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在现实生活中，由于事物变化的随机性和复杂性，以及人类知识的不完全、不可靠、不精确和不一致性，人类对客观事物的认识都会有不确定性.为解决这些不确定性问题，文献[1]首先开创了Fuzzy集理论，但这一理论存在一定缺陷，它限制隶属函数值为唯一的单值，为解决这一缺陷，文献[2]提出了Vague集理论，它是Fuzzy集理论的推广，通过引入一对真、假隶属度函数，可以同时显示出决策者进行一项决策时所掌握的支持度、反对度和未知度等相关信息.但是Fuzzy集和Vague集理论存在共同的缺陷：它们都只能处理一部分模糊信息.文献[3]通过引入软集理论弥补了这一缺陷，该理论引入了参数化思想，克服了Vague集只能处理部分不确定性信息的不足.文献[4]将Vague集和软集相结合，首次提出了Vague软集的概念，Vague软集目前已经成为一种新的研究方向.关于Vague软集的代数结构的相关研究也有很多[5-8]，这些代数结构不但为代数研究提供新思路，同时为Vague软集的深入研究提供了理论基础，为解决工程学、医疗科学、经济学等复杂的不确定问题的研究提供了有力的数学工具.半群代数理论是在群论、环论之后发展起来的代数理论分支，它的研究方法与研究内容与群论、环论有很大差别[9]，这一理论在组合数学、数据挖掘及算子理论等方面都有很好的应用，得到国内外众多学者的关注[10-11].逆半群作为半群理论的重要组成部分，研究内容比较丰富，Clifford半群就是一种特殊的逆半群，它是一种完全正则半群[9]，由于其特殊性，它有一些重要的性质，如：Clifford半群是由群构成的半格，其幂等元与半群中的任意元素可交换等. Clifford半群是逆半群的重要类别，关于它的相关研究有很多[12-16]，因此十分重要.
本文试图将Vague软集和Clifford半群联系在一起，提出新概念Vague软Clifford半群，这样做不仅可以把二者的研究方法及理论应用到对方的研究中去，还能为二者的研究提供新思路，并为以后的深入研究奠定基础.
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定义 1[2] 设U是点(对象)空间，其中任意元素用x表示，U上的Vague集用真隶属度函数tA(x)和假隶属度函数fA(x)表示，tA(x)是从支持x的证据导出的x的肯定隶属度下界，fA(x)是从反对x的证据所导出的x的否定隶属度下界，tA(x)：U→[0, 1]，fA(x)：U→[0, 1]，其中tA(x)+fA(x)≤1.称[tA(x)，1-fA(x)]为x在A中的Vague值，记为A(x)，论域U上Vague集的全体用V(U)表示.
定义 2[3] 设U是论域，P(U)是U的幂集，E是参数集，A⊆E，且F：A→P(U)是一个映射，称F(A)为U上的软集.
定义 3[4] 设U是论域，E是参数集，A⊆E，且F：A→V(U)是一个映射，即∀e∈A，F(e)是U上的一个Vague集，称F(A)为U上的一个Vague软集.
定义 4[9] 设S为非空集合且具有二元运算(·)，若二元运算满足结合律，即∀a，b，c∈S，(ab)c=a(bc)，那么称S为半群.若半群S还具有一元运算“-1”，且满足：
1) (a-1)-1=a；
2) aa-1a=a；
3) aa-1=a-1a；
4) (aa-1)(bb-1)=(bb-1)(aa-1).
称S为Clifford半群.
定义 5[9] 令S是半群，如果关于∀a∈S，存在a-1∈S，使得a=aa-1a，(a-1)-1=a，aa-1=a-1a，则称半群S是完全正则半群.
定义 6[9] 完全单半群是满足以下条件的完全正则半群S：
定义 7 在偏序集(L，≤)中，如果任意两元x，y都有上确界x∨y和下确界x∧y，则称偏序集(L，≤)(或简称L)为一个格.格实质上就是带有两种二元运算(∧，∨)且满足幂等律、交换律、结合律及吸收律(L1-L4)的一个代数系统：对∀x，y，z∈L，有：
幂等律：x∧x=x，x∨x=x.
