The Research on Fuzzy Contraction Sequence Matroids

设E={x₁，x₂，…，x_N}是非空有限集合，E上的模糊集μ是一个映射μ：$E \to \left[ {0, 1} \right] $. E上模糊集的全体记为F(E).关于模糊数学的有关概念和符号主要参照文献[1]，关于拟阵的理论主要参照文献[6].本文所讨论的模糊拟阵首先被文献[1]所定义，部分学者称这种模糊拟阵为G-V模糊拟阵^[4].本文主要研究G-V模糊拟阵.关于这种模糊拟阵更多的知识，参见文献[1-5, 7-16].

定理1 ^[1]   设M =(E，l)是模糊拟阵. $ \forall r \in \left( {0, 1} \right]$，令$ I_{r}=\left\{C_{r}(\mu) | \forall \mu \in l\right\}$.则M_r=(E，I_r)是E上的拟阵，而且有有限实数列r₀＜r₁＜…＜r_n，使得：

(ⅰ) r₀=0，r_n≤1；

(ⅱ)当0＜r≤r_n时，I_r≠ $\mathit{\emptyset} $；当r＞r_n时，I_r=$\mathit{\emptyset} $；

(ⅲ) $\forall s, t \in \left( {{r_i}, {r_{i + 1}}} \right) $，有$ {I_s} = {I_t}(i = 0, 1, \cdots , n - 1)$；

(ⅳ)若r_i＜s＜r_i+1＜t＜r_i+2，则$ I_{s} \supset I_{t}(i=0, 1, \cdots, n-2)$.

我们称序列$0=r_{0} <r_{1} <\cdots <r_{n} \leqslant 1 $为M的基本序列.

对1≤i≤n，设$\bar{r}_{i}=\frac{r_{i-1}+r_{i}}{2} $，称拟阵序列

为M的导出拟阵序列.若$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_{{{\bar r}_i}}} = {\mathit{\boldsymbol{M}}_{{r_i}}}(i = 1, 2, \cdots , n)$，则称M是闭模糊拟阵^[1].如果$ \forall i, j(i < j;i = 1, 2, \cdots , n - 1;j = 2, 3, \cdots , n)$，对$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_{{{\bar r}_i}}}$的基B₁都有相应的$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_{{{\bar r}_j}}}$的基B₂，使得B₁ $ \supseteq $ B₂，则称M为正规模糊拟阵^[2].

定理1可以看作是模糊拟阵的普通拟阵分解定理，通过定理1可以将模糊拟阵分解为一个普通拟阵序列和一个数列.反过来，通过普通拟阵和一个数列也可以合成模糊拟阵.

定理2 ^[7]  设$ \boldsymbol{M}_{i}=\left(E, I_{i}\right)(i=1, 2, \cdots, m)$是E上的拟阵序列，使得I₁$ \supseteq $I₂ $ \supseteq $ …$ \supseteq $I_m，取

令

其中：$ \forall r \in \left( {0, 1} \right]$，当$ r \in \left( {{\delta _{i - 1}}, {\delta _i}} \right]$时，$r \in\left(\delta_{i-1}, \delta_{i}\right] \text { 时 }, I_{r}=I_{i}(i=1, 2, \cdots, m) $；当$ \delta_{m} <1, r \in\left(\delta_{m}, 1\right]$时，${I_r} = \mathit{\emptyset} $.则：

(ⅰ) M =(E，ψ)是闭模糊拟阵；

(ⅱ)保留I₁ $ \supseteq $ I₂$ \supseteq $…$ \supseteq $I_m中每个等式段的最后一项，去掉其余部分，则

组成M的导出拟阵序列.由下标对应，$ 0=\delta_{0} <\delta_{i_{1}} <\delta_{i_{2}} <\cdots <\delta_{i_{k}} \leqslant 1$为其基本序列.

