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以前很多文献用李雅普诺夫函数法导出神经网络的稳定性[1-9]，然而每一种方法有其局限性，不动点方法是李雅普诺夫函数法的替代方法之一[10-16].本文作者考虑用压缩映射原理结合线性矩阵不等式方法给出一类T-S模糊概率时滞脉冲双向联想记忆神经网络的稳定性的代数判据(LMI).特别地，LMI判据适合于计算机Matlab LMI工具箱编程运算，符合实际工程中大型计算的要求.由于方法和条件的不同，本文更新了相关文献[14-16]的结果.
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本文考虑下述由IF-THEN规则所描述的T-S模糊双向联想记忆神经网络系统模型：
模糊规则j 令t∈[0，+∞)，t≠tk，k=1，2，…，若ω1(t)=μj1，…，ωm(t)=μjm，则
其中
{μjk}是模糊集(j=1，2，…，J；k=1，2，…，m)，ωk(t)是前件变量，m为前件变量的个数，J是IF-THEN规则的个数.激活函数
脉冲函数
时滞0≤τ(t)，h(t)≤τ，∀i=1，2，…，n.我们简记时滞神经元之间相互联络的权系数矩阵Cj，Dj是n维方阵.脉冲时刻tk(k=1，2，…)满足0＜t1＜t2＜…，
$ \mathop {\lim}\limits_{k \to \infty} {t_k}=\infty $ . x(tk+)和x(tk-)分别表示x(t)在tk时刻的右极限和左极限.假设x(tk-)=x(tk)(∀k=1，2，…).令t≥0，t≠tk，k=1，2，…，由单点模糊化、乘积推理和平均加权反模糊化得到模糊系统的整个状态方程为其中
Υj(ω(t))为相应于规则j的隶属度函数，且
$ \sum\limits_{j=1}^J {{\rho _j}\left( {\omega \left( t \right)} \right)} =1$ ，ρj(ω(t))≥0.由于实际系统中的时滞达到较大值的概率很小，于是我们需要考虑概率时滞
设实数c0≤1，定义随机变量
令t≥0，t≠tk，k=1，2，…，考虑概率时滞模糊系统
本文假设：f(0)=g(0)=ρ(0)=0∈
$ \mathbb{R}^n$ ；对角矩阵A=diag(a1，a2，…，an)，B=diag(b1，b2，…，bn)正定；对角矩阵F，G，H分别是向量函数f，g，ρ的利普希茨常数矩阵.
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定理1 假设存在常数0＜λ＜1，使得
则脉冲时滞系统(2)是指数稳定的，其中δ=
$ \mathop {{\rm{inf}}}\limits_{k = 1, 2, \cdots} \left( {{t_{k + 1}} - {t_k}} \right) > 0$ .证 首先定义空间Ω=Ω1×Ω2.
设Ωi(i=1，2)是这样的函数空间，其函数qi(t)：[-τ，∞)→
$ \mathbb{R}^n$ 满足以下4条：(a) qi(t)连续于t∈[0，+∞)\{tk}k=1∞；
(b) q1(t)=ξ(t)，q2(t)=η(t)(∀t∈[-τ，0])；
(c)
$ \mathop {\lim}\limits_{t \to t_k^ -} {q_i}\left( t \right) = {q_i}\left( {{t_k}} \right)$ ，且$ \mathop {\lim}\limits_{t \to t_k^ +} {q_i}\left( t \right)$ 存在(∀k=1，2，…)；(d) 当t→∞时eγtqi(t)→0，其中γ＞0是常数，满足γ＜min{λminA，λminB}.
则易证Ω是下述度量下的完备空间：
其中
这里qi∈Ωi，
$ {\tilde q_i}$ ∈Ωi，i=1，2.现定义压缩映射P：Ω→Ω，这需3步来实现.
第一步，关于系统(3)，我们可以构造如下映射：
我们不难证明P是Ω上的压缩映射.
第二步，不难证明
$ P\left( \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right) \end{array} \right) \in \mathit{\Omega }, \forall \left( \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right) \end{array} \right) \in \mathit{\Omega }$ .换而言之，$ P\left( \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right) \end{array} \right)$ 满足条件(a)-(d).第三步，证明(5)式定义的P是压缩映射.
对任给
$ \left( \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right) \end{array} \right), \left( \begin{array}{l} \bar x\left( t \right)\\ \bar y\left( t \right) \end{array} \right) \in \mathit{\Omega }$ ，我们有因此
所以P：Ω→Ω是压缩映射，从而存在P在Ω上的不动点
$ \left( \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right) \end{array} \right)$ .即$ \left( \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right) \end{array} \right)$ 是模糊时滞脉冲系统(2)的解，满足$ {{\rm{e}}^{\gamma t}}\left\| {\left( \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right) \end{array} \right)} \right\|$ →0(t→+∞).证毕.
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例1 考虑下列模糊BAM神经网络：
模糊规则1
令t≥0，t≠tk，k=1，2，…，若ω1(t)=
$ \frac{1}{{{{\rm{e}}^{{\rm{ - 5}}{\omega _{\rm{1}}}\left( t \right)}}}}$ ，则模糊规则2
令t≥0，t≠tk，k=1，2，…，若ω2(t)=1-
$ \frac{1}{{{{\rm{e}}^{{\rm{ - 5}}{\omega _{\rm{1}}}\left( t \right)}}}}$ ，则其中τ(t)=h(t)=τ=0.8，t1=0.3，tk=tk-1+0.3k，δ=0.5，x(s)=tanh s，y(s)=2sin s，f(x)=0.1sin x，g(x)=0.09sin x，ρ(x)=0.1x，A=(2)，B=(1.95)，C1=(0.02)，C2=(0.03)，D1=(0.15)，D2=(0.18)，F=(0.1)，G=(0.09)，H=(0.1).
利用计算机Matlab LMI工具箱解(4)式，得到可行性数据
则由定理1知，模糊系统(6)-(7)是指数稳定的.
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本文用不动点方法研究了模糊脉冲概率时滞BAM神经网络系统的稳定性，其优点是利用压缩映像原理给出系统解的存在性的同时，也给了该解的全局指数型稳定结论，这点由本文函数空间的构造可以看出.
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