Smooth Transition Region Design and Analysis of the Far-Field Beamformer Problem

Mei XIAO; Zhi-guo FENG

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2019.06.020

2019 Volume 41 Issue 6

Article Contents

Previous Article Next Article

Mei XIAO, Zhi-guo FENG. Smooth Transition Region Design and Analysis of the Far-Field Beamformer Problem[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2019, 41(6): 141-148. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2019.06.020

Citation:

Mei XIAO, Zhi-guo FENG. Smooth Transition Region Design and Analysis of the Far-Field Beamformer Problem[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2019, 41(6): 141-148. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2019.06.020

Smooth Transition Region Design and Analysis of the Far-Field Beamformer Problem

Mei XIAO^1,2,
Zhi-guo FENG²

1.
Chongqing Wulong Middle School, Wulong, Chongqing 408500, China
2.
School of Mathematics and Science, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China

More Information

Received Date: 11/04/2018
Available Online: 20/06/2019
MSC: TN912.3

Abstract

Broadband beamformer design of microphone array is an optimization problem, which has wide applications in acoustic signal processing. In general, only the passband region and the stopband region are considered in the objective function, while it is not constrained in the transition region, Then, the actual response function of the optimal solution will show serious vibration in the transition region when the filter length is large enough. This causes a poor robustness of the microphone array system in an uncertain environment. In this paper, we consider this problem. By modifying the original problem, the actual response function becomes very smooth in the transition region, while the performance of the design remains unaffected. We analyze the optimal solutions of the original problem and the modified problem and verify the effectiveness of the modified problem with a numerical example.
- microphone array,
- beamformer,
- transition region

References

[1]	杨奕, 谷加新, 周川云, 等.基于PFM调制的超低功耗红外光通信装置设计[J].西南师范大学学报(自然科学版), 2015, 40(4):59-64. Google Scholar
[2]	BENESTY J, CHEN J, HUANG Y. Microphone Array Signal Processing[M]. Berlin:Springer Verlag Berlin Heidelberg, 2008:4097-4098. Google Scholar
[3]	LECLÈRE Q, PEREIRA A, BAILLY C, et al. A Unified Formalism for Acoustic Imaging Based on Microphone Array Measurements[J]. International Journal of Aeroacoustics, 2017, 16(4-5):431-456. doi: 10.1177/1475472X17718883 CrossRef Google Scholar
[4]	TIETE J, DOMÍNGUEZ F, SILVA B, et al. Sound Compass:A Distributed MEMS Microphone Array-Based Sensor for Sound Source Localization[J]. Sensors, 2014, 14(2):1918-1949. doi: 10.3390/s140201918 CrossRef Google Scholar
[5]	YAN S F. Optimal Design of Modal Beamformers for Circular Arrays[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 2015, 138(4):2140-2151. doi: 10.1121/1.4929932 CrossRef Google Scholar
[6]	VAN VEEN B D, BUCKLEY K M. Beamforming:a Versatile Approach to Spatial Filtering[J]. IEEE ASSP Magazine, 1988, 5(2):4-24. doi: 10.1109/53.665 CrossRef Google Scholar
[7]	FENG Z G, YIU K F C, NORDHOLM S E. Performance Limit of Broadband Beamformer Designs in Space and Frequency[J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 2015, 164(1):316-341. doi: 10.1007/s10957-014-0543-5 CrossRef Google Scholar
[8]	WANG X R, AMIN M, WANG X H, et al. Sparse Array Quiescent Beamformer Design Combining Adaptive and Deterministic Constraints[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2017, 65(11):5808-5818. doi: 10.1109/TAP.2017.2751672 CrossRef Google Scholar
[9]	LI Z B, YIU K F C, NORDHOLM S. On the Indoor Beamformer Design with Reverberation[J]. ACM Transactions on Audio, Speech and Language Processing, 2014, 22(8):1225-1235. Google Scholar
[10]	YIU K F C, YANG X Q, NORDHOLM S, et al. Near-Field Broadband Beamformer Design Via Multidimensional Semi-Infinite Linear Programming Techniques[J]. IEEE Transactions on Speech and Audio Processing, 2003, 11(6):725-732. doi: 10.1109/TSA.2003.815527 CrossRef Google Scholar
[11]	王荣波, 冯强, 刘瑞.一类多目标半无限规划的最优性与对偶性[J].西南大学学报(自然科学版), 2017, 39(3):55-61. Google Scholar
[12]	FENG Z G, YIU K F C. The Design of Multi-Dimensional Acoustic Beamformers Via Window Functions[J]. Digital Signal Processing, 2014, 29:107-116. doi: 10.1016/j.dsp.2014.02.012 CrossRef Google Scholar
[13]	FENG Z G, YIU K F C, NORDHOLM S E. A Two-Stage Method for the Design of Near-Field Broadband Beamformer[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(8):3647-3656. doi: 10.1109/TSP.2011.2133490 CrossRef Google Scholar
[14]	FENG Z G, YIU K F C, NORDHOLM S E. Placement Design of Microphone Arrays in Near-Field Broadband Beamformers[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(3):1195-1204. doi: 10.1109/TSP.2011.2178491 CrossRef Google Scholar
[15]	LI Z B, YIU K F C, FENG Z G. A Hybrid Descent Method with Genetic Algorithm for Microphone Array Placement Design[J]. Applied Soft Computing, 2013, 13(3):1486-1490. doi: 10.1016/j.asoc.2012.02.027 CrossRef Google Scholar
[16]	LI Z B, YIU K F C. Beamformer Configuration Design in Reverberant Environments[J]. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2016, 47:81-87. doi: 10.1016/j.engappai.2015.04.015 CrossRef Google Scholar
[17]	NONGPIUR R C. Design of Minimax Broadband Beamformers that are Robust to Microphone Gain, Phase and Position Errors[J]. ACM Transactions on Audio, Speech and Language Processing, 2014, 22(6):1013-1022. Google Scholar
[18]	NONGPIUR R C, SHPAK D J. L-Infinity Norm Design of Linear-Phase Robust Broadband Beamformers Using Constrained Optimization[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2013, 61(23):6034-6046. doi: 10.1109/TSP.2013.2283463 CrossRef Google Scholar

