Reverse Bonnesen-Style Minkowski Inequalities in the Plane

对于欧氏平面${{\mathbb{R}}^{2}}$中的点集K，如果对任意x，y∈K，0≤λ≤1，都有λx+(1-λ)y∈K，则称K为凸集.具有非空内点的紧凸集称为凸体.若凸体K的边界∂K的曲率半径ρ＞0，则称凸体K为卵形域.如果K为${{\mathbb{R}}^{2}}$中的有界凸集，则以2π为周期的周期函数p(θ)称为K的支持函数. p(θ)是某个卵形域K的支持函数的充要条件是

凸体K的周长、面积积分公式分别为：

凸体K, L的面积分别记为A_K，A_L，支持函数分别为p_K，p_L.在Minkowski加法下，凸体K+L的面积表达式为

其中A_{K, L}表示两凸体的混合面积，其对应表达式为

等周不等式是著名的几何不等式之一，它是最早用基本几何不变量来刻画平面几何图形的几何不等式.经典等周不等式的几何意义是：平面上周长固定的简单闭曲线中，圆所围成的面积最大.目前，等周不等式已推广到高维欧氏空间、常曲率曲面中，并应用到其他的数学分支(参见文献[1-12]).其中Minkowski不等式是经典等周不等式的推广之一.

本文主要研究平面上的逆Bonnesen-型Minkowski不等式，形如

其中U_{K, L}是与K, L有关的非负几何不变量.设K, L为欧氏平面${{\mathbb{R}}^{2}}$中的卵形域，其支持函数分别为p_K，p_L.通过利用K和L的支持函数，构造了一类新凸体M_t，其支持函数为：

其中C为与K, L相关的几何不变量，t随C取值的不同而改变其取值范围的参数.当t=0时，M_t为凸体K；当C=1，t=1时，M_t为凸体L.设：

当$C=-{{\vartheta }_{m}}\left(K, L \right), ~0 < t\le \frac{1}{2}$时，和当$C=-{{\vartheta }_{M}}\left(K, L \right), \text{ }\frac{1}{2}\le t < 1$时，我们确定新凸体M_t，通过讨论凸体M_t的几何性质，我们得到一些新的逆Bonnesen-型Minkowski不等式，并且加强了文献[12]中定理4.6的结果，同时也给出了等号成立条件.

引理1  设K, L为欧氏平面${{\mathbb{R}}^{2}}$中的卵形域，则

证  ρ_m(K, L)和ρ_M(K, L)的定义^[12]可分别等价于：

由${{\vartheta }_{m}}$(K, L)与${{\vartheta }_{M}}$(K, L)的定义((3)式)，不等式(4)显然成立.

利用引理1，我们得到以下结果.

定理1  设K, L为欧氏平面${{\mathbb{R}}^{2}}$中的卵形域，则：

不等式(5)等号成立当且仅当K与L位似.

证  取(2)式中$C=-{{\vartheta }_{m}}\left(K, L \right)$，我们有

当$0 < t\le \frac{1}{2}$时，由ρ的定义和引理1，得到

因此${{p}_{{{M}_{t}}}}=\left(1-t \right){{p}_{K}}-t{{\vartheta }_{m}}\left(K, L \right){{p}_{L}}$是一类凸集M_t的支持函数，M_t的面积A_t为

特别地，当$t=\frac{1}{2}$时，有

将(6)式改写成两种形式：

代入不等式(1)中，我们分别得到如下新的逆Bonnesen-型Minkowski不等式：

不等式(5)等号成立的条件是${{M}_{t=\frac{1}{2}}}$的面积为0.此时${{M}_{t=\frac{1}{2}}}$只能是一条线段或一个点.如果${{M}_{t=\frac{1}{2}}}$是一条线段，则由(2)式可知，K的支持函数为

这与K为卵形域矛盾，因此${{M}_{t=\frac{1}{2}}}$只能为一个点，即等号成立当且仅当K与L位似.

由定理1，我们得到以下逆Bonnesen-型Minkowski不等式：

推论1  设K, L为欧氏平面${{\mathbb{R}}^{2}}$中的卵形域，则：

证  注意到，定理1中(5)式不等号右边括号内几何量是非负的，即：

由引理1，可证得

两边同时积分，我们有

因此，不等式(8)的第一个不等式成立.同理，可证得(8)式第二个不等式成立.由不等式(4)和(8)，我们有：

再由定理1可推出不等式(7).

在文献[12]中，利用Blaschke滚动定理也得到了(7)式.由上述证明，可发现(5)式强于(7)式，因此我们加强了文献[12]中的结果.

定理2  设K, L为欧氏平面${{\mathbb{R}}^{2}}$中的卵形域，则：

不等式(9)等号成立当且仅当K与L位似.

证  用类似于定理1的讨论，取(2)式中$C=-{{\vartheta }_{M}}\left(K, L \right)$.当$\frac{1}{2}\le t < 1$时，我们得到一类凸集M_t，其支持函数为

则其面积为

特别地，当$t=\frac{1}{2}$时，有

(10) 式可改写为：

代入不等式(1)中，得到不等式(9).同理，等号成立时，${{M}_{t=\frac{1}{2}}}$只能为一个点，即K与L位似.

类似推论1的证明，由定理2，可得以下较弱的逆Bonnesen-型Minkowski不等式.

推论2  设K, L为欧氏平面${{\mathbb{R}}^{2}}$中的卵形域，则：

由定理1和定理2，我们可得如下新的逆Bonnesen-型Minkowski不等式：

定理3  设K, L为欧氏平面${{\mathbb{R}}^{2}}$中的卵形域，则

等号成立当且仅当K与L位似.

证  将不等式(5)，(9)中的第一个不等式，两边同时开根号，分别得到：

不等式两边分别相加再平方，得到不等式(12).

下面，我们将给出文献[12]中定理4.6等号成立条件.

定理4  设K, L为欧氏平面${{\mathbb{R}}^{2}}$中的卵形域，则

等号成立当且仅当K与L为圆盘.

证  由引理1和定理3，有

下面证明(13)式等号成立.若K, L为圆盘，显然(13)式等号成立.反之，假设(13)式等号成立，则必有(14)式中第一个不等式等号成立，此时K与L位似，从而

即

有

若ρ_L不是常数，则有

由于

则

这与(15)式矛盾，故ρ_L是常数.再由(15)式，有

故ρ_K是常数.综上所述，等号成立当且仅当K与L均为圆盘.