On Uniqueness of Meromorphic Functions Concerning Small Functions in an Angular Domain

本文假设读者熟悉Nevanlinna值分布理论中的基本记号和结果，其细节可以参看文献[1-3].复平面上亚纯函数的唯一性理论一直是很多学者关注的热点课题，其中最著名的是Nevanlinna五值定理和四值定理，其证明主要利用了Nevanlinna值分布理论，此外也可以用Nevanlinna去研究微分方程解的性质^[4].为了叙述Nevanlinna五值定理和四值定理，先回顾分担值的定义.设f和g是上两个非常数的亚纯函数，a∈.如果f-a和g-a在D内有相同的零点(不计重数)，则称f和g在区域D⊆上IM分担值a；如果f-a和g-a在D内不仅有相同的零点，而且零点的重数也相同，则称f和g在区域D上CM分担值a.类似地，如果f-a和g-a在D内有相同的极点(或者不仅有相同的极点，而且极点的重数也相同)，则称f和g在区域D上IM(或CM)分担值∞.

文献[5]使用值分布理论分别证明了下面著名的五值定理和四值定理：

定理1^[5]  设f和g是上两个非常数的亚纯函数，a_i∈∪{∞}是5个判别值，i=1，2，3，4，5.如果f和g在上IM分担值a_i，i=1，2，3，4，5，则f=g.

定理2^[5]  设f和g是上两个非常数的亚纯函数，a_i∈∪{∞}是4个判别值，i=1，2，3，4.如果f和g在上CM分担值a_i，i=1，2，3，4，则f是g的分式线性变换.

很多学者研究了亚纯函数的唯一性，并且获得了一系列的研究成果^{[3, 6]}. 21世纪初，文献[7-8]最先讨论了角域上亚纯函数的唯一性，其文献中提出了一个问题：如果两个亚纯函数在角域上满足类似于复平面上的条件，那么两个亚纯函数是否有类似于复平面上的结果呢？即角域五值定理和四值定理是否成立？很多研究者关注了这个问题，并得到了很多相关角域的唯一性结果^[9-14].

定理1是关于两个函数分担5个值的唯一性结果，一个自然的想法就是分担值能否被分担小函数所取代.为此先回顾小函数的定义：设a(z)和f是上的亚纯函数，E是线性测度有穷的r-值集合，如果T(r，a)=o(T(r，f))(r→∞，r∉E)，则亚纯函数a(z)称为亚纯函数f的小函数.

文献[15]研究了复平面上涉及分担小函数的五值定理，将Nevanlinna五值定理推广到小函数的情形，证明了下面的结果：

定理3^[15]  设f和g是上两个非常数的亚纯函数，a_i(z)是f和g的5个判别小函数，i=1，2，3，4，5.如果f和g在上IM分担a_i(z)，i=1，2，3，4，5，则f=g.

文献[16]利用Tsuji角域特征函数τ_α，β(r，f)，得到了下面形式的角域五值定理，其中角域Ω(α，β)=z：α＜arg z＜β，0≤α＜β≤2π：

定理4^[16]  设f和g是Ω(α，β)上两个非常数的亚纯函数，且满足

如果f和g在Ω(α，β)上IM分担5个判别值a_i，i=1，2，3，4，5，则f=g.

如果Ω(α，β)上的亚纯函数f满足(1)式，则称f在Ω(α，β)上是Tsuji意义下的超越亚纯函数.如果不加以说明，本文讨论的角域上的超越亚纯函数都指满足(1)式的亚纯函数.文献[16]也考虑了CM分担4个判别值的情况，在角域上得到了类似定理2的结果.类似于复平面上的情形，分担小函数也是值得考虑的问题.文献[16]得到下面分担4个小函数的唯一性结果：

定理5^[16]  设f和g是Ω(α，β)上两个非常数的亚纯函数，且f满足(1)式.设a_i(z)是f和g在Tsuji特征意义下的4个判别小函数，i=1，2，3，4.如果f和g在Ω(α，β)上CM分担a_i(z)，i=1，2，3，4，则f是g的分式线性变换.

设a(z)和f(z)是Ω(α，β)上的两个亚纯函数，如果τ_α，β(r，a)=o(τ_α，β(r，f))(r→∞，r∉E)，其中E是线性测度有穷的r-值集合，则称a(z)是f在Tsuji特征意义下的小函数.如果不加以说明，本文讨论的角域上的小函数都指Tsuji特征意义下的小函数.

定理5仅考虑了CM分担小函数的情形，是因为Tsuji特征第二基本定理中Tsuji特征函数由f-a的全部零点(考虑重数)的计数函数来控制(参看文献[16]的定理2.3.2).最近文献[17]考虑了IM分担5个小函数的情形，得到了涉及小函数的角域五值定理：

定理6^[17]  设f和g是Ω(α，β)上两个非常数的亚纯函数，且f满足(1)式.设a_i(z)是f和g的5个判别小函数，i=1，2，3，4，5.如果f和g在Ω(α，β)上IM分担a_i(z)，i=1，2，3，4，5，则f=g.

