Third Hankel Determinant for a Class of Generalized Analytic Functions Associated with Bernoulli's Lemniscate and Conjugate Points

设$\mathbb{C}$表示复数集，$\mathscr{A}$表示单位圆盘${\mathscr{D}} = \{ z \in {\rm{\mathbb{C}}}:|z| < 1\}$内单叶解析且具有如下形式：

的函数族.

设$\mathscr{P}$表示单位圆盘$\mathscr{D}$内具有如下形式：

且满足条件Re p(z)＞0的解析函数族.

由文献[1]中的结论易知，对于函数$p(z) \in {\mathscr P}$，存在Schwarz函数ω(z)，使得p(z)∈$\mathscr{P}$当且仅当$p(z) = \frac{{1 + w(z)}}{{1 - w(z)}}$.

定义1^[2]  设函数f(z)和g(z)在单位圆盘$\mathscr{D}$内解析.如果存在$\mathscr{D}$内的Schwarz函数ω(z)，满足ω(0)=0，|ω(z)|＜1且f(z)=g(ω(z))，则称f(z)从属于g(z)，记为$f(z) \prec g(z)$.特别地，如果g(z)在$\mathscr{D}$上是单叶的，则$f(z) \prec g(z)\left({z \in {\mathscr D}} \right)$当且仅当f(0)=g(0)，$f(\mathscr{D}) \subset g(\mathscr{D})$.

定义2  设SL_c^*(α，μ)表示具有(1)式的形式且满足下述条件的函数全体：

易知若f∈SL_c^*(α，μ)，则有

最早在文献[3]中介绍了双纽线函数，其他作者也给出了进一步的研究，详见文献[4-5].

注意到，若在定义2中分别取μ=0，α=μ=0和α-1=μ=0时，则可得如下函数类：

和

文献[6]定义了函数f的q阶Hankel行列式

其中a₁=1, n≥1, q≥1.特别地, 有:

因为$f \in \mathscr{A}$，a₁=1，故有

易知H₃(1)即为经典的Fekete-Szegö不等式^[7].

近年来，许多学者研究了各类解析函数的三阶Hankel行列式H₃(1)，得到了其上界估计，详见文献[8-13].文献[3]引入了与贝努利双纽线有关的解析函数类，许多学者对此函数类进行了进一步研究.如文献[4]讨论了与贝努利双纽线有关的解析函数类的微分从属性质，文献[14-16]分别讨论了贝努利双纽线区域内解析函数类的优化问题以及解析函数的三阶Hankel行列式.受以上工作的启发，本文研究了一类具有共轭点且与贝努利双纽线有关的广义解析函数SL_c^*(α，μ)的三阶Hankel行列式H₃(1)，得到其上界估计.

引理1^[8]  如果$p(z) \in \mathscr{P}$，则|c_n|≤2(n=1，2，…).

引理2^[9]  如果$p(z) \in \mathscr{P}$，则存在$x, z \in \mathbb{C}$且|x|≤1，|z|≤1，使得：

定理1  如果f∈SL_c^*(α，μ)，则有：

证  设f∈SL_c^*(α，μ)，由定义1和(2)式，可得

其中ω(z)是Schwarz函数且满足ω(0)=0，|ω(z)|＜1，$z \in \mathscr{D}$.令$\omega(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} C_{n} z^{n}$，通过计算分别比较等式两边z，z²，z³，z⁴的系数，易得：

又因$\left| {{{\rm{C}}_n}} \right| \le 1, \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{{\rm{C}}_n}} \right|} \le 1$，故定理1成立.

定理2  如果f∈SL_c^*(α，μ)，则

其中：

证  如果f∈SL_c^*(α，μ)，则由定义1及(2)式可得

定义

则$ p(z) \in \mathscr{P}$，且：

分别比较(13)，(14)式中z，z²，z³的系数，得

从而，可得

设|x|=t，0≤t≤1，c₁=c，c∈[0, 2]，则由三角不等式及引理1可得

则易得$\frac{{\partial F}}{{\partial t}} \ge 0$.因此函数F(c，t)在t=1处取得最大值，即

经过简单计算可得

是G′(c)=0的根，又因为函数G″(r)＜0，从而可得函数G(c)在c=r处取得最大值，则函数F(c，t)在t=1，c=r处取得最大值，即|a₂a₃-a₄|≤MA₄.定理2得证.

定理3  如果f∈SL_c^*(α，μ)，则有

其中：

证  由(15)式、(16)式、(17)式，可得

设|x|=t，0≤t≤1，c₁=c，c∈[0, 2]，则由三角不等式及引理2，可得

则有$\frac{{\partial {\rm{F}}}}{{\partial t}} \ge 0$，从而函数F(c，t)在t=1处取得最大值，即：

下面分两种情况讨论：

情形1  当4[6αμ+2(α-μ)+1]≥3[2αμ+(α-μ)+1]²时，则有G′(c)≥0，即函数G(c)关于c单调递增，所以函数G(c)在c=2处取得最大值，因此

情形2  类似地，当4[6αμ+2(α-μ)+1]＜3[2αμ+(α-μ)+1]²时，有G′(c)＜0，可得函数F(c，t)在t=1，c=0处取得最大值，即有

定理3得证.

定理4  如果f∈SL_c^*(α，μ)，则有

证  证明方法与定理3类似.

定理5  如果f∈SL_c^*(α，μ)，则

其中M，r，A₄，Q，R分别由(10)，(11)，(12)，(19)，(20)式给出，且：

证  因为

将(3)-(6)式、(18)式和(21)式代入(22)式，即得定理5.

在定理5中，若分别取μ=0，α=μ=0和α-1=μ=0，则可得如下的一些推论：

推论1  如果f∈SL_c^*(α)，则

其中M，A₄，Q，R分别是(10)，(12)，(19)，(20)式中μ=0的情况，且：

推论2  如果f∈SL_c^*，则

推论3  如果f∈SL_c^*(1)，则

其中M，A₄分别是(10)式和(12)式中α=1，μ=0的情况.