A High-Order Linear Difference Method for the Viscous Cahn-Hilliard Equation

考虑时间区间[0，T]，取正整数M，N. x_i=ih，t_n=nτ，Ω_h={x_i|0≤i≤M}，Ω_τ={t_n|0≤n≤N}，Ω_h^τ=Ω_h×Ω_τ，其中$h = \frac{L}{M}, \;\tau = \frac{T}{N}$分别为空间和时间步长.设v={v_iⁿ|0≤i≤M，0≤n≤N}是定义在Ω_h^τ上的网格函数.引入下面记号：

设V_h={v=(v₀，v₁，…，v_m)，v₀=v_m=0}.对任意v∈V_h，定义如下四阶差分算子

和平均值算子

对任意Y，η∈V_h，引入如下内积

下面利用降阶法对问题(1)-(3)建立紧差分格式.令v=-αu_t+βu_xx-φ(u)，可得

在(x_i，t_n)处考虑方程(4)和(5)，利用数值微分公式和泰勒公式，可得

假设问题(1)-(3)有光滑解u(x，t)∈C_x，t^8，3([0，L]×(0，T])，则存在正常数c₁，使得

下面考虑第一层值的计算.在方程(1)中，令t→0⁺，并记

有

(11)，(12)式为关于ψ(x)的二阶常微分方程边值问题，在x_i处考虑方程(11)，应用数值微分公式得

其中：

在(13)式中略去小量项r_i，并用数值解ψ_i代替精确解g_i，可得如下差分格式

差分格式(15)，(16)为关于ψ=(ψ₀，ψ₁，…，ψ_M)的三对角线性方程组，可用追赶法求解.由常微分方程数值解理论^[24]知，存在正常数c₂，使得

应用带积分型余项的泰勒公式可得

其中

由(17)式知，存在正常数c₃，使得

由初边值条件(6)，(7)可得

在(8)，(9)，(18)，(20)，(21)式中略去小量项，并用数值解{u_iⁿ，v_iⁿ}代替精确解{U_iⁿ，V_iⁿ}，可得如下差分格式：

用算子A作用(22)式，并将(23)式代入，可得如下紧差分格式：

综上，可得求解问题(1)-(3)的数值算法如下：先利用(15)，(16)式求得ψ，然后将ψ代入(27)式中第一式求得第一层数值解u¹；当u^n-1，uⁿ为已知时，(26)和(28)式为关于第n+1层数值解uⁿ⁺¹的线性方程组，可通过解线性方程组求解uⁿ⁺¹.

本节利用能量分析方法讨论差分格式的唯一可解性和收敛性.方便起见，引入下面引理.

引理1^[24]  对任意u，v∈V_h，有(δ_xu，v)=-(u，δ_xv)，|v|₁²≤ $\frac{4}{{{h^2}}}$‖v‖²，‖v‖_∞≤ $\frac{{\sqrt L }}{2}$ |v|₁成立.

引理2^[14]  对任意u，v∈V_h，有(Au，v)=(u，Av)，(Av，v)≥ $\frac{2}{3}$ ‖v‖²，$\frac{5}{{12}}$ ‖v‖²≤‖Av‖²≤‖v‖²成立.

应用引理1，根据内积和范数的定义易证下面等式成立.

引理3  对任意vⁿ∈V_h，等式

成立.

定理1  差分格式(26)-(28)存在唯一解.

证  由(27)，(28)式知u⁰，u¹已唯一确定.现假设第n-1，n层的解u^n-1，uⁿ已唯一确定.由(26)，(28)式可得关于uⁿ⁺¹的线性方程组，欲证其唯一可解性，需证明它对应的齐次方程组

仅有零解.

用uⁿ⁺¹与方程组(29)中的第一式作内积，并应用引理1和引理2，可得

从而有

故uⁿ⁺¹是唯一确定的.由归纳法原理知，差分格式是唯一可解的.定理证毕.

下面证明差分格式的收敛性.记

用(8)，(9)式减去(22)，(23)式，(18)式减去(24)中第一式，(20)式减去(24)中第二式，(21)式减去(25)式，可得如下误差方程：

下面利用数学归纳法证明差分格式是收敛的.即有如下定理成立.

定理2  差分格式(26)-(28)的解按L_∞范数收敛于问题(1)-(3)的精确解，收敛阶为时间方向二阶、空间方向四阶.即存在不依赖于h，τ的正常数c，使得下面估计式成立

证由(32)，(33)及(19)式知

因而(34)式对n=0，1成立.

假设(34)式对n=0，1，…，m(m≥1)均成立.由归纳假设，当τ²+h⁴≤ $\frac{1}{c}$时，有

其中

并记

再由微分中值定理，可得

用Aeⁿ与(30)式作内积，δ_x²eⁿ与(31)式作内积，可得

根据引理1-3，由(38)，(39)式，可得

将(37)式代入(40)式，可得

记

将(41)式乘以2τ，并记

可得当τ≤ $\frac{1}{{6{c_6}}}$时，有

由离散的Gronwall不等式，可得

其中

根据引理1，由(42)式，结合Eⁿ的定义，可得

从而有

即当n=m+1时，估计式(34)成立.由数学归纳法，定理结论成立.证毕.

在问题(1)-(3)中，取L=1，时间T=1，初值u₀(x)=sinπx.参数α=0.5，β=0.5.利用差分格式(26)-(28)计算问题(1)-(3)的数值解.

记空间和时间步长为(h，τ)，数值解u_iⁿ(h，τ).注意到该问题无精确解，为验证数值收敛阶，定义最大模误差：

对于固定的充分小的空间步长h，定义时间收敛阶：

对于充分小的时间步长τ，定义空间收敛阶：

具体计算结果见表 1和表 2.从计算数据可以看出，差分格式的数值收敛阶为时间方向二阶和空间方向四阶收敛.

对于粘性Cahn-Hilliard方程，其中含有时间空间混合偏导数，在建立线性化差分格式时，第一时间层的数值求解成为难点.先利用方程建立求解u_t(x，t₀)的二阶数值格式，再对第一时间层采用显式格式离散，将u_t(x，t₀)的数值解代入求解u¹的显式格式，即可保证第一层数值解的时间二阶、空间四阶收敛性.对于其余时间层，利用降阶法建立了三层线性化隐式紧差分格式.利用能量分析法证明了差分格式在L_∞范数下时间方向二阶、空间方向四阶收敛.最后通过数值算例验证了差分格式的有效性.这里，建立差分格式的方法可推广到高维粘性Cahn-Hilliard方程，但差分格式的收敛性分析将会是一个挑战，文献[14]和[25]讨论了二维高阶非线性发展方程的紧差分格式的收敛性，后续的工作将致力于二维粘性Cahn-Hilliard方程数值方法的研究.