从定理6看到，如果两个亚纯函数在角域上IM分担5个判别小函数，则这两个函数相等.而定理5告诉我们，就算两个亚纯函数在角域上CM分担4个判别小函数，这两个函数也未必相同.那么除了在角域上IM分担5个判别小函数外，在何种条件下能得到两个函数相同呢？这是本文的研究目的，我们发现了一些判别条件使得两个函数相同.在叙述主要结果之前，先回顾Tsuji亏函数的概念，该定义参见文献[16].

定义1^[16]  f是Ω(α，β)上的超越亚纯函数，a(z)是Ω(α，β)上f的小函数.令

如果δ_τ(a，f；α，β)＞0，则称a(z)是f的亏函数.

$m_{\alpha, \beta}\left(r, \frac{1}{f(z)-a(z)}\right)$和$\hbar_{\alpha, \beta}\left(r, \frac{1}{f(z)-a(z)}\right)$是刻画Tsuji特征函数的两个重要指标.本文利用亏函数研究了两函数在角域上CM分担4个小函数的唯一性，得到了下面的结果：

定理7  设f和g是Ω(α，β)上两个非常数的亚纯函数，且f满足(1)式.设a_i(z)是f和g的4个判别小函数，i=1，2，3，4，且f和g在Ω(α，β)上CM分担a_i(z)，i=1，2，3，4.如果f还有一个不同于a_i(z)的亏函数a(z)，则f=g.

相比较定理5的条件，定理7增加了“f还有一个不同于a_i(z)的亏函数”这一条件，得到了比定理5更好的结果.利用定理7，得到下面的两个推论：

推论1  设f和g是Ω(α，β)上两个非常数的亚纯函数.设a_i(z)是f和g的4个判别小函数，i=1，2，3，4，且f和g在Ω(α，β)上CM分担a_i(z)，i=1，2，3，4.如果对某个a∈∪{∞}和任意给定的ε＞0，f满足

其中

n(t，Ω_ε；a，f)表示f在Ω_ε∩{z：1＜|z|＜t}的a-值点个数(计算重数)，$\omega=\frac{\pi}{\beta-\alpha}$.则f=g.

推论2  设f和g是Ω(α，β)上两个非常数的亚纯函数.设a_i(z)是f和g的4个判别小函数，i=1，2，3，4，且f和g在Ω(α，β)上CM分担a_i(z)，i=1，2，3，4.设arg z=θ∈(α，β)是从原点出发的一条半直线，使得对某个a∈∪{∞}和任意给定的ε＞0，f满足

则f=g.

注1  由Borel方向的定义及其存在性^[2]知，满足(3)式的角域必存在.

为了证明本文的结果，Tsuji角域特征的性质是需要的.设f为角域Ω(α，β)内的亚纯函数.令

其中$\omega=\frac{\pi}{\beta-\alpha}$，b_n=|b_n|e^iβ_n是f在E(α，β，r)内的极点，重级极点按其重数计算，n_α，β(r，f)表示f在E(α，β，r)内的极点个数(计算重数).如果不考虑极点的重数，类似地可定义$\bar{\hbar}_{\alpha, \beta}(r, f)$.称τ_α，β(r，f)为f在E(α，β，r)内的Tsuji特征函数.

引理1^[16]  设f为Ω(α，β)内的亚纯函数.则对每一个a∈，有

引理2^[16]  设f为Ω(α，β)内的亚纯函数，k为正整数.则对0＜r＜R，有

其中c为一正常数.当r→∞时，有

可能需除去一个线性测度有限的r-值集合E.

引理3^{[16]定理2.3.2}  设f为Ω(α，β)内的亚纯函数，a_i(z)是f的q个判别小函数，j=1，…，q.则

其中Q_α，β(r，f)=O(log r)+o(τ_α，β(r，f))，r→∞，r∉E，E为线性测度有限的r-值集合.

引理4^{[16，引理2.3.3]}  设f为Ω(α，β)内的亚纯函数.则对任意给定的ε＞0，有

其中c∈(0，1)是一个仅依赖ε的常数，

n(t，Ω_ε，f)表示f在Ω_ε∩z：1＜z＜t的极点个数(计算重数)，$\omega=\frac{\pi}{\beta-\alpha}$.

定理7的证明  假设f≠g.利用引理1和引理3，有

其中Q_α，β(r，f)=O(log r)+o(τ_α，β(r，f))，r→∞，r∉E，E为线性测度有限的r-值集合.因此

类似地，有

结合(5)式和(6)式得

根据假设，不妨设a(z)≠∞.利用引理3，并结合(4)，(5)，(6)式，得

因此

所以

根据Tsuji亏函数的定义，a(z)不是f的亏函数，与假设条件矛盾.故f=g.

推论1、2的证明  利用引理4和(2)，(3)式，(1)式成立.故利用定理1得f=g.