Two Rigidity Theorems on Conformally Flat (α, β)-Metrics

令F是n维流形M上的一个芬斯勒度量.在局部坐标系(xⁱ，yⁱ)下，度量F的测地线可以由下述二阶微分方程组来刻画：

其中

这里

称Gⁱ=Gⁱ(x，y)为F的测地系数.

芬斯勒几何中的黎曼曲率是黎曼几何中黎曼曲率的自然推广.根据芬斯勒度量的测地系数，可以确定该度量的黎曼曲率，其定义为

其中

进一步，黎曼曲率的迹

被称为芬斯勒度量的Ricci曲率.显然，Ricci曲率是关于y的二阶正齐次函数. F的Ricci张量定义为

除了黎曼几何量，芬斯勒几何中还有若干十分重要的非黎曼几何量，其中之一就是S-曲率.给定芬斯勒度量F的体积形式为

其中

这里Vol{·}表示$\mathbb{R}$ⁿ上的欧氏体积函数.那么，对于y∈T_pM(y≠0)，度量F的S-曲率定义为

在芬斯勒几何中，形如

的芬斯勒度量即为(α，β)-度量，它是一类十分重要的芬斯勒度量，其中$\alpha = \sqrt {{a_{ij}}\left( x \right){y^i}{y^j}} $是黎曼度量，β=b_i(x)yⁱ是满足‖β_x‖＜b₀(x∈M)的1-形式.易证：F=αϕ(s)是正定的芬斯勒度量当且仅当ϕ(s)是开区间(-b₀，b₀)上的C^∞正定函数，且满足^[15]

特别地，当ϕ=1+s时，芬斯勒度量F=α+β为Randers度量；当$\phi {\rm{ = }}\frac{1}{s}$时，芬斯勒度量$F = \frac{{{\alpha ^2}}}{\beta }$为Kropina度量.下面给出(α，β)-度量的一些常用记号.记：

其中“；”表示关于度量α的黎曼联络的水平协变导数.进一步，令：

其中：

设F和F是n维流形M上的两个芬斯勒度量，则由(3)式知F与F的测地系数Gⁱ和Gⁱ有如下关系^[15]：

其中“|”表示关于度量F的水平协变导数.

进一步，令F和F是n维流形M上两个共形相关的芬斯勒度量，即存在流形M上的标量函数σ(x)，使得

根据(4)式，不难得到芬斯勒度量的基本张量在共形变换下的基本关系^[1-3]：

其中(g^ij)=(g_ij)^-1.进一步，y_k=e^2σ(x)y_k，这里y_k=g_ki(x，y)yⁱ.易见，F_|k=e^σ(x)σ_kF，这里${\sigma _{_k}} = \frac{{\partial \sigma }}{{\partial {x^k}}}$.根据(5)式，我们有

其中，σ₀=σ_ky^k，σⁱ=g^ilσ_l.进一步，可得^[1]：

这里${\bf{G}}_j^i = \frac{{\partial {{\bf{G}}^i}}}{{\partial {y^j}}}$，${\bf{G}}_{jk}^i = \frac{{\partial {\bf{G}}_j^i}}{{\partial {y^k}}}$，且：

令$F = \alpha \phi \left( {\frac{\beta }{\alpha }} \right)$是n维流形M上的(α，β)-度量，其中$\alpha = \sqrt {{a_{ij}}\left( x \right){y^i}{y^j}} $为一个黎曼度量，β=b_i(x)yⁱ为M上的1-形式.若F共形相关于F，即F=e^σ(x)F，则易见$\bar F = \bar \alpha \phi \left( {\frac{{\bar \beta }}{{\bar \alpha }}} \right)$也是(α，β)-度量，且以下关系式成立：

进一步，易知：

其中bⁱ=a^ijb_j，y_i=a_ijy^j.由(8)，(9)，(10)式易知，α与α的Christoffel记号Γ_jkⁱ和Γ_jkⁱ具有如下关系：

其中σⁱ=a^ijσ_j.从而根据(9)，(10)，(11)式，不难得到

其中f=b^kσ_k，“；”表示关于度量α的黎曼联络的水平协变导数，“‖”表示关于度量α的黎曼联络的水平协变导数.事实上，令b=‖β_x‖_α表示β关于α的长度，b=‖β_x‖_α表示β关于α的长度，从而易知b=b.结合(12)式，显然有：

由(9)-(14)式，不难得到以下等式成立：

此外，根据(9)，(11)式以及文献[1]中的(24)式，我们很容易得到以下引理成立：

引理 1    令$\bar F = \bar \alpha \phi \left( {\frac{{\bar \beta }}{{\bar \alpha }}} \right)$和$F = \alpha \phi \left( {\frac{\beta }{\alpha }} \right)$是n维流形M上两个共形相关的(α，β)-度量，即F=e^σ(x)F，则以下等式成立

这里$^{\bar \alpha }\overline {{\bf{Ric}}} $和$^\alpha {\bf{Ric}}$分别表示α与α的Ricci曲率.

