On the Comparison Theorem and Conformal Invariance of a Projective Ricci Curvature

Xin-yue CHENG; Ting-ting LI; Li YIN

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2019.02.008

In this paper, we study the projective Ricci curvature in Finsler geometry. First, we obtain that a comparison theorem on the projective Ricci curvature on a complete Finsler manifold. Then, we characterize the relations between two projective Ricci curvatures for two conformally related Finsler metrics on a manifold. On this basis, we prove that if two Finsler metrics are homothetically related, then their projective Ricci curvatures are equal.

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芬斯勒几何中的Ricci曲率是黎曼几何中Ricci曲率的自然推广，它是芬斯勒几何中一类重要的黎曼几何量. Ricci曲率在射影几何中扮演着重要角色.文献[1]给出了射影几何中关于Ricci曲率的比较定理.在芬斯勒几何中，S-曲率是一类非常重要的非黎曼几何量，与黎曼几何量有着密切的联系，它是由文献[2-3]在研究黎曼-芬斯勒几何中的体积比较定理时首次提出来的.文献[2-3]证明了：黎曼几何中的Bishop-Gromov体积比较定理对具有零S-曲率的芬斯勒流形仍然成立；S-曲率与Ricci曲率决定了在芬斯勒流形中一个点邻近的小度量球的Busemann-Hausdroff测度的局部行为.文献[4-5]深刻地刻画了一类重要的芬斯勒度量——(α，β)-度量的S-曲率和Ricci曲率的性质.文献[6]研究了具有迷向S-曲率的Randers度量的Ricci曲率的性质.以上研究表明：S-曲率与Ricci曲率有着紧密的联系，对芬斯勒度量的结构有着非常深刻的影响.因此，一个自然的问题是：如何利用S-曲率和Ricci曲率进一步深入研究芬斯勒度量的性质和几何结构?由此，沈忠民自然地引入了芬斯勒度量的射影Ricci曲率，其定义如下：

其中

“|”表示关于芬斯勒度量F的Berwald联络(或Chern联络)的水平协变导数.根据射影Ricci曲率的定义，PRic可等价地表示为

如果一个芬斯勒度量F的射影Ricci曲率等于0(PRic=0)，则称芬斯勒度量F是射影Ricci平坦的.近年来，关于芬斯勒度量的射影Ricci曲率相关问题的研究受到了几何学家的关注.文献[7]刻画了两个射影等价的芬斯勒度量的射影Ricci曲率的关系，并证明了：对于一个给定体积形式的芬斯勒流形，芬斯勒度量的射影Riccis曲率是一个射影不变量.文献[8]研究了射影Ricci平坦的Randers度量，得到了相应的分类定理.文献[9]研究和刻画了射影Ricci平坦的Kropina度量.

芬斯勒共形几何是芬斯勒几何中的重要组成部分.著名的Weyl定理证明了芬斯勒度量的共形性质和射影性质唯一地决定了这个度量的属性^[10-11].因此，关于芬斯勒度量共形性质的研究一直受到几何学家的极大关注.对于n维芬斯勒流形上的两个芬斯勒度量F和F，若流形M上存在一个标量函数c(x)，使得

则称度量的变换F→F为共形变换，或称F和F共形相关，称c=c(x)为共形因子.当c为常数时，称F和F位似相关.一个自然的问题是：在共形变换下，芬斯勒度量中的一些重要几何量(如Cartan张量、Ricci曲率、Landsberg曲率、S-曲率等)有什么变换规律?文献[12]研究了芬斯勒度量的基本张量、角度量张量和Cartan张量在共形变换下的关系.在此基础上，文献[10]刻画了共形变换下的芬斯勒度量的一些重要几何量(包括黎曼曲率、Ricci曲率、Landsberg曲率、平均Landsberg曲率、S-曲率等)的变换规律，并讨论了在共形变换下这些几何量保持不变的充要条件.文献[13]证明了：保持非Randers型的(α，β)-度量成为Douglas度量的属性不变的共形变换是位似的；将具有迷向S-曲率的非黎曼(α，β)-度量变换成为另一具有迷向S-曲率的非黎曼(α，β)-度量的共形变换是位似变换.根据上述研究，我们很自然地想到在共形变换下，围绕一些重要的芬斯勒度量的射影Ricci曲率展开研究，刻画其射影Ricci曲率的关系与共形不变性.

本文主要针对芬斯勒度量的射影Ricci曲率的相关问题进行了研究.首先，证明了关于芬斯勒度量的射影Ricci曲率的一个比较定理.其次，讨论了两个共形相关的芬斯勒度量的射影Ricci曲率的变化规律.并在此基础之上，证明了两个位似相关的芬斯勒度量的射影Ricci曲率是相等的.

1. 预备知识

令F是n维流形M上的一个芬斯勒度量.在局部坐标系(x，y)下，度量F的测地线可以由下述二阶微分方程组来刻画：

其中：

Gⁱ=Gⁱ(x，y)被称为F的测地系数.

