The Vanishing Theorems of L^p Harmonic 1-Forms on Submanifolds in Spheres

黎曼流形上r次调和形式空间的性质与流形的拓扑性质之间有着密切的联系，如著名的Hodge-de Rham定理指出：紧致m维黎曼流形M^m上r(0≤r≤m)次调和形式空间的维数与其第r个贝蒂数相等；在非紧情形下，L²调和r-形式空间与r次可约化上同调群同构，且其非抛物端的个数不超过L²调和1-形式空间的维数加1^[1-2].因此，对黎曼流形上调和形式的讨论具有重要意义.

文献[3]证明了：欧氏空间$\mathbb{R}$^m+1中可定向完备的非紧稳定极小超曲面上不存在非平凡的L²调和1-形式.随后，文献[4-5]在外围空间满足一定曲率假设的条件下，将文献[3]的工作完全推广到任意流形中具有常数平均曲率的子流形上.文献[6]去掉了稳定性的假设，对欧氏空间$\mathbb{R}$^m+n中的完备极小子流形M^m考虑类似的问题，并在M^m更弱的几何假设下，即M^m的第二基本型A满足$\int_{M}|A|^{m} \mathrm{d} M < C_{1}$ (C₁是常数)的条件下，得到了文献[3]中同样的结论，并进一步证明了M^m仅有一个端.文献[7]考虑了Hadamard流形中的完备非紧子流形的情形，对M^m的Laplace算子的第一特征值作一定的限制，在全曲率有限或有界的条件下，分别证明了该类子流形上非平凡的L²调和1-形式空间的维数有限或为0.对于球空间$\mathscr{S}$^m+n中的子流形M^m，文献[8-9]同样对M^m的全曲率作一定的限制后，得到了关于L²调和1-形式的消灭定理以及有限性定理.

相比而言，L²调和形式的消灭定理及其应用较为常见，而对L^p调和形式^[10](p≥2)、L^p调和1-形式的讨论更为困难，进展更为缓慢.文献[11]对黎曼流形中的完备非紧稳定极小超曲面的Laplace算子的第一特征值作以限制，得出了L^2p调和1-形式的消灭定理.文献[12]推广了文献[7]关于L²调和1-形式的结论，得到了Hadamard流形中完备非紧子流形上L^p调和1-形式的消灭定理及有限性定理.

记A¹(M)表示流形M^m上1次外微分形式空间，则M^m上的L^p调和1-形式空间为

受上述工作的启发，本文考虑球空间中完备非紧子流形上的非平凡L^p调和1-形式的不存在性问题，得到如下两个消灭定理：

定理1  设M^m(m≥3)是球空间$\mathscr{S}$^m+n中完备非紧子流形.如果存在一个正常数Λ，使得M^m的全曲率满足‖Φ‖_L^m(M)＜Λ，则H¹(L^p(M))={0}(p≥2)，即M^m上不存在非平凡的L^p调和1-形式.特别地，可取

其中C₀为引理1中的正常数.

定理2  设M^m(m≥3)是球空间$\mathscr{S}$^m+n中完备非紧子流形.如果无迹张量Φ满足

则H¹(L^p(M))={0}(p≥2)，即M上不存在非平凡的L^p调和1-形式.

设M^m(m≥3)是球空间$\mathscr{S}$^m+n中的完备非紧子流形，A，H分别表示M^m的第二基本形式和平均曲率向量，无迹张量Φ定义为Φ(X，Y)=A(X，Y)-〈X，Y〉H，其中X，Y为M^m上的切向量场，〈·，·〉是M^m上的诱导度量.直接计算得|Φ|²=|A|²-m|H|².易见，Φ=0当且仅当子流形M^m是全脐的^[13].

引理1^[8]  设M^m(m≥3)是球空间$\mathscr{S}$^m+n中的完备非紧子流形，则对任意f∈C₀^∞(M)，有

其中C₀＞0是仅依赖于m的常数.

引理2^[14]  设M^m是完备单连通黎曼流形N^m+n中的子流形，若N^m+n的截面曲率K_N≥k(常数).则对任意ω∈A¹(M^m)，有

其中ω^#是ω的对偶向量场，Ric是子流形M^m的Ricci曲率张量.

引理3^[15]  设M^m是m维黎曼流形.则对任意ω∈A¹(M)，有

其中ω^#是ω的对偶向量场.