交换律：x∧y=y∧x，x∨y=y∨x.
结合律：x∧(y∧z)=(x∧y)∧z，x∨(y∨z)=(x∨y)∨z.
吸收律：x∧(x∨y)=x=x∨(x∧y).
定义 8 称带有一个二元运算且满足幂等律、交换律及结合律的代数系统为一个半格.
定义 9[7] 令F(A)和G(B)分别是论域U和V上的两个Vague软集，令f：U→V和g：A→B是两个函数，那么(f，g)被称为从U到V的Vague软函数，也就是说，(f，g)是从U上的Vague软集F(A)到V上的Vague软集G(B)的Vague软函数.
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首先给出Vague软Clifford半群及Vague软Clifford子半群的定义.
定义 10 令S是Clifford半群，且
$\widetilde F$ (A)是S上的Vague软集，如果对于∀a∈A，∀x，y∈S，以下条件成立：那么
$\widetilde F$ (A)是S上的Vague软Clifford半群.注 1 min{
$\widetilde F$ a(x)，$\widetilde F$ a(y)}是取$\widetilde F$ a(x)和$\widetilde F$ a(y)中区间较小者，如果区间相同，则取左端点值较小者，例如：若$\widetilde F$ a(x)=[0，0.2]，$\widetilde F$ a(y)=[0.1，0.5]，则min{$\widetilde F$ a(x)，$\widetilde F$ a(y)}=$\widetilde F$ a(x)；若$\widetilde F$ a(x)=[0，0.2]，$\widetilde F$ a(y)=[0.1，0.3]，则min{$\widetilde F$ a(x)，$\widetilde F$ a(y)}=$\widetilde F$ a(x).注 2
${\widetilde F_a}$ (x-1)≥${\widetilde F_a}$ (x)也可以写成${\widetilde F_a}$ (x-1)=${\widetilde F_a}$ (x)，理由如下：因为
从而得到
${\widetilde F_a}$ (x-1)=${\widetilde F_a}$ (x).接下来给出的例子有助于更好地理解定义10.
例 1 令集合S={m，n，k}，(S，·，-1)为Clifford半群，
$\widetilde F$ (A)是S上的Vague软集，其中A={a，b}，那么$\widetilde F$ (a)，$\widetilde F$ (b)是S上的Vague集，定义为不难验证
$\widetilde F$ (A)是S上的Vague软Clifford半群.定义 11 令
$\widetilde F$ (A)和$\widetilde F$ (B)是Clifford半群S上的两个Vague软Clifford半群，如果以下条件成立：1) A⊆B；
2) ∀x∈A，
$\widetilde F$ (x)是$\widetilde G$ (x)的Vague子Clifford半群.则称
$\widetilde F$ (A)是$\widetilde G$ (B)的Vague软Clifford子半群，记作$\widetilde F$ (A)≤$\widetilde G$ (B).Vague软Clifford半群的等价性定义如下：
定义 12 令
$\widetilde F$ (A)和$\widetilde G$ (B)是Clifford半群S上的两个Vague软Clifford半群，如果满足：$\widetilde F$ (A)是$\widetilde G$ (B)的Vague软Clifford子半群，并且$\widetilde G$ (B)是$\widetilde F$ (A)的Vague软Clifford子半群，则称$\widetilde F$ (A)和$\widetilde G$ (B)是等价的Vague软Clifford半群，记作$\widetilde F$ (A)≅$\widetilde G$ (B).定理 1 令
$\widetilde F$ (A)和$\widetilde G$ (B)是Clifford半群S上的两个Vague软Clifford半群，那么，$\widetilde F$ (A)和$\widetilde G$ (B)的交集$\widetilde F$ (A)$\widetilde \cap $ $\widetilde G$ (B)也是S上的Vague软Clifford半群.证 令
$\widetilde F$ (A)$\widetilde \cap $ $\widetilde G$ (B)=$\widetilde H$ (C)，则C=A∩B.对∀x∈S，可定义且1-
${f_{\widetilde H\left( c \right)}}$ (x)定义为情况1 若c∈A-B，对于∀x，y∈S，有：
1)
${t_{\tilde H(c)}}(x \cdot y) = {t_{\tilde F(c)}}(x \cdot y) \ge \min \left\{ {{t_{\tilde F(c)}}(x), {t_{\tilde F(c)}}(y)} \right\} = \min \left\{ {{t_{\tilde H(c)}}(x), {t_{\tilde H(c)}}(y)} \right\}$ ；2)
