Application of the Fixed Point Approach to Stochastic Stability Analysis for the Periodic Reaction-Diffusion T-S Fuzzy System with Time Delays

考虑如下模糊反应扩散双向联想记忆神经网络系统模型：

模糊规则^[2]  j：如果w₁(t)=μ_j1，…，w_s(t)=μ_js，则

其中：

而A=(a_ik)_n×m，$\mathit{\boldsymbol{\tilde A}} = {\left({{{\tilde a}_{ik}}} \right)_{n \times m}}$是扩散参数矩阵，$\nabla u = {\left({\nabla {u_1}, \cdots, \nabla {u_n}} \right)^{\rm{T}}}$.这里$\nabla {u_i} = {\left({\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_1}}}, \cdots, \frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_m}}}} \right)^{\rm{T}}}$，而$\mathit{\boldsymbol{A}} \circ \nabla u = {\left({{a_{ik}}\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_k}}}} \right)_{n \times m}}$表示矩阵A与$\nabla u$的Hadamard乘积^[5].外输入变量：

重置参数矩阵B_j=diag(b_j1，b_j2，…，b_jn)，${\mathit{\boldsymbol{\tilde B}}_j} = {\mathop{\rm diag}\nolimits} \left({{{\tilde b}_{j1}}, {\rm{ }}{{\tilde b}_{j2}}, \cdots, {{\tilde b}_{jn}}} \right)$，联络权重参数矩阵C_k=(c_ijk)_n×n，$\mathit{\boldsymbol{\tilde C}} = {\left({{{\tilde c}_{ijk}}} \right)_{n \times n}}$，D_k=(d_ijk)_n×n，${\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}_k} = {\left({{{\tilde d}_{ijk}}} \right)_{n \times n}}$，激活函数：

${\tilde g_j}(u(t - h, x))$亦为如上类似表示.

假设概率空间(Ω_*，Υ，$\mathbb{P}$)，其中Ω_*为样本空间，Υ是由样本空间子集所构成的σ-代数，$\mathbb{P}$是定义在Υ上的概率测度.设S={1，2，…，N}，随机过程{r(t)：[0，+∞)→S}是齐次的、有限状态的右连续轨线的马尔科夫过程，其生成集为∏=(π_ij)_N×N，从t时刻状态i到t+Δt时刻状态j的转移率为：

其中i，j∈S，而非负数π_ij≥0是从状态i到状态j(j≠i)的转移率，特别地，${{\rm{ \mathit{ π} }}_{ii}} = - \sum\limits_{j = 1, j \ne i}^N {{{\rm{ \mathit{ π} }}_{ij}}} $.变量δ＞0，并且$\mathop {\lim }\limits_{\delta \to 0} \frac{{o(\delta)}}{\delta } = 0$. {μ_jk：j=1，2，…，J；k=1，2，…，m}是模糊集，ω_k(t)是前件变量，r_*是IF-THEN规则^[2]的个数，s为前提变量的个数.由单点模糊化、乘积推理和平均加权反模糊化得到模糊系统的整个状态方程为：

时滞满足0≤h(t)≤τ₀，0≤τ(t)≤τ₀.记A_r=A(r(t))，B_rj=B_j(r(t))，矩阵C_rj，D_rj也是类似记法.对于矩阵A_r=(a_ij^(r)(t，x，u))，本文定义

类似地，对于矩阵${\mathit{\boldsymbol{\tilde A}}_r} = \left({\tilde a_{ij}^{(r)}(t, x, u)} \right)$，记

设反应扩散系统(2)的初值为：

其中$\phi = {\left({{\phi _1}, \cdots, {\phi _n}} \right)^{\rm{T}}}, \varphi = {\left({{\varphi _1}, \cdots, {\varphi _n}} \right)^{\rm{T}}}$皆是有界连续函数.假设系统(2)满足纽曼边值

其中$\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial \gamma }} = {\left({\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_1}}}, \frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_2}}}, \cdots, \frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_n}}}} \right)^{\rm{T}}}$表示边界$\partial \mathit{\Omega }$上的外法线方向导.