由定理2，容易得出以下推论：

推论1   设$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_i} = \left( {E, {I_i}} \right), {\mathit{\boldsymbol{M}}_i}^\prime = \left( {E, I_i^\prime } \right)(i = 1, 2, \cdots , m)$是E上的两个拟阵序列，分别使得

同时还有I_i $ \supseteq $ I_i^′.取

根据定理2，分别得到两个闭模糊拟阵M =(E，ψ)(针对I₁$ \supseteq $I₂$ \supseteq $…$ \supseteq $I_m)和M ^′=(E，ψ^′)(针对I₁^′ $ \supseteq $I₂^′ $ \supseteq $… $ \supseteq $I_m^′)，则M $ \supseteq $ M ^′.

取E的子集A₁，A₂，…，A_s，使得A₁A₂…A_s，我们称A ={A₁，A₂，…，A_s}为E的子集套.如果A₁A₂…A_s，则称A为严格子集套.

定理3   设M =(E，I)是E上的拟阵序列，取E的子集套

任取

令

即I_i是I在A_i上的约束^[6].对$ \forall r \in \left( {0, 1} \right]$，若

取$ {I_r} = {I_{{\delta _i}}}$.如果$ {\delta _n} <r \le 1$，取${I_r} = \mathit{\emptyset} $，令

则M =(E，ψ)是一个闭模糊拟阵.

定理3的证明可以通过文献[6]的定理4.3.1(a)和本文定理2得出.得到的M =(E，ψ)称为由拟阵M针对子集套A和数列$0=\delta_{0} <\delta_{1} <\delta_{2} <\cdots <\delta_{m} \leqslant 1 $产生的模糊约束列拟阵，简称模糊约束列拟阵，记为$\boldsymbol{M}=\left.\boldsymbol{M}\right|_{A}, \psi=\left.I\right|_{A} $.

下面，我们来讨论模糊收缩列拟阵.文献[6]的定理4.2.1定义了收缩拟阵的概念.

命题1 ^[6]  设M =(E，I)是E上的拟阵，A $ \subseteq $ E，令

则M ·A=(A，I·A)是拟阵.我们称其为M到A的收缩拟阵.

命题2 ^[6]   设M =(E，I)是E上的拟阵，任取A，B $ \subseteq $ E且A$ \subseteq $B，则M的收缩拟阵有如下关系：

由此得出$ \boldsymbol{M} \cdot A \subseteq \boldsymbol{M} \cdot B$.

定理4 (模糊收缩列拟阵构造定理)   设M =(E，I)是E上的拟阵，取E的子集套

任取

设$ I_{i}=I \cdot A_{i}(i=1, 2, \cdots, m)$ (即I_i是I在A_i上的收缩^[6]).对$\forall r \in \left( {0, 1} \right] $，若

取${I_r} = {I_{{\delta _i}}} $.如果$ {\delta _n} < r \le 1$，取${I_r} = \mathit{\emptyset} $.令

则M =(E，ψ)是闭模糊拟阵.

我们称M =(E，ψ)为由拟阵M针对子集套A和数列$ 0=\delta_{0} <\delta_{1} <\delta_{2} <\cdots <\delta_{m} \leqslant 1$产生的模糊收缩列拟阵，简称模糊收缩列拟阵，记为M = M ·A.拟阵M和子集套A分别称为生成M = M ·A的生成拟阵和生成子集套.

证   令$ \boldsymbol{M}_{i}=\left(E, I_{i}\right)(i=1, 2, \cdots, m)$.根据命题2知

因此，由

以及ψ的构造，再利用定理2知M =(E，ψ)是闭模糊拟阵.

而且易证：M =(E，ψ)的导出拟阵列是M₁ $ \supseteq $ M₂$ \supseteq $… $ \supseteq $M_m的子序列，基本序列是$0 = {\delta _0} < {\delta _1} < {\delta _2} < \cdots < {\delta _m} \le 1 $的对应的子序列.

下面的定理5说明：任何模糊收缩列拟阵的生成子集套都可以取严格子集套.

定理5   设M =(E，ψ)是闭模糊拟阵，则M是模糊收缩列拟阵的充要条件是：存在严格子集套B₁ $ \supset $ B₂$ \supset $…$ \supset $B_k，使得拟阵列N₁$ \supset $ N₂$ \supset $…$ \supset $ N_k就是M的导出拟阵序列.其中N_i=(E，H_i)，H_i=H₁·B_i(i=1，2，…，k)(即N_i= N₁·B_i).

