Endpoint Estimates of the Commutator of Fractional Hardy Operator in the Lipschitz Space

设f是定义在$\mathbb{R}_{+}$上的非负可积函数，经典的Hardy算子定义如下：

文献[1]在证明Hilbert双重级数定理的过程中得到了如下著名的Hardy积分不等式：

此后Hardy算子逐渐被人们广泛关注^[2-5].文献[6]定义了如下n维Hardy算子的形式，并得到了与1维结果平行的n维积分不等式：

定义1  设1＜p＜∞，f∈L_loc($\mathbb{R}$ⁿ). n维Hardy算子被定义为

随着Hardy算子研究的逐渐深入，Hardy算子与Lipschitz(简记为Lip_α)或BMO等函数生成的交换子也被人们广泛研究，Hardy算子对刻画函数空间的性质有着非常重要的意义. Hardy算子的交换子定义为

其中b是定义在$\mathbb{R}$ⁿ上的局部可积函数.本文把[b，$\mathscr{H} $]简记为$\mathscr{H} $_b，可知当n=1时，$\mathscr{H} $_b=H_b.文献[7]证明了H_b在L^p($\mathbb{R}$ⁿ)(简记为L^p)空间上的有界性，其中b属于单边二进中心BMO函数，1＜p＜∞.文献[8]首次定义了如下经典的分数次Hardy算子，并得到分数次Hardy算子及其交换子刻画L^p空间的相应结果.最近关于分数次Hardy算子及其交换子的相关结论可参考文献[9-15].

定义2  设0＜β＜n，f∈L_loc($\mathbb{R}$ⁿ).分数次Hardy算子以及分数次极大算子的交换子的定义分别为：

文献[16]得到了分数次积分算子从Morrey空间到Lip_α空间上的端点估计.受此启发，本文将考虑分数次Hardy算子的交换子从Morrey空间到Lip_α空间上的端点估计，同时针对分数次极大算子的交换子在端点处的情形进行研究.虽然分数次极大算子的交换子与分数次Hardy算子的交换子有控制关系，但是两者的处理方法不同.本文的主要目的是给出分数次Hardy算子的交换子以及分数次极大算子的交换子的端点估计.

定义3  设0＜α＜1.如果f是定义在$\mathbb{R}$ⁿ上的函数，且f满足

则称f属于Lipschitz空间.

定义4  设1＜q≤p＜∞.如果函数f∈L_loc^q($\mathbb{R}$ⁿ)满足

则称f属于Morrey空间M_q^p，其中B表示$\mathbb{R}$ⁿ中的一个开球.

本文中的C通常表示与空间维数等有关的常数，每次出现时其值可能并不相同. B表示以x为中心，$\mathbb{R}$＞0为半径的球体.对于$\mathbb{R}$ⁿ中的可测子集E，用|E|表示E的Lebesgue测度.

定理1  设$0<\alpha<1, 0<\beta<\frac{n}{p}$和1＜q≤p＜∞，如果$0<\alpha+\beta-\frac{n}{p}<\min \left\{1, n-\frac{n}{p}\right\}$，f(x)∈M_q^p，b∈Lip_α，$\mathscr{H} $_β，b(f)(0)=0，则$\mathscr{H} $_β，b(f)∈$\operatorname{Lip}_{\alpha+\beta-\frac{n}{p}}$，且存在常数C＞0，使得

定理2  设0＜α＜1，0＜β＜n和1＜q≤p＜∞，如果$\alpha+\beta=\frac{n}{p}$，和b∈Lip_α，则$\mathscr{M} $_β，b(f)∈L^∞，且存在常数C＞0，使得

定理3  设$0 <\alpha<1,0<\beta<\frac{n}{p}$和1＜q≤p＜∞，如果$0<\alpha+\beta-\frac{n}{p}<\min \left\{1, n-\frac{n}{p}\right\}$，$f \in M_q^p$，和b∈Lip_α，则$\mathscr{M} $_β，b(f)∈$\operatorname{Lip}_{\alpha+\beta-\frac{n}{p}}$，且存在常数C＞0，使得

定理1的证明  对任意固定的点x₁，x₂∈$\mathbb{R}$ⁿ，不妨假设|x₁|≥|x₂|.下面分两种情况讨论：

情况1   |x₁|≥2|x₂|.

根据|x₁|≥2|x₂|，可得|x₁|≤2(|x₁|-|x₂|)，则有

情况2   |x₁|＜2|x₂|.

首先令Ω=B(0，a)\B(0，b)，且假设B_i(i=1，2，…)是一列互不相交的极大球体族，其中每个球的半径为$\frac{a-b}{2}$，中心属于集合$\left\{t_{0} :\left|t_{0}\right|=\frac{a+b}{2}\right\}$，则∪_iB_i⊂Ω.

易知Ω⊂∪_i3B_i成立.否则，令$\tilde{t}$∈Ω和$\tilde{t}$⊈∪_i3B_i，点t₀在直线${\iota _{O, {\mathcal{\tilde z}}}}$上满足$\left|t_{0}\right|=\frac{a+b}{2}$，则

其中t_i是B_i的中心，因此

此时，球$B_{0}=B\left(t_{0}, \frac{a-b}{2}\right)$被包含在极大球体族∪_iB_i中，与极大球体族的定义矛盾.

可得

下面处理I₁.令

从

可得a-b≥|x₁|-|x₂|以及

根据

有

下面处理I₂.首先根据微分中值定理，在直线${\iota_{|{x_2}{\rm{|}}, |{x_1}{\rm{|}}}}$上存在一点θ，使得

再由|x₂|＞|x₁|-|x₂|可得

综合情况1与情况2，可得

现在考虑x₁∈$\mathbb{R}$ⁿ\{0}，x₂=0时的情况，根据$\mathscr{H} $_β，b(f)(0)=0，可得

因此，我们完成了定理1的全部证明.

定理2的证明  对任意的点x∈B，根据Hölder不等式以及$\alpha+\beta=\frac{n}{p}$，有

根据(1)式易知定理2成立.

定理3的证明  对任意固定的点x，y∈$\mathbb{R}$ⁿ，不妨假设$\mathscr{M} $_β，b(f)(x)≥$\mathscr{M} $_β，b(f)(y).通过计算可得$\mathscr{M} $_β，b(f)(x)≤C‖f‖_Mq^p，而f∈M_q^p，则有$\mathscr{M} $_β，b(f)(x)≤∞.因此，对任意的ε＞0，存在方体B₁=B(z，r)∋x，使得

存在方体B₂=B(z，r+|x-y|)∋y，使得

根据(2)，(3)式可得

下面我们将分两种情况讨论：

情况1   r≤|x-y|.

情况2   r≥|x-y|.

令Ω=B(z，r+|x-y|)\B(z，r)，且假设R_i(i=1，2，…)是一列互不相交的极大球体族.类似定理1中的情况2，容易得∪_i$\mathbb{R}$_i⊂Ω⊂∪_i3$\mathbb{R}$_i.因此

对于I₁，根据$\beta \leqslant \frac{n}{p}$，有

对于I₂，进一步处理为

类似于定理1中情况2的证明，根据

有

对于J₂，可处理为

易知

则

由情况1与情况2，可得

至此，我们完成了定理3的全部证明.