${t_{\widetilde H(c)}}\left( {{x^{ - 1}}} \right) = {t_{\widetilde F(c)}}\left( {{x^{ - 1}}} \right) \ge {t_{\widetilde F(c)}}(x) = {t_{\widetilde H(c)}}(x)$ ；3) 因为
${t_{\widetilde F(c)}}$ (x0)=[1, 1]，则${t_{\widetilde H(c)}}$ (x0)=[1, 1]；4)
$1 - {f_{\tilde H(c)}}(x \cdot y) = 1 - {f_{\widetilde F(c)}}(x \cdot y) \ge \min \left\{ {1 - {f_{\tilde F(c)}}(x), 1 - {f_{\tilde F(c)}}(y)} \right\} = \min \left\{ {1 - {f_{\widetilde H(c)}}(x), 1 - } \right.\left. {{f_{\widetilde H(c)}}(y)} \right\}$ ；5)
$1 - {f_{\tilde H(c)}}\left( {{x^{ - 1}}} \right) = 1 - {f_{\tilde F(c)}}\left( {{x^{ - 1}}} \right) \ge 1 - {f_{\tilde F(c)}}(x) = 1 - {f_{\tilde H(c)}}(x)$ ；6) 因为1-
${f_{\widetilde F(c)}}$ (x0)=[1, 1]，则1-${f_{\widetilde H(c)}}$ (x0)=[1, 1].情况 2 若c∈B-A，对于∀x，y∈S显然成立，类似情况1可证.
情况 3 若c∈A∩B，对于∀x，y∈S，有：
1)
${t_{\tilde H(c)}}(x \cdot y) = \left( {{t_{\tilde F(c)}}(x \cdot y)} \right) \wedge \left( {{t_{\tilde G(c)}}(x \cdot y)} \right) \ge \left( {\min \left\{ {{t_{{{\tilde F}_{(c)}}}}(x), {t_{\tilde F(c)}}(y)} \right\}} \right) \wedge \left( {\min \left\{ {{t_{\tilde G(c)}}(x)} \right.} \right., \left. {\left. {{t_{\tilde G(c)}}(y)} \right\}} \right) = \min \left\{ {\left( {{t_{\tilde F (c)}}(x) \wedge {t_{\tilde G(c)}}(x)} \right), \left( {{t_{\hat F(c)}}(y) \wedge {t_{\tilde G(c)}}(y)} \right)} \right\} = \min \left\{ {{t_{\tilde H(c)}}(x), {t_{\tilde H(c)}}(y)} \right\}$ ；2)
${t_{\tilde H(c)}}\left( {{x^{ - 1}}} \right) = \left( {{t_{\tilde F(c)}}\left( {{x^{ - 1}}} \right)} \right) \wedge \left( {{t_{\tilde G(c)}}\left( {{x^{ - 1}}} \right)} \right) \ge \left( {{t_{\hat F(c)}}(x)} \right) \wedge \left( {{t_{\tilde G(c)}}(x)} \right) = {t_{\tilde H(c)}}(x)$ ；3) 因为(
${t_{\widetilde F\left( c \right)}}$ (x0))∧(${t_{\widetilde G\left( c \right)}}$ (x0))=[1, 1]∧[1, 1]=[1, 1]，则${t_{\widetilde H\left( c \right)}}$ (x0)=[1, 1]；4)