对黎曼流形上的调和1-形式ω，成立Kato不等式^[16]

因此，对任意ω∈H¹(L^p(M))(p≥2)，结合引理2和引理3，直接计算可得

此外，对任意的p≥2，直接计算有

联立(1)，(2)式，便有

定理1的证明  任取η∈C₀^∞(M)，对(3)式两边同时乘以η²，并在M^m上积分(以下为方便起见，积分都省去体积元)，则有

一方面，对(4)式左边项运用散度定理及Cauchy-Schwarz不等式，即对任意常数c＞0，有

同理，对(4)式右边第4项运用Cauchy-Schwarz不等式，对任意的a＞0，有

另一方面，运用Hölder不等式，结合引理1和Cauchy-Schwarz不等式，对任意b＞0，记

有

将(5)，(6)式代入(4)式，并结合(7)式，可以得到

记

则C，D，E，F分别为

记B_x0(r)为M^m上以固定点x₀∈M^m为球心，r为半径的测地球.取M^m上的光滑函数η，使得

则(8)式中各项在M^m上的积分可看作是在B_x0(r)，B_x0(2r)\B_x0(r)，M\B_x0(2r)这3部分区域上的积分和，由η的取值易得

显然，F＞0.令r→∞，因为ω∈H¹(L^p(M))，所以(9)式右边趋于0.当C＞0，D＞0，E＞0时，便有|ω|=0，即ω=0，M上不存在非平凡的L^p调和1-形式.下证存在Λ＞0，使得当S(η)＜Λ时有C＞0，D＞0，E＞0，并给出Λ＞0取值的具体估计.由于E＞D，故只需适当选取Λ使得C＞0，且D＞0即可.

取足够小的b，c，由C的表达式，当S(η)＜Λ时，C＞0当且仅当

令

则函数f₁：(0，∞)$\mathbb{R}$是增函数，且当a→∞时，有

因此，选取Λ，使得Λ² $<\frac{(4(p-1)(m-1)+4) m}{C_{0} p^{2}(m-1)^{2}}$时有C＞0.

同理，由D的表达式，当S(η)＜Λ时，D＞0当且仅当

令

则函数f₂：(0，∞)$\mathbb{R}$是凸函数，且在$a=\sqrt{\frac{m}{m-1}}$处取得最大值

由此可见，选取Λ使得Λ²$<\frac{1}{C_{0} m(m-1)}$时，便有D＞0.

因此，当S(η)＜Λ时，要使得C＞0，且D＞0，对任意的a＞0，只需Λ²=min{f₁(a)，f₂(a)}.由上述讨论，f₁(a)在(0，∞)上是增函数，f₂(a)在(0，∞)上是凸函数，且

故取$a=\sqrt{\frac{m}{m-1}}$.则当2≤p≤4m+$\sqrt{16 m^{2}-\frac{8 m(m-2)}{m-1}}$时，f₂(a)≤f₁(a)，取

即

当p＞4m+$\sqrt{16 m^{2}-\frac{8 m(m-2)}{m-1}}$时，f₂(a)＞f₁(a)，取

即

定理1证毕.

定理2的证明  对ω∈H¹(L^p(M))(p≥2)，将(5)，(6)式代入(4)式，有

整理(10)式便有

其中C，D，E，F分别为

显然F＞0，取足够小的c＞0，0＜a＜$\frac{2 \sqrt{m(m-1)}}{(m-2)}$，则有C＞0，且E＞0.此时D＞0当且仅当

设$f_{3}(a)=\frac{(p-1)(m-1)}{B(m, a)}$，则f₃(a)在(0，$\frac{2 \sqrt{m(m-1)}}{m-2}$)上是增函数，且supf₃(a)=$\frac{4(m-1)}{m}$，由a的任意性，令$a \rightarrow \frac{2 \sqrt{m(m-1)}}{m-2}$，则当

即

时，就有D＞0.

同理，记B_x0(r)为M上以固定点x₀∈M为球心r为半径的测地球，由η∈C₀^∞(M)的任意性可得

令r→∞，由于ω∈H¹(L^p(M))，(12)式右边项趋于0.当$\mathop {\sup }\limits_{x \in M} |\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}| < 2\frac{{\sqrt {m(m - 1)} }}{m}$ 时已证得C＞0，E＞0，D＞0，所以|ω|=0，即ω=0，M^m上不存在非平凡的L^p调和1-形式.定理2证毕.