Access History

通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

1.
沈阳化工大学材料科学与工程学院沈阳 110142

Figures(6)

Export Citation

PDF

XML

Article Metrics

Article views(1835) PDF downloads(406) Cited by(0)

Access History

Other Articles By Authors

on this site
- Mei XIAO
- Zhi-guo FENG
on Google Scholar
- Mei XIAO
- Zhi-guo FENG

HTML

语音信号是非常常见的一种信号，它是交流和通信的重要工具，因此，语音信号处理^[1]在日常生活中的应用非常广泛，而麦克风阵列^[2]在语音信号处理中有着重要的作用，比如在助听器、手机设备、语音识别、视频会议等实际应用中普遍使用.它的应用主要分为两方面：语音信号增强^[3-4]和声源定位^[5].

由于声源与麦克风阵列的距离不确定，因此分为近场与远场2种环境，近场环境主要研究的是麦克风阵列所处的位置、声源的位置与语音信号频率之间的信息；而远场环境主要研究的是语音信号的传入角度与语音信号频率之间的信息.由于主要考虑的要素不同，因此，麦克风阵列中的传递函数也是不同的，近场环境的传递函数在许多已有的文献中可以找到，但是远场环境的传递函数需要根据具体情形来确定.本文主要基于远场环境进行研究.

麦克风阵列波束形成设计^[6-9]是语音信号处理中的一个重要途径，它通过指定通带区域和阻带区域来实现区分信号与噪声的功能.关于波束形成最优设计，目前有若干快速并有效的方法，如文献[10-13]通过把问题转化为半无限规划问题，从而实现快速求解.为了提高波束形成的设计性能，通过优化麦克风的位置也是一种手段，如文献[14-18]通过建立麦克风摆放设计问题来优化波束形成的设计.但是当滤波器长度非常大时，这些方法都会导致比较严重的吉布斯现象，当一些参数发生变化时，通带区域或阻带区域会转移到过渡带区域，导致性能变得非常差，所以它的鲁棒性设计非常差.因此，我们需要考虑它的光滑过渡带设计，使得它能保持好的鲁棒性要求.对此，本文提出了一种新的消除吉布斯现象的方法.

2. 性能分析

光滑过渡带设计问题(8)的约束比问题(6)的约束多，当给定一个滤波器长度L时，问题(8)的最优解必定是问题(6)的可行解.因此光滑过渡带设计问题的最优解不会优于问题(6)的最优解，但是在某些情况下，问题(8)的最优解可以达到问题(6)的最优解.