本文记$u(t, x, \phi, \varphi), v(t, x, \phi, \varphi)$为系统(2)满足(3)，(4)式的解.在不引起混淆的情况下有时也简记为u，v.另外，本文定义：

对任给模式r∈S，本文假设：

(A1)   $\mathit{\boldsymbol{A}}(r(t)), {\mathit{\boldsymbol{B}}_j}(r(t)), {\mathit{\boldsymbol{C}}_j}(r(t)), {\mathit{\boldsymbol{D}}_j}(r(t)), \mathit{\boldsymbol{L}}(t), \mathit{\boldsymbol{\tilde A}}(r(t)), {\rm{ }}{\mathit{\boldsymbol{\tilde B}}_j}(r(t)), {\rm{ }}{\mathit{\boldsymbol{\tilde C}}_j}(r(t)), {\rm{ }}{\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}_j}(r(t)), \mathit{\boldsymbol{J}}(t)$都是$\mathbb{R}$上连续的ω-周期函数；

(A2)   存在正定对角矩阵F_j，G_j，${\mathit{\boldsymbol{\tilde F}}_j}, {\rm{ }}{\mathit{\boldsymbol{\tilde G}}_j}$，使得对任给u，v∈$\mathbb{R}$ⁿ，有：

其中|u|=(|u₁|，|u₂|，…，|u_n|)^T∈$\mathbb{R}$ⁿ，$\forall u = {\left({{u_1}, \cdots, {u_n}} \right)^{\rm{T}}} \in {\mathbb{R}^n}$.

首先关于初值ϕ，φ和$\tilde \phi, {\rm{ }}\tilde \varphi $，本文记u_t(ϕ，φ)，v_t(ϕ，φ)以及u_t($\tilde \phi, {\rm{ }}\tilde \varphi $)，v_t($\tilde \phi, {\rm{ }}\tilde \varphi $)是系统(2)的两组解.设：

有时也简记：

引理1  设Ω是$\mathbb{R}$^m中的有界区域，其边界$\partial \mathit{\Omega }$是C²光滑的.对任给模式r∈S，设P_r=diag(p_r1，p_r2，…，p_rn)为正定对角矩阵，α_r是正数，满足α_rI≤P_r.又设w=(w₁，w₂，…，w_n)^T，z=(z₁，z₂，…，z_n)^T，其中：

从而

以及

其中w_i(t，x)，z_i(t，x)∈H₀¹(Ω)，$\forall $t∈[0，+∞)，i=1，2，…，n.这里I是单位矩阵，λ₁是下述纽曼边值的最小正特征值：

证  由于w=w(t，x)=u_t(ϕ，φ)-u_t($\tilde \phi, \tilde \varphi $)，z=z(t，x)=v_t(ϕ，φ)-v_t($\tilde \phi, \tilde \varphi $)，从而由高斯公式和纽曼边值条件有

由椭圆算子谱理论知，Ω上关于纽曼边值条件的拉普拉斯算子-Δ是自伴算子且其逆紧，故存在一列非负特征值{λ_i}_i=0^∞满足0=λ₀＜λ₁＜λ₂＜…＜λ_k＜λ_k+1＜…→+∞(k→+∞)以及一列相应的特征函数ζ₀(x)，ζ₁(x)，ζ₂(x)，….即

由-Δζ_k(x)=λζ_k(x)及积分准则可得

又因

对任给i≠j，特征函数ζ_i(x)和ζ_j(x)正交.从而特征函数列{ζ_k(x)}_k=0^∞构成空间L²(Ω)的一组正交基.设1≤p＜+∞，由Sobolev嵌入定理知W₀^1，p(Ω)⊂L^p*($\forall $p＜n)，以及W₀^1，p(Ω)⊂L^q($\forall $q＞0，p≥n)，其中p^*=$\frac{{np}}{{n - p}}$是Sobolev嵌入临界指数.从而对任意v_i(x)∈H₀¹(Ω)，本文有w_i(x)=$\sum\limits_{k = 0}^\infty {{c_k}} \zeta (x)$和

由(8)，(9)式得(5)式成立. (6)式类似可证.