${1 - {f_{\tilde H(c)}}(x \cdot y) = \left( {1 - {f_{\tilde F(c)}}(x \cdot y)} \right) \wedge \left( {1 - \left( {{f_{\tilde G(c)}}(x \cdot y)} \right)} \right) \ge \left( {\min \left\{ {1 - {f_{\tilde F(c)}}(y), 1 - {f_{\tilde F(c)}}(y)} \right\}} \right) \wedge \left( {\min \left\{ {1 - {f_{\tilde G(c)}}(x), 1 - {f_{\tilde G(c)}}(y)} \right\}} \right) =\\ \min \left\{ {\left( {\left( {1 - {f_{\tilde F(c)}}(x)} \right) \wedge \left( {1 - {f_{\tilde G(c)}}(x)} \right)} \right), \left( {\left( {1 - {f_{\tilde F(c)}}(y)} \right) \wedge \left( {1 - {f_{\tilde G(c)}}(y)} \right)} \right)} \right\} =\\ \min \left\{ {1 - {f_{\tilde H(c)}}(x), 1 - {f_{\tilde H(c)}}(y)} \right\}}$ ；5)
$1 - {f_{\tilde H(c)}}\left( {{x^{ - 1}}} \right) = \left( {1 - {f_{\widetilde F(c)}}\left( {{x^{ - 1}}} \right)} \right) \wedge \left( {1 - {f_{\widetilde G(c)}}\left( {{x^{ - 1}}} \right)} \right) \ge \left( {1 - {f_{\widetilde G(c)}}\left( x \right)} \right) = 1 - {f_{\widetilde H\left( c \right)}}\left( x \right)$ ；6) 因为(1-
${f_{\widetilde F\left( c \right)}}$ (x0))∧(1-${f_{\widetilde G\left( c \right)}}$ (x0))=[1, 1]∧[1, 1]=[1, 1]，则1-${f_{\widetilde H\left( c \right)}}$ (x0)=[1, 1].定理2 令
$\widetilde F$ (A)和$\widetilde G$ (B)是Clifford半群S上的两个Vague软Clifford半群，那么，$\widetilde F$ (A)和$\widetilde G$ (B)的并集$\widetilde F$ (A)$\widetilde \cup $ $\widetilde G$ (B)也是S上的Vague软Clifford半群.证 令
$\widetilde F$ (A)$\widetilde \cup $ $\widetilde G$ (B)=$\widetilde H$ (C)，则C=A∪B对∀x∈S成立，可定义且1-
${f_{\widetilde H\left( c \right)}}$ (x)定义为情况1 若c∈A-B，对于∀x，y∈S，有：
1)
${t_{\tilde H(c)}}(x \cdot y) = {t_{\hat F(c)}}(x \cdot y) \ge \max \left\{ {{t_{\tilde F(c)}}(x), {t_{\tilde F(c)}}(y)} \right\} = \max \left\{ {{t_{\tilde H(c)}}(x), {t_{\tilde H(c)}}(y)} \right\}$ ；2)
${t_{\tilde H(c)}}\left( {{x^{ - 1}}} \right) = {t_{\tilde F(c)}}\left( {{x^{ - 1}}} \right){t_{\tilde F(c)}}(x) = {t_{\tilde H(c)}}(x)$ ；3) 因为
${t_{\widetilde F\left( c \right)}}$ (x0)=[1, 1]，则${t_{\widetilde H\left( c \right)}}$ (x0)=[1, 1]；4)
$1 - {f_{\widetilde H(c)}}(x \cdot y) = 1 - {f_{\widetilde F(c)}}(x \cdot y) \ge \max \left\{ {1 - {f_{\widetilde F(c)}}(x), 1 - {f_{\widetilde F(c)}}(y)} \right\} = \max \left\{ {1 - {f_{\widetilde H(c)}}(x), 1 - } \right.\left. {{f_{\tilde H(c)}}(y)} \right\}$ ；5)
$1 - {f_{\tilde H(c)}}\left( {{x^{ - 1}}} \right) = 1 - {f_{\tilde F(c)}}\left( {{x^{ - 1}}} \right) \ge 1 - {f_{\tilde F(c)}}(x) = 1 - {f_{\tilde H(c)}}(x)$ ；6) 因为1-
${f_{\widetilde F\left( c \right)}}$ (x0)=[1, 1]，则1-${f_{\widetilde H\left( c \right)}}$ (x0)=[1, 1].情况2 若c∈B-A，对于∀x，y∈S显然成立，类似情况1可证.