芬斯勒几何中的黎曼曲率是黎曼几何中的黎曼曲率的一个自然推广.根据芬斯勒度量的测地系数，我们可以确定度量的黎曼曲率，其定义为

其中

进一步地，黎曼曲率的迹

被称为芬斯勒度量的Ricci曲率.

定义芬斯勒流形(M，F)上的Busemann-Hausdorff体积形式为

其中

这里Vol{·}表示$\mathbb{R}$ⁿ上的欧氏体积函数.从而，芬斯勒度量F的S-曲率定义为

显然，S(x，y)关于y是一阶正齐次的，即

Cartan张量C是定义在π^*TM上的三阶对称张量：

它的平均值I=I_k(x，y)dx^k称为平均Cartan张量，其中

此外，Cartan张量C和平均Cartan张量I关于y是负一阶正齐次的，即：

对于任意一个y∈T_PM(y≠0)，Landsberg曲率的定义为

其中

进一步地，Landsberg曲率系数还可表示为

其中，“|”表示关于芬斯勒度量F的Berwald联络的水平协变导数^[14].进而，平均Landsberg曲率

有如下定义：

定义1 设F和F是n维芬斯勒流形上的芬斯勒度量，若流形M上存在一个标量函数c(x)，使得

则称度量的变换F→F为共形变换，或称F和F共形相关，称c=c(x)为共形因子.特别地，若c为常数，则称度量的变换F→F为位似变换，或称F和F位似相关.

根据定义1，容易得到芬斯勒度量的基本张量、角度量张量和Cartan张量等在共形变换下的基本关系.

引理1^[12] 设F和F是n维芬斯勒流形上的芬斯勒度量，若流形M上存在一个标量函数c(x)，使得F(x，y)=e^c(x)F(x，y)，则：

(a) g_ij(x，y)=e^2c(x)g_ij(x，y)，g^ij(x，y)=e^-2c(x)g^ij(x，y)，其中(g^ij)=(g_ij)^-1；

(b) h_ij(x，y)=e^2c(x)h_ij(x，y)，这里h_ij=g_ij-F_yⁱF_y^j称为F的角度量张量；

(c) y_k=e^2c(x)y_k；

(d) C_ijk(x，y)=e^2c(x)C_ijk(x，y)；

(e) C_ik^j(x，y)=C_ik^j(x，y)，I_k(x，y)=I_k(x，y)，其中C_ik^j=g^jlC_lik，I_k=g^ijC_ijk.

由引理1(e)可知，C_ik^j和平均Cartan张量I=I_k(x，y)dx^k是共形不变量.

2. 射影Ricci曲率的比较定理

定理1  设(M，F)是完备的芬斯勒流形.若F满足PRic≥Ric，则S=0.

证  设(M，F)是完备的芬斯勒流形.根据射影Ricci曲率的定义，可知

其中，“|”表示关于芬斯勒度量F的Berwald联络的水平协变导数.

对于任意x∈M和任意固定的y∈T_xM\{0}，令c=c(t)为满足c(0)=x，c·(0)=y的度量F的测地线.定义

则

若PRic≥Ric，则由(1)式得

即S(t)满足

令

容易得到

且

由此可得，S₀(t)满足

进一步，定义

并关于t求导，结合(2)式和(3)式，可得

注意到

因此，根据f(0)=0，有

且

根据f(t)的定义，可以得到S(t)与S₀(t)的关系，即

且

现假设S(x，y)≠0，并令${t_{\rm{0}}} = - \frac{{n + 1}}{{{\bf{S}}\left({\mathit{x}, \mathit{y}} \right)}}$.则：

(i)若S(x，y)＞0，则t₀＜0，且

由S-曲率在流形M上的光滑性及S(c(t)，$\mathit{\dot c}$(t))在(-∞，+∞)上的连续性，可知上述结论是不可能的.

(ii)若S(x，y)＜0，则t₀＞0，且

同理，由S-曲率在流形M上的光滑性及S(c(t)，$\mathit{\dot c}$(t))在(-∞，+∞)上的连续性，可知上述结论是不可能的.从而，我们可以断定S(x，y)=0.根据x，y的任意性，可得S-曲率恒为0.

需要说明的是：定理1中关于芬斯勒流形是完备的条件不能去掉，否则结论不成立.

例1^[14]  令F是定义在一个强凸区域Ω⊂$\mathbb{R}$ⁿ上的Funk度量，即F满足F_x^k=FF_y^k.我们知道，Funk度量F是正完备但非完备的芬斯勒度量，且F具有常数旗曲率和常S-曲率，即

由此可得，度量F的Ricci曲率为

由(4)式，还可得到

将(4)-(6)式代入(1)式，可得

但在此情形下，由(4)式可见度量F的S-曲率为

综上可知，对于Funk度量，满足PRic＞Ric，但S≠0.

