Moment Convergence of Extreme Generalized Order Statistics

文献[1]用统一的方法描述了各种顺序统计量，包括普通顺序统计量、序列顺序统计量、累加第Ⅱ型删失顺序统计量、记录值等.若存在参数$n \in {\mathbb{N}}, k > 0, {m_1}, {m_2}, \cdots , {m_{n - 1}} \in {\mathbb{R}}$，${M_r} = \sum\limits_{j = r}^{n - 1} {{m_j}, 1 \le r \le n - 1} $，使得γ_r=k+n-r+M_r＞0对所有的r∈{1，…，n-1}都成立，当n≥2时，记$\mathit{\boldsymbol{\tilde m}} = ({m_1}, {m_2}, \cdots , {m_n}), \mathit{\boldsymbol{\tilde m}} \in {{\mathbb{R}}^n}$，当n=1时，F为任意分布函数.若随机变量U(r，n，${\mathit{\boldsymbol{\tilde m}}}$，k)，r=1，2，…，n，具有联合密度函数

其中0≤u₁≤…≤u_n≤1，则称U(r，n，${\mathit{\boldsymbol{\tilde m}}}$，k)为均匀广义顺序统计量.随机变量

称为基于分布函数F的广义顺序统计量，其中F^←(y)=inf{x：F(x)≥y}.其中的一种特殊情况是当m₁=…m_n-1=m，随机变量各自表示成U(r，n，m，k)和X(r，n，m，k)，r=1，…，n.对于普通顺序统计量，若存在常数α_n＞0和${\beta _n} \in {\mathbb{R}}, n \in {\mathbb{N}}$使得

则G(x)为以下3大极值分布类型之一：

其中α为一正常数.若(1)式成立，则称F属于G(x)的吸引场，记为F∈D(G).更多的内容参见文献[2-3].文献[4]已经证明了当m₁=…m_n-1=m＞-1，k＞0，当且仅当(1)式成立时存在常数a_n＞0和${b_n} \in {\mathbb{R}} , n \in {\mathbb{N}} $使得

对于H的所有连续点都成立，且${a_{\left\lfloor {{n^{m + 1}}} \right\rfloor }} = {\alpha _n}, {b_{\left\lfloor {{n^{m + 1}}} \right\rfloor }} = {\beta _n}$，其中所有非退化分布H的形式为

其中：$l = \frac{k}{{m + 1}}, \mathit{\Gamma }(a, x)$表示不完全伽马函数

文献[5]分析了极值广义顺序统计量的收敛速度；文献[6]研究了极值广义顺序统计量的密度收敛；文献[7]研究了广义顺序统计量的极限理论；文献[8]研究了极值广义顺序统计量的渐近分布的吸引场；文献[9]讨论了独立同混合广义伽马分布随机变量序列的规范化最大值的极限分布及其点点收敛速度；文献[10]给出了卡方分布序列最大值的渐近分布以及逐点收敛速度.而对于极值广义顺序统计量的矩收敛尚未有文献提及.本文将给出极值广义顺序统计量的矩收敛.

下节讨论极值广义顺序统计量的收敛性，即对任意的整数t，

其中W_n表示广义顺序统计量的最大值.

定义r(F)=sup{x：F(x)＜1}为F的右端点.

定理1  设(2)式成立.

1) 若H=H_1，α(x)，取${a_{\left\lfloor {{n^{m + 1}}} \right\rfloor }} = {(\frac{1}{{1 - F}})^ \leftarrow }(n), {b_{\left\lfloor {{n^{m + 1}}} \right\rfloor }} = 0$.若存在整数t＞0

则

2) 若H=H_2，α(x)和F存在一个右端点r(F)，取

则

3) 若H=H_3，0(x)，取

其中f表示F∈D(Λ)的辅助函数，则

其中Γ^(t)(l)是伽马函数在x=l处的t阶偏导数.

证  由(2)式知，对于任意的L＞0有

又因为

所以只需证明

综上所述，要证明定理的结论，只需证明(4)式成立.由富比尼定理得

由(2)式有

1)

最后一步使用洛必达法则.记

由文献[4]中注记2.6和

得到$n \to \infty , {I_{{{(1 - F({a_n}x + {b_n}))}^{m + 1}}}}(l, n) \to 0$，所以

考虑B₂：

由(3)式和a_n→∞，对所有L＞0，我们有$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {B_2} = 0$.因此

2) 显然，F的右端点0＜r(F)＜∞得到F^{X(n，n，m，k)}的右端点0＜r(F^{X(n，n，m，k)})＜∞，所以

3)

最后一步使用洛必达法则.

考虑B₂，记B₂为：

从文献[4]中定理3.4的证明中知道对充分大的n，${F^{X(n, n, m, k)}}({a_n}s + {b_n}) \le 1 + \sum\limits_{i = 0}^\infty {y(i)} $，其中

其中常数P和Q存在，$\sum\limits_{i = 0}^\infty {y(i)} < \infty $，当L→∞时

因此

其中Γ^(t)(l)是伽马函数在x=l处的t阶偏导数.