定理3 设S为Clifford半群，且
$\widetilde F$ (A)是S上的Vague软集，则以下条件等价：(ⅰ)
$\widetilde F$ (A)是Vague软Clifford半群；(ⅱ)
$\widetilde F$ (A)是群的半格；(ⅲ)
$\widetilde F$ (A)是群的强半格；(ⅳ)
$\widetilde F$ (A)是正则半群.其中，
$\widetilde F$ (A)是群的半格是指$\widetilde F$ (A)上有同余，$\widetilde F$ (A)/γ为半格Y，每个γ类是一个群.这就是说$\widetilde F$ (A)=$\bigcup\limits_{\alpha \in Y} {{H_\alpha }} $ ，每个Hα是一个群，HαHβ⊆Hαβ，其中αβ表示半格Y中的积，每个Hα称为$\widetilde F$ (A)的一个群分量.证 (ⅰ)⇒(ⅱ) 令
$\widetilde F$ (A)是Vague软Clifford半群，那么$\widetilde F$ (A)是完全正则半群，所以$\widetilde F$ (A)是完全单半群$\widetilde F$ (A)α的半格Y，且$\widetilde F$ (A)中每一个幂等元$\widetilde F$ (e)可用$\widetilde F$ (a)$\widetilde F$ -1(a)来表示，且在每一个幂等的完全单半群$\widetilde F$ (A)α中，幂等元都可以这样表示.每一个幂等元交换的完全单半群$\widetilde F$ (A)α是一个群，因此$\widetilde F$ (A)是群的半格.(ⅱ)⇒(ⅲ) 对于半格Y中的每一个α，令
$\widetilde F$ (e)α是$\widetilde F$ (A)α的单位元，现假定α≥β，那对于$\widetilde F$ (A)α中的每一个$\widetilde F$ (a)α，乘积$\widetilde F$ (e)β$\widetilde F$ (a)α属于$\widetilde F$ (A)αβ=$\widetilde F$ (A)β，因此可定义映射φα，β：$\widetilde F$ (A)α→$\widetilde F$ (A)β，满足$\widetilde F$ (a)αφα，β=$\widetilde F$ (e)β$\widetilde F$ (a)α，很显然φα′，α是$\widetilde F$ (A)α上的单位映射，且φα，β是一个同态，对于$\widetilde F$ (A)α中的每一个元素$\widetilde F$ (a)α，$\widetilde F$ (b)α，有现在有
$\widetilde F$ (e)β$\widetilde F$ (a)α∈$\widetilde F$ (A)β，且$\widetilde F$ (e)β是$\widetilde F$ (A)β的单位元，所以有接下来，假设α≥β≥γ，通过群同态的标准性质可发现，对于
$\widetilde F$ (A)α中的所有$\widetilde F$ (a)α，都有因此有φα，βφβ，γ=φα，γ.
最后，对半格Y中任意的α，β，完全单半群
$\widetilde F$ (A)α中的元素$\widetilde F$ (a)α和$\widetilde F$ (A)β中的元素$\widetilde F$ (b)β，乘积$\widetilde F$ (a)α$\widetilde F$ (b)β属于$\widetilde F$ (A)γ，其中γ=αβ，有因此
$\widetilde F$ (A)与群$\widetilde F$ (A)[Y；$\widetilde F$ (A)α；φα，β]的强半格同构.(ⅲ)⇒(ⅳ)和(ⅳ)⇒(ⅰ)显然成立.
接下来进一步验证Vague软Clifford半群间的同态关系，首先给出两个Vague软Clifford半群之间的同态定义.
