1＜ε，则存在方程组(1)的解w=(w_j)_j=1，2，使得w∈C([0, ∞]；H^1，1($\mathbb{R}$))，且${{\left\| w \right\|}_{{{L}^{\infty }}}}\le C{{\left(1+t \right)}^{-\frac{1}{2}}}$.

引理2^[11]  设(u₁，u₂)为方程组(2)的光滑解.若ϕ_j∈L¹($\mathbb{R}$)∩L²($\mathbb{R}$)(j=1，2)，且2≤q≤∞，则：

(ⅰ)存在正常数C_j，使得${{\left\| {{u}_{j}} \right\|}_{{{L}^{q}}}}\ge {{C}_{j}}{{t}^{-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{q} \right)}}(\forall t\ge {{T}_{0}})$；

(ⅱ)存在常数c_j，使得${{\left\| {{u}_{j}} \right\|}_{{{L}^{q}}}}\le {{c}_{j}}{{t}^{-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{q} \right)}}\left(\forall t\ge 0 \right)$.

本文的主要结果如下：

定理1  设3m₁=m₂，Re α_j＞0，Im α_j≤0，Im γ_j≥0，j=1，2且β₁=${{\overline{\beta }}_{2}}$.若方程组(1)的解w∈C([0，∞)；H^1，1($\mathbb{R}$))满足衰减估计${{\left\| w \right\|}_{{{L}^{\infty }}}}\le C{{\left(1+t \right)}^{-\frac{1}{2}}}$，则不存在方程组(2)的自由解(u₁，u₂)，使得

且

证  假设存在方程组(2)的解(u₁，u₂)，使得

将方程组(1)的各方程两边分别乘以${{\overline{u}}_{1}}$和${{\overline{u}}_{2}}$，取实部，在$\mathbb{R}$上积分可得：

将方程组(2)的各方程两边分别乘以${{\overline{w}}_{1}}$和${{\overline{w}}_{2}}$，取实部，在$\mathbb{R}$上积分可得：

由(5)-(8)式可得

下面估计方程(9)右边的各项.首先由Re α_j＞0(j=1，2)及引理2可知Φ₁≥Ct^-1.其次考虑Φ₂.因为

下面给出(10)式右边两项的估计.由不等式${{\left\| {{u}_{j}} \right\|}_{{{L}^{q}}}}\le {{c}_{j}}{{t}^{-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{q} \right)}}$(2≤q≤∞，j=1，2)可得

由于

因此

又由Sobolev嵌入${{L}^{\infty }}\circlearrowleft {{L}^{\frac{3q}{q-1}}}$及引理1可知

由于

因此

由(11)-(12)式可知，当t→0时有Φ₂=o(t^-1).同理可知，方程(9)右边第3项、第4项，当t→0时有Φ₃=o(t^-1)，Φ₄=o(t^-1).

下面考虑方程(9)右边第5项：

重复(10)-(12)式的过程可知，Φ₅=o(t^-1).同理有Φ₆=o(t^-1)，Φ₇=o(t^-1)，Φ₈=o(t^-1).综上所述，当t≥T(假设T≥1)时有

其中

将(13)式两边同时关于t积分，可得

此外，由φ(t)的定义可知

利用Schwartz不等式，有

由假设可得$\underset{t\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\, \left| \varphi \left(t \right) \right|=0$，这与(14)式矛盾，故定理1得证.