证   充分性  取生成子集套为B={B₁，B₂，…，B_k}，取生成拟阵为M = N₁，取数列就是M的基本列.则从定理4可知，充分性是显然的.

必要性  延用定理4的符号. M是模糊收缩列拟阵，则M =(E，I)是E上的拟阵，E的子集套

以及数列

有$ I_{i}=I \cdot A_{i}(i=1, 2, \cdots, m)$，使得

其中$\forall r \in \left( {0, 1} \right] $，若$ {\delta _{i - 1}} < r \le {\delta _i}(i = 1, 2, \cdots , m - 1)$，取${I_r} = {I_{{\delta _i}}} $；如果$ {\delta _n} < r \le 1$，取${I_r} = \mathit{\emptyset} $.

由定理2，M的导出拟阵列为M₁=(E，I₁) $ \supset $ M₂=(E，I₂)$ \supset $…$ \supset $ M_m=(E，I_m)的子序列

其基本序列通过下标对应得到

注意到

则$ A_{i_{j}} \supset A_{i_{j+1}}$.

令

当j=2，3，…，k时，由命题2知

当j=1时，有

本段主要讨论模糊收缩列拟阵的一些特点，以及与其它特殊模糊拟阵的关系.由文献[6]，可以得到一个拟阵的基与其收缩拟阵的基的关系.

命题3   设M =(E，I)是E上的拟阵，取$ T \subseteq E$.则对M的任何基B，都有M ·T的基B^′，使得B^′ $ \subseteq $ B.

通过文献[6]的定理4.2.2，可得出命题3的证明.

由命题3可以得到模糊收缩列拟阵的一个性质：

定理6   模糊收缩列拟阵都是闭正规模糊拟阵.

由定理5、命题2和命题3以及正规模糊拟阵的定义即可证明定理6.

但是，可以找到例子说明：有闭正规模糊拟阵不是模糊收缩列拟阵.

同样的条件下，模糊收缩列拟阵的模糊独立集是模糊约束列拟阵的独立集的一部分.即有如下定理：

定理7   设M =(E，I)是E上的拟阵，取E上的子集套

任取

根据定理3，分别得到模糊约束列拟阵M₁= M |_A和模糊收缩列拟阵M₂= M ·A.则M₂ $ \subseteq $ M₁.

证  对$\forall i(=1, 2, \cdots, m) $，分别设

由

$I \cdot A_{i}=\left\{X \subseteq A_{i} | X \in I\right. $存在E-A_i在M中的极大独立子集Y∈I，使得X∪Y∈I}得出，$ {\left. {I \cdot {A_i} \subseteq I} \right|_{{A_i}}}$.即$\mathit{\boldsymbol{M}}_i^\prime \subseteq {\mathit{\boldsymbol{M}}_i} $.

据定理3，模糊约束列拟阵$ \boldsymbol{M}_{1}=\left.\boldsymbol{M}\right|_{A}=(E, \psi)$，其构造由拟阵列

和数列

以及

所确定，其中：当$ r \in(0, 1], r \in\left(\delta_{i-1}, \delta_{i}\right]$时，${I_r} = {\left. I \right|_{{A_i}}}(i = 1, 2, \cdots , m) $；当${\delta _m} < 1, r \in \left( {{\delta _m}, 1} \right] $时，${I_r} = \mathit{\emptyset} $.

据定理4，有模糊收缩列拟阵M₂= M·A=(E，ψ^′)，其构造由拟阵列

和数列

以及

所确定，其中：当$\forall r \in \left( {0, 1} \right] $，$ r \in \left( {{\delta _{i - 1}}, {\delta _i}} \right]$时，$I_{r}^{\prime}=I \cdot A_{i}(i=1, 2, \cdots, m) $；当$ \delta_{m} <1, r \in\left(\delta_{m}, 1\right]$时，${I_r}^\prime = \mathit{\emptyset} $.