定义 13 令
$\widetilde F$ (A)和$\widetilde G$ (B)分别是Clifford半群S和T上的Vague软集，且(f，g)是从S到T的一个Vague软函数.如果f是从S到T的一个Clifford半群同态，那么(f，g)被称为从S到T的Vague软同态.定理4 设
$\widetilde F$ ：$\widetilde F$ (A)→$\widetilde G$ (B)为Vague软Clifford半群$\widetilde F$ (A)和$\widetilde G$ (B)之间的同态且是满射，则有半格同态H：${Y_{\widetilde F\left( A \right)}} \to {Y_{\widetilde G\left( B \right)}}$ ，且任取α，β∈Y，任取$\widetilde F$ (x)∈Gα，$\widetilde F$ (y)∈Gβ，有且
反之，设满射F：
$\widetilde F$ (A)→$\widetilde G$ (B)及满同态H：${Y_{\widetilde F\left( A \right)}} \to {Y_{\widetilde G\left( B \right)}}$ 使(1)，(2)式成立，则F为同态.证 设
$\widetilde F$ (A)和$\widetilde G$ (B)为Vague软Clifford半群，F：$\widetilde F$ (A)→$\widetilde G$ (B)为满同态.设$\widetilde F$ (x)∈Gα，则g($\widetilde F$ (x))=α，取H：${Y_{\widetilde F\left( A \right)}} \to {Y_{\widetilde G\left( B \right)}}$ ，H(α)=α′，如果F($\widetilde F$ (x))∈Gα″⊆$\widetilde G$ (B)，则H的定义是确定的.实际上，若又有$\widetilde F$ (y)∈Gα，我们需要证明F($\widetilde F$ (y))∈Gα″，因为此时则
于是有(F(
$\widetilde F$ (x))，F($\widetilde F$ (y)))∈${\widetilde H_{\widetilde G\left( B \right)}}$ ，F($\widetilde F$ (y))∈Gα″，又显然H为同态，任取$\widetilde F$ (x)∈$\widetilde F$ (A)，设$\widetilde F$ (x)∈Gα，α∈${Y_{\widetilde F\left( A \right)}}$ ，则若有
而
所以
${g_{\widetilde G\left( B \right)}}F = H{g_{\widetilde F\left( A \right)}}$ ，(2)式成立.对∀$\widetilde F$ (x)，$\widetilde F$ (y)∈$\widetilde F$ (A)，不妨设$\widetilde F$ (x)∈Gα，$\widetilde F$ (y)∈Gβ，α，β∈${Y_{\widetilde F\left( A \right)}}$ ，由于F($\widetilde F$ (x)$\widetilde F$ (y))=F($\widetilde F$ (x))F($\widetilde F$ (y))，$\widetilde F$ (x)$\widetilde F$ (y)=$f_{\alpha , \beta }^{\widetilde F\left( A \right)}$ ($\widetilde F$ (x)，$\widetilde F$ (y))，且则
从而(1)式成立.
反之，设有满射F：
$\widetilde F$ (A)→$\widetilde G$ (B)及满同态H：${Y_{\widetilde F\left( A \right)}} \to {Y_{\widetilde G\left( B \right)}}$ ，使得(1)，(2)式成立，任取$\widetilde F$ (x)，$\widetilde F$ (y)∈$\widetilde F$ (A)，设$\widetilde F$ (x)∈Gα，$\widetilde F$ (y)∈Gβ，α，β∈${Y_{\widetilde F\left( A \right)}}$ ，则$\widetilde F$ (x)·$\widetilde F$ (y)=$f_{\alpha , \beta }^{\widetilde F\left( A \right)}$ ($\widetilde F$ (x)，$\widetilde F$ (y))，F($\widetilde F$ (x))·F($\widetilde F$ (y))=$f_{\alpha ', \beta '}^{\widetilde G\left( B \right)}$ (F($\widetilde F$ (x))，F($\widetilde F$ (y)))，其中F($\widetilde F$ (x))∈Gα″，F($\widetilde F$ (y))∈Gβ″，于是α′=(gβF)($\widetilde F$ (x))=($H{g_{\widetilde F\left( A \right)}}$ )($\widetilde F$ (x))=H(α)，同理可得β′=H(β)，由(1)式知故F为同态，证毕.
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本文将Clifford半群和Vague软集从数学角度进行了关联，首次提出了Vague软Clifford半群的概念，并研究了其基本代数性质且给出了相关证明.文中说明了Vague软Clifford半群是群的半格，并且研究了Vague软Clifford半群之间的同态关系，所获结果推广了Clifford半群的结构定理.此后，还可研究Clifford半群在模糊关系下的推广，以及Vague软集的其它代数结构(如环、域等)，不断丰富模糊代数，这将在今后的研究中进行进一步讨论.
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