The α-Length of Planar Convex Bodies and Isoperimetric Inequalities

由Lutwak引入并在众多数学家的推动下，Brunn-Minkowski理论核心在近20年内发展成L_p Brunn-Minkowski理论(参见文献[1-13]).该理论中的根本性和基础性概念之一是凸体的L_p表面积测度(参见文献[14]).设p∈$ {\mathbb{R}}$，K是$ {\mathbb{R}}^2$中含原点于内部的凸体，则凸体K的L_p表面积测度S_P(K，·)是单位球面S^n-1上的Borel测度.对任意Borel子集ω⊆S^n-1，

其中g_K是定义在∂K上的广义Gauss映射.围绕L_p表面积的Minkowski问题(即L_p Minkowski问题)是L_p Brunn-Minkowski理论的基石(参见文献[15-17]). L_p表面积测度的总值S_p(K，S^n-1)称为K的L_p表面积. L₁表面积是熟知的表面积，而L₀表面积是体积，精确地讲，S₀(K)=nV(K). Brunn-Minkowski理论的核心之一是Brunn-Minkowski不等式(参见文献[18-23]).

设K和L是n维欧氏空间中的凸体，则

等式成立当且仅当K和L位似.就凸体的L_p表面积，张高勇提出了如下猜想：

设K，L是$ {\mathbb{R}}^n$中含原点于内部的凸体，0＜p＜1，则

当n=2时，改记L_α(K)=S_1-α(K)，称为凸体K的α-周长.张高勇猜想的平面情形改写为如下不等式：

其中0＜α＜1.本文就此问题做初步的讨论，将证明如下结果：

定理1  若K，L分别是质心在原点的正n边形域和圆盘，则不等式(3)成立.

证  对平面上含原点于内部的凸体K，由α-周长的定义可知：对任意t＞0，有

由此正齐次性，不等式(3)的等价形式是

其中t₁，t₂＞0.基于此事实，不妨假设K是单位圆盘B的外接正n边形域.并证明：

其中ε＞0.

由于L_α为旋转不变量，不妨设K的一个顶点在x轴上，于是K的边上的单位外法向量角度为

进而可知

这里S(K，·)简写为S_K表示表面积，δ_θi表示集中于θ_i的概率点测度.从而可以得到凸体K的α-周长为

可直接计算圆盘

接下来，计算K_ε=K+εB的α-周长L_α(K_ε).当$ {\rm{ - }}\frac{\pi }{n} \le \theta \le \frac{\pi }{n}$时，由支撑函数的定义

支撑函数h_Kε(θ)会出现两种情况：当θ=θ_i时，h_Kε(θ)=1+ε；当θ∈$ \left( { - \frac{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}{n}, \frac{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}{n}} \right), k \in {\mathbb{Z}} $时，h_Kε(θ)=$ \frac{{{\rm{cos}}\theta }}{{{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{n}} \right)}} + \varepsilon $.则

其中$ {\mathscr{H}}^1$是单位圆周上的弧长测度.由于K在关于绕原点转角$ \frac{{2k\pi }}{n}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$的旋转变换上是不变的，故

已知$ \frac{{{\rm{cos}}\theta }}{{{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{n}} \right)}}$≥1，结合积分中值定理得到

由(5)-(8)式，并对结果等价处理，得

为了完成证明，需证明

令$ u = \frac{{\tan \left( {\frac{\pi }{n}} \right)}}{{\frac{\pi }{n}}}$，取(10)式不等号左侧部分得到

对(11)式求导，得

因为$ u = \frac{{\tan \left( {\frac{\pi }{n}} \right)}}{{\frac{\pi }{n}}}$≥1，uε≥ε，所以

令

对(13)式求导，得

由(12)，(14)式可以得到复合函数f(g(x))单调递减.

求极限

证毕.

本文给出了0＜p＜1时平面情形下特殊凸体的证明，该结果对L_p表面积测度的Brunn-Minkowski不等式及相关不等式的研究具有重要参考意义.