现在有M_i^′ $ \subseteq $ M_i，由推论1即知M₁ $ \supseteq $ M₂.

文献[6]的定理3.1.1定义了拟阵的对偶拟阵.

定义1   设M =(E，l)是模糊拟阵，基本序列是

导出拟阵序列为

其中

如果有

其中$\mathit{\boldsymbol{M}}_{{{\bar r}_2}}^* $表示${\mathit{\boldsymbol{M}}_{{{\bar r}_2}}} $的对偶拟阵，则由定理2，针对此拟阵列和数列$ 0=r_{0} <r_{1} <\cdots <r_{n} \leqslant 1$，可以得到闭模糊拟阵$ \boldsymbol{M}^{d}=\left(E, l^{d}\right)$，我们称闭模糊拟阵$ \boldsymbol{M}^{d}=\left(E, l^{d}\right)$为模糊拟阵M =(E，l)的模糊上对偶拟阵.其中

当$r \in(0, 1], r \in\left(r_{i-1}, r_{i}\right] $时，${{\bar I}_r} = I_r^*(i = 1, 2, \cdots , m) $；当$ {r_n} < 1, r \in \left( {{r_n}, 1} \right]{\rm{ }}$时，${{\bar I}_r} = \mathit{\emptyset} $.

在后续的内容中会看到，准模糊图拟阵的模糊上对偶拟阵总存在.

下面定理8说明：模糊上对偶拟阵的模糊上对偶拟阵存在，而且等于原闭模糊拟阵.这个性质与普通拟阵及其对偶的关系一样.

定理8   如果闭模糊拟阵M =(E，l)的模糊上对偶拟阵$ {{\mathit{\boldsymbol{M}}^d}}$存在，则有${\left( {{\mathit{\boldsymbol{M}}^d}} \right)^d} = \mathit{\boldsymbol{M}} $.

由文献[6]的定理3.1.1、本文的定理2和定义1可得到定理8的证明.

下面讨论模糊上对偶拟阵、模糊约束列拟阵和模糊收缩列拟阵之间的关系.

定理9  设M =(E，I)是E上的拟阵，M ^*=(E，I^*)为其对偶拟阵.取E的子集套

取

则：(ⅰ) M在A上的模糊约束列拟阵M = M |_A的模糊上对偶拟阵M^d必定存在，而且$\left(\left.\boldsymbol{M}\right|_{A}\right)^{d}=\boldsymbol{M}^{*} \cdot A $；

(ⅱ) M在A上的模糊收缩列拟阵M = M · A的模糊上对偶拟阵必定存在，而且$\left(\left.\boldsymbol{M}\right|_{A}\right)^{d}=\boldsymbol{M}^{*} \cdot A $.

证

(ⅰ)根据定理3，模糊约束列拟阵M = M |_A的导出拟阵列是${\mathit{\boldsymbol{M}}_1} = \left( {E, {{\left. I \right|}_{{A_1}}}} \right) \supseteq {\mathit{\boldsymbol{M}}_2} = \left( {E, {{\left. I \right|}_{{A_2}}}} \right) \supseteq \cdots \supseteq {\mathit{\boldsymbol{M}}_m} = \left( {E, {{\left. I \right|}_{{A_m}}}} \right) $的子序列

基本序列也是$0=\delta_{0} <\delta_{1} <\delta_{2} <\cdots <\delta_{m} \leqslant 1 $的对应的子序列

将每个导出拟阵取对偶，并应用文献[6]的定理4.2.3，有

由$ A_{i_{j}} \supseteq A_{i_{j+1}}(j=1, 2, \cdots, q-1)$及命题2知

因此

根据定义1，M的模糊上对偶拟阵M^d存在，并且由拟阵列

和数列

来确定.