3. 射影Ricci曲率在共形变换下的变化规律

设F与F是n维芬斯勒流形上的两个芬斯勒度量，则F与F的测地系数Gⁱ和Gⁱ有如下关系

其中，“|”表示F关于F的水平协变导数.若F与F是两个共形相关的芬斯勒度量，即

则：

根据引理1，有

将(8)，(9)式代入(7)式，可得到

其中P=c_ky^k，${Q_i} = \frac{{{F^2}}}{2}{c^i}$，cⁱ=g^ilc_l.对(10)式两边关于y^j求导，可以得到

其中：

进一步，根据文献[1]对两个共形相关的芬斯勒度量的曲率性质的研究，我们可以知道，F和F的Ricci曲率、S-曲率满足如下关系：

这里‖▽c‖_F²=c_icⁱ=g^ijc_ic_j，“|”表示关于芬斯勒度量F的Berwald联络的水平协变导数.

根据射影Ricci曲率的定义，我们可以得到下面定理：

定理2  设F和F是流形M上两个共形相关的芬斯勒度量，即F(x，y)=e^c(x)F(x，y).则F和F的射影Ricci曲率满足

其中，P=c₀=c_ky^k，PRic和PRic分别表示F和F的射影Ricci曲率，标量函数c=c(x)是共形因子，“|”表示关于芬斯勒度量F的Berwald联络的水平协变导数.

证  设F和F是流形M上两个共形相关的芬斯勒度量，即

F和F的射影Ricci曲率分别为：

其中，“；”表示关于芬斯勒度量F的Berwald联络的水平协变导数，“|”表示关于芬斯勒度量F的Berwald联络的水平协变导数，S和S分别表示F和F的S-曲率.

由(14)式，我们可以得到

根据(10)式，并利用测地系数Gⁱ和S-曲率S的齐次性，可得

类似地，由(11)，(12)式，我们可以得到

由(10)-(12)式，结合测地系数Gⁱ和平均Cartan张量I的齐次性，可得

根据(16)式可知

将(20)-(23)式代入(19)式，我们可以得到

将(13)，(14)式和(24)式代入(17)式，经整理可得(15)式成立.

特别地，根据定理2，我们得到下面的结论：

推论1  设F和F是流形M上的两个共形相关的芬斯勒度量，即F(x，y)=e^c(x)F(x，y).若c为常数，则PRic=PRic.

推论1表明：若两个芬斯勒度量是位似相关的，则度量的射影Ricci曲率是保持不变的.

本文所得到的结论对于进一步探讨芬斯勒度量的射影Ricci曲率的性质，以及深入揭示射影Ricci曲率对芬斯勒度量的几何结构和性质的影响有着重要意义.

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[1]	CHENG X Y, SHEN Z M. A Comparison Theorem on the Ricci Curvature in Projective Geometry[J]. Annals of Global Analysis and Geometry, 2003, 23(2):141-155. Google Scholar
[2]	SHEN Z M. Volume Comparison and Its Applications in Riemann-Finsler Teometry[J]. Advances in Mathematics, 1997, 128:306-328. doi: 10.1006/aima.1997.1630 CrossRef Google Scholar
[3]	SHEN Z M. Lectures on Finsler Geometry[M]. Singapore:World Scientific Co, 2001. Google Scholar
[4]	CHENG X Y, SHEN Z M. A Class of Finsler Metrics with Isotropic S-Curvature[J]. Israel Journal of Mathematics, 2009, 169(1):317-340. doi: 10.1007/s11856-009-0013-1 CrossRef Google Scholar
[5]	CHENG X Y, SHEN Z M. TIAN Y F. A Class of Einstein (α, β)-Metrics[J]. Isral Journal of Mathematics, 2012, 192(10):221-249. Google Scholar
[6]	MO X H, YU C T. On the Ricci Curvature of a Randers Metric of Isotropic S-Curvature[J]. Acta Math Sin, 2008, 24(6):911-916. doi: 10.1007/s10114-007-6058-3 CrossRef Google Scholar
[7]	程新跃, 马小玉, 沈玉玲.射影Ricci曲率及其射影不变性[J].西南大学学报(自然科学版), 2015, 37(8):92-96. Google Scholar
[8]	CHENG X Y, SHEN Y L, MA X Y. On a Class of Projective Ricci Flat Finsler Metrics[J]. Publ Math Debrecen, 2017, 90(1/2):169-180. Google Scholar
[9]	CHENG X Y, MA X Y, SHEN Y L. On Projective Ricci Flat Kropina Metrics[J]. Journal of Mathematics (PRC), 2017, 37(4):705-713. Google Scholar
[10]	BACSO S, CHENG X Y. Finsler Conformal Transformations and the Curvature Invariances[J]. Publ Math Debrecen, 2007, 70(1/2):221-231. Google Scholar
[11]	SZILASI J, VINCZE C S. On Conformal Equivalence of Riemann-Finsler Metrics[J]. Publ Math Debrecen, 1998, 52(1/2):167-185. Google Scholar
[12]	ANTONELLI P L. Handbook of Finsler Geometry[M]. Dordrecht:Kluwer Academic Publishers, 2004. Google Scholar
[13]	CHEN G Z, CHENG X Y, ZOU Y Y. On Conformal Transformations between Two (α, β)-Metrics[J]. Differential Geometry and Its Applications, 2013, 31(2):300-307. Google Scholar
[14]	SHEN Z M. Differential Geometry of Spray and Finsler Spaces[M]. Dordrecht:Kluwer Academic Publisher, 2001. Google Scholar

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

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