当滤波器长度为L时，记z_L^*和z_L^*′分别是问题(6)和问题(8)的最优性能值，取$\inf\limits _{L} z_{\mathrm{I}}^{*}$和$\inf\limits _{L} z_{\mathrm{L}}^{*}$分别是这2个问题的性能极限值.令w^*mL是滤波器长度为L时问题(8)的最优解，对于问题(8)，记

令w^*oL是滤波器长度为L时问题(6)的最优解，对于问题(6)，记

我们需要比较问题(6)和(8)在研究区域Ω中最优性能值的极限，即需要比较$\inf\limits _{L} z_{L}^{*}$和$\inf\limits _{L} z_{L}^{* \prime}$.由问题(6)的最优性和等式(9)可知

若满足一些约束条件，(14)和(15)的不等式将变成等式.首先，我们给出以下引理和定理.

引理1  若$z^{* t}(L) \leqslant z^{* s}(L)$，则$z^{*}(L)=z^{* \prime}(L)$.

证  因为问题(8)的最优解w^*mL比w^*oL好，即

则由(14)和(16)式有z^*(L)=z^*′(L).

定理1  在求解出滤波器系数w的条件下，假设R^*oL是一致有界的，即∃M＞0，对任意的L和任意的f∈Ω_t，有R^*oL≤M.若∃ρ₀＞0，且权重函数在过渡带区域满足ρ(f，θ)≤ρ₀，则

证  对任意滤波器长度L，目标函数在过渡带区域可表示为

设ρ₀=(z_L^*/D)^1/2，则

则由引理1，有

上式对L取下确界，可得(17)式.

一般地，当滤波器长度L固定时，z^*s′(L)和z^*s(L)的下确界达不到，但肯定存在一个子序列{L^(k)：k=1，2，…}，使得z^*(L^(k))和z^*s′(L^(k))的极限分别为z^*s(L)和z^*s′(L)的下确界.为了方便起见，不妨假设{L：L=1，2，…}自身是收敛的子序列，则有

定理2   假设(18)式的条件成立，则对∀ε＞0，存在一个滤波器的长度为L^′，当滤波器长度为L^′，并且滤波器系数为w^L'时，使得

其中，z^s(L)和z^t(L)是(12)式和(13)式中w^*oL被w^L代替后的取值.

证  对∀ε＞0，存在滤波器的长度L₀，使得当∀L₁$ \ge $L₀时，有

为了证(19)式，分两种情况：

第一种情况：假设z^*s′(L₁)≤z^*(L₁)，取L'=L₁，设w^L'=w^*mL'，则

则(19)式成立.

第二种情况：z^*s′(L₁)＞z^*(L₁)，记问题(6)和(8)的最优解分别为w^*oL₁和w^*mL₁，相应的频率响应函数分别记为R^*o(f)和R^*m(f)，则定义一个新的频率响应函数为

其中，g是一个连接I_t\I'和I_Ω的过渡函数，I'∈I_t，并且包括了I_Ω端点附近的部分.令f^a，f^b是I_Ω的端点，并且I_t=(f^a，f^b).又z^*s′(L₁)＞z^*(L₁)，则

由于函数H关于f是连续的，那么存在η＞0，使得(f^a，f^a+η)∈I_t，有

其中，I'=(f^a，f^a+η)，为了保证R(f)的连续性，则函数g应为线性函数，故g定义为

对函数g(R^*o(f)，R^*m(f))，当f∈I'时，记

则新的频率响应函数R(f)满足

由于R(f)是连续的，因此可通过反傅里叶变换计算相应的系数w'.记相应的频率响应函数为R^L'(f)，由于目标函数关于频率响应函数是连续的，则可取滤波器的长度L'充分大，使得R^L'(f)非常接近R(f)且满足

结合(20)式和(23)式，则(19)式可证.

故通过定理2可知，当L增大时，问题(8)的实际响应均满足研究区域和过渡带区域.

4. 结论

本文研究波束形成问题的光滑过渡带设计问题，得出以下结论：

1) 滤波器长度增大时，远场麦克风阵列波束形成问题在过渡带区域出现振荡现象.

2) 对区域进行分解，采用了插值函数，引进了目标响应函数在过渡带区域的平滑定义，从而建立了一个改进的波束形成设计问题，消除了过渡带区域的振荡现象.

3) 当滤波器长度逐渐增大时，波束形成设计与光滑过渡带设计的最优性能值的变化很逼近.

Figure (6) Reference (18)

Name
	Name cannot be empty!
E-mail
	Mailbox cannot be empty! Mailbox cannot be empty!
Telephone
	Mobile number cannot be empty! Please enter a valid mobile number!
Title

Content
Verification Code

Message Board

Smooth Transition Region Design and Analysis of the Far-Field Beamformer Problem

Abstract

References

Access History

通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

Article Metrics

Access History

Other Articles By Authors