我们断言拟阵列$\boldsymbol{M}_{i_{1}}^{*}=\left(E, I^{*} \cdot A_{i_{1}}\right) \supseteq \boldsymbol{M}_{i_{2}}^{*}=\left(E, I^{*} \cdot A_{i_{2}}\right) \supseteq \cdots \supseteq \boldsymbol{M}_{i_{q}}^{*}=\left(E, I^{*} \cdot A_{i_{q}}\right) $中的拟阵包含了拟阵列$\boldsymbol{M}_{1}^{*}=\left(E, I^{*} \cdot A_{1}\right) \supseteq \boldsymbol{M}_{2}^{*}=\left(E, I^{*} \cdot A_{2}\right) \supseteq \cdots \sqsupseteq \boldsymbol{M}_{m}^{*}=\left(E, I^{*} \cdot A_{m}\right) $中的全部不同拟阵.因此，由定理2，它们所产生的闭模糊拟阵是相同的.即$\boldsymbol{M}^{d}=\left(\left.\boldsymbol{M}\right|_{A}\right)^{d}=\boldsymbol{M}^{*} \cdot A $.

否则，假设有$ \boldsymbol{M}_{i}^{*}=\left(E, I^{*} \cdot A_{i}\right)$不在$\left\{\boldsymbol{M}_{i_{1}}^{*}, \boldsymbol{M}_{i_{2}}^{*}, \cdots, \boldsymbol{M}_{i_{q}}^{*}\right\} $中，相应地取对偶，则$ \boldsymbol{M}_{i}=\left(E, \left.I\right|_{A_{i}}\right)$不在$\left\{ {\mathit{\boldsymbol{M}}_{{i_1}}, \mathit{\boldsymbol{M}}_{{i_2}}, \cdots , \mathit{\boldsymbol{M}}_{{i_q}}} \right\} $中.这与定理2“导出拟阵序列必须包含{ M₁，M₂，…，M_m}中全部不同的拟阵”矛盾.

因此，再根据定义1，M^d也是拟阵M针对子集套A和数列$ 0=\delta_{0} <\delta_{1} <\delta_{2} <\cdots6 \delta_{m} \leqslant 1$产生的模糊对偶收缩列拟阵，即M^d= M ^*· A.

(ⅱ)完全类似于(ⅰ)的方法即可证明.

由定理9，结合定理8，得到如下推论：

推论2    $\left(\left.\boldsymbol{M}\right|_{A}\right)^{d}=\boldsymbol{M}^{*} \cdot A ;(\boldsymbol{M} \cdot A)^{d}=\left.\left.\boldsymbol{M}^{*}\right|_{A} \cdot \boldsymbol{M}\right|_{A}=\left(\boldsymbol{M}^{*} \cdot A\right)^{d} ; \boldsymbol{M} \cdot A=\left(\left.\boldsymbol{M}^{*}\right|_{A}\right)^{d} $.

比较推论2与文献[6]的定理4. 2. 3，会发现：模糊拟阵的模糊上对偶拟阵类似于拟阵的对偶拟阵；模糊收缩列拟阵类似于收缩拟阵；模糊约束列拟阵类似于约束拟阵；模糊收缩列拟阵与模糊约束列拟阵通过模糊上对偶拟阵存在转换关系.

定理10   设M =(E，l)是闭模糊拟阵，则M是准模糊图拟阵的充要条件是M的模糊上对偶拟阵M^d存在，并且M^d为模糊收缩列拟阵.

定理10的证明可从文献[3]的定理18、本文的定理9、定理8、推论2、定义1和准模糊图拟阵的定义得出.

定理10也说明：准模糊图拟阵的模糊上对偶拟阵必定存在.

本文首先从普通拟阵、子拟阵、对偶拟阵和子集套出发，利用拟阵与对偶拟阵的关系，结合模糊拟阵的导出拟阵合成，得到一系列新的模糊拟阵：模糊约束列拟阵、模糊收缩列拟阵和模糊上对偶拟阵.然后，本文提出并证明了模糊拟阵是模糊收缩列拟阵的一个充要条件，也证明了所有模糊收缩列拟阵都是闭正规模糊拟阵.最后还证实了在模糊拟阵中，模糊上对偶拟阵、模糊约束列拟阵和模糊收缩列拟阵之间有类似于拟阵中，对偶拟阵、约束拟阵和收缩拟阵之间的关系.