注1  若Ω=[0，L]⊂$\mathbb{R}$，则${\lambda _1} = {\left({\frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{L}} \right)^2}$.如果Ω={(x₁，x₂)^T∈$\mathbb{R}$²：0＜x₁＜a，0＜x₂＜b}，则${\lambda _1} = \min \left\{ {{{\left({\frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{a}} \right)}^2}, {{\left({\frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{b}} \right)}^2}} \right\}$.引理1改进了文献[6]的引理2.1.

受文献[1-16]一些方法和结论的启发，本文将给出如下结论：

定理1  假如存在一列正定对角矩阵P_r(r∈S)以及正数列{α_r}，{α_r}，使得以下线性矩阵不等式成立：

则系统(2)有唯一ω-周期解，并且当t→+∞时所有其它解随机指数型收敛到该周期解，其中：

证  由系统(2)有

对任给模式r∈S，考虑以下李雅普诺夫泛函：

其中：

设$\mathscr{L}$是弱微分算子^[5]，则

类似地，有：

综上所述，可得

再由(10)，(11)式及舒尔补定理知

因此，对任给模式r∈S，有

于是由(14)式知，存在常数c₀＞0使得

进一步有

定义$\mathscr{C}$=$\mathscr{C}$([-τ₀，0]×Ω，$\mathbb{R}$ⁿ)是[-τ₀，0]×Ω到$\mathbb{R}$ⁿ中的连续函数集，并且$\mathscr{C}$×$\mathscr{C}$是由连续函数构成的巴拿赫空间，对$\forall (\phi (s, x), \varphi (s, x)) \in \mathscr{C} \times \mathscr{C}$，其范数为

再由(15)式知

令k∈$\mathbb{N}$充分大，满足kω＞τ₀和$\sqrt {{{\rm{e}}^{ - \beta k\omega }}{c_0}} $≤0.9.定义一个庞加莱映射$\mathscr{f}$：$\mathscr{C}$×$\mathscr{C}$→$\mathscr{C}$×$\mathscr{C}$如下：

则

这意味着$\mathscr{f}$^k是$\mathscr{C}$×$\mathscr{C}$上的压缩映射.从而存在唯一的不动点(${\phi ^*}, {\varphi ^*}$)，满足$\mathscr{f}$^k(${\phi ^*}, {\varphi ^*}$)=(${\phi ^*}, {\varphi ^*}$).进一步，有

这说明$\mathscr{f}$(${\phi ^*}, {\varphi ^*}$)是映射$\mathscr{f}$^k的不动点.由$\mathscr{f}$^k的唯一性知

设$\left({{u_t}\left({{\phi ^*}, {\varphi ^*}} \right), {v_t}\left({{\phi ^*}, {\varphi ^*}} \right)} \right)$是系统(2)的解，因为

则$\left({{u_{t + \omega }}\left({{\phi ^*}, {\varphi ^*}} \right), {v_{t + \omega }}\left({{\phi ^*}, {\varphi ^*}} \right)} \right)$也是系统(2)的解.从而$\left({{u_t}\left({{\phi ^*}, {\varphi ^*}} \right), {v_t}\left({{\phi ^*}, {\varphi ^*}} \right)} \right)$是系统(2)的唯一的ω-周期解，并且所有其它解都指数型收敛到该周期解.

注2  若忽略扩散现象，则A_r=${\mathit{\boldsymbol{\tilde A}}_r}$≡0.本文的定理1还涉及随机现象，比文献[4]的确定系统(1)更贴近现实工程.并且由于现实工程中涉及大型计算，定理1的判据是线性矩阵不等式条件，因而可以用计算机特殊工具箱编程，这也是比文献[4]判据优越的地方.

注3  反应扩散模型带来了数学上的一些困难，本文通过在乘积空间$\mathscr{C}$×$\mathscr{C}$上定义压缩映射克服了这个困难.

将系统(2)配置如下数据：

设r^*=2.模式1：

模式2：

固定β=0.01.运用计算机Matlab LMI工具箱解线性矩阵不等式(10)-(12)，得：

由定理1知，系统(2)存在唯一的ω-周期解，并且所有其它解都指数型收敛到该周期解.