本节将在β是闭的且是关于α的共形1-形式的条件下，即b_i；j=c(x)a_ij的条件下，得到共形平坦(α，β)-度量的一个刚性结果，即下述定理：

定理 1    令$F = \alpha \phi \left( {\frac{\beta }{\alpha }} \right)$是n(n≥3)维流形M上共形平坦的(α，β)-度量.假设β是闭的且是关于α的共形1-形式，即b_i；j=c(x)a_ij，其中c(x)是流形M上的标量函数，则F一定是局部Minkowski度量.

证    设$F = \alpha \phi \left( {\frac{\beta }{\alpha }} \right)$是n维流形M上共形平坦的芬斯勒度量，则F共形相关于一个局部Minkowski度量F，即有

此时，α为平坦的黎曼度量，β关于α是平行的，即b_i‖j=0^[4].从而s_ij=0，r_ij=0.由(12)，(13)，(14)式，显然有：

于是我们可以得到

因为β是闭的且是关于α的共形1-形式，即b_i；j=c(x)a_ij，故s_ij=0，再结合(26)式知：

由r_i=0，易知

这意味着c(x)=0，从而b_i；j=0.因此，(23)式化为

对等式两边关于yⁱy^j缩并，可得到

由于α²=a_ijyⁱy^j是关于(yⁱ)的不可约的二次型，故由(28)式知σ₀=0，f=b^kσ_k=0.从而σ是常数.因此F是局部Minkowski度量.这就完成了定理1的证明.

引理 2^[12]    令F=α+β是n(n≥3)维流形M上的Randers度量.则F是射影Ricci平坦的当且仅当α，β满足以下两个等式：

其中b=‖β_x‖_α，“；”表示关于度量α的黎曼联络的水平协变导数.

根据引理2，我们可得到关于共形平坦Randers度量的一个刚性结果，即下述定理：

定理 2    设F=α+β是n(n≥3)维流形M上共形平坦的Randers度量.若F是射影Ricci平坦的，则F一定是局部Minkowski度量.

证    根据假设，并由定理1的证明可知，此时(24)，(25)式仍然成立，则(15)，(16)式可分别简化为：

其中f=b^kσ_k.进一步，(17)-(22)式也可分别简化为如下形式：

结合(26)，(36)及(37)式，(29)，(30)式可分别简化为：

从而由(38)式和(39)式，且利用(34)，(35)式，有

结合(33)式和(40)式，得到(b^mσ₀-βσ^m)_；m=0，即

事实上，利用(24)，(25)式，经过一系列简单的计算，不难得到(42)式等价于

为了简化计算，不妨在M上的任一点x处取关于α的一组标准正交基，使得：

进一步，我们在T_xM上做坐标变换^[16] φ：(s，u^A)→(yⁱ)：

其中$\bar \alpha = \sqrt {\sum\limits_{A = 2}^n {{{\left( {{u^A}} \right)}^2}} } $.这里指标约定为：

从而：

令：

故在形如(44)式的变换下，有：

因此，根据(45)-(48)式，易知(41)式等价于以下两个等式：

在(49)式中令s=0，从而有

此外，因为n≥3，由(50)式知

同理，根据(45)-(48)式，我们不难得到(43)式等价于以下两个等式：

因此，结合(52)式和(54)式以及n≥3，显然有：

接下来证明σ_A=0.假设存在某一整数B₀(2≤B₀≤n)以及流形M上的点x₁∈M，使得σ_B0(x₁)≠0.这也意味着存在x₁的某个邻域U_x1⊂M，使得σ_B0(x₁)≠0(∀x∈U_x1).注意到：

我们有σ₁(x)=0，从而σ_1；1(x)=0(∀x∈U_x1).因此，结合

(51)，(53)式可分别简化为：

观察(56)式，可令

其中λ=λ(x)是流形M上的标量函数，则

进而可得

令(59)式中A=B，则有

对(60)式关于A求和，再由(58)式，可得

由(57)式易见

显然$\frac{n}{2}{b^2} + {\left( {n - 2} \right)^2} \ne 0$，故

特别地，当取x=x₁，A=B₀时，就有σ_B0(x₁)=0，这与假设矛盾.因此σ_A(x)=0(∀x∈M).

最后证明σ₁=0.将σ_A=0带入(53)式，再结合σ_A；1=σ_1；A=0，则有

由n≥3知σ₁=0.

综上所述，σ_i=0(1≤i≤n)，即σ是常数.因此F是局部Minkowski度量.