Large Time Asymptotic Behavior for Weak Solutions of 3D Bénard System

研究如下$ {\mathbb{R}}^3 $中的Bénard系统：

其中：u=u(x，t)，ω=ω(x，t)，p=p(x，t)分别表示不可压缩的粘性流体的速率、温度、压力；$ \xi \in {{\mathbb{R}}^3} $为常向量且满足|ξ|≤1；$u\nabla = \sum\limits_{i = 1}^3 {{u_i}\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}} $；且对N≥1，${F_N}(r) = \min \{ 1, \frac{N}{r}\} $.

Bénard系统是描述不可压缩流体的动力模型方程，至今已有大量工作致力于该系统的研究.在Bénard系统解的研究中，文献[1-6]研究了Bénard系统解的存在性，文献[7-8]讨论了解的正则性，文献[9]证明了解在时间趋于无穷大的爆破，并给出了强解的精确估计，从而得到了解在大时间情况下的增长和衰减.

本文的主要目的是借助于文献[10]的方法，研究3维Bénard系统(1)-(2)弱解的长时间渐近性.

先作一些基本的假设. $ {L^p}({{\mathbb{R}}^3}) $定义为

L^q(0，T；X)定义为所有可测函数$u:(0, T) \mapsto X$组成的空间，且范数为：

为简化表述，我们用‖·‖表示$ {({L^2}({{\mathbb{R}}^3}))^d} $的范数.令

又令

下面给出本文中3维Bénard系统(1)-(2)的弱解的定义：

定义1  设$ {u_0} \in {({L^2}({{\mathbb{R}}^3}))^3}, {\omega _0} \in {L^2}({{\mathbb{R}}^3}) $.向量场{u(x，t)，ω(x，t)}被称为3维Bénard系统(1)-(2)的弱解，如果{u，ω}满足下列条件：

(ⅰ) $u \in {L^\infty }(0, T;{({L^2}({{\mathbb{R}}^3}))^3}) \cap {L^2}(0, T;{({H^1}({{\mathbb{R}}^3}))^3})$, $\omega \in {L^\infty }(0, T;{L^2}({{\mathbb{R}}^3})) \cap {L^2}(0, T;{H^1}({{\mathbb{R}}^3}))$;

(ⅱ)对任意$\phi \in {(C_0^\infty ({{\mathbb{R}}^3} \times [0, T)))^3}, \varphi \in C_0^\infty ({{\mathbb{R}}^3} \times [0, T))$满足$\nabla \cdot \phi = 0, \nabla \cdot \varphi = 0$，有

(ⅲ)能量不等式：

本文的主要结果如下：

定理1  假设{u(x，t)，ω(x，t)}是3维Bénard系统(1)-(2)的弱解.则{u，ω}在H¹中有如下衰减估计：

证  令(1)式与-Δu作内积可得：

令(2)式与-Δω作内积可得：

由(3)-(4)式可得：

又由Gagliardo-Nirenberg不等式可知：

因此，由Hölder不等式和Young不等式可得：

因此可得：

整理可得：

下面用反证法证明：对∀ε＞0，存在M＞0，使得对t≥M，有‖u‖‖▽u‖≤ε.

假设存在正常数ε₀，使得对所有t≥0，有：

则由能量不等式可得：

即

又由能量不等式可知：

与(6)式矛盾.因此有：

代入(5)式，由|ξ|≤1可得：

联合能量不等式可得：

因此可得：