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非线性算子的不动点问题是非线性泛函分析中的重要研究方向，而且不动点理论在非线性积分方程和微分方程中也有广泛的应用.文献[1]通过用Banach空间代替实数空间，推广了度量空间，引入了锥度量空间的概念.此后，越来越多的学者在此空间中研究单个自映射的不动点和多个自映射的公共不动点问题，得到了很多不动点定理[2-5].文献[6-8]证明了赋值巴拿赫代数的锥度量空间中的不动点定理，使得不动点问题的研究得到了进一步的发展.
随后，文献[9]推广了锥度量空间和b-度量空间，引入了锥b-度量空间的概念.很多学者开始在该空间中研究不动点的存在性及唯一性问题.文献[10-11]证明了锥b-度量空间中的不动点定理，文献[12]研究了具有Banach代数的锥b-度量空间中的各种不动点定理.关于广义度量空间中的更多不动点定理可参看文献[13-16].本文在完备的锥b-度量空间中，通过去除锥的正规性及映射的连续性，得到了扩张映射的几个新不动点定理.
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定义1[1] 设E是实Banach空间，θ是E中的零元，P是E的非空凸闭集，若满足：
(a) {θ，e}⊂P；
(b) αP+βP⊂P，α，β≥0；
(c) P2=P·P⊂P；
(d) P∩{-P}={θ}.
则称P是E中的锥.对于锥P⊂E，定义半序≤如下:x≤y当且仅当y-x∈P；x＜y表示x≤y且x≠y；而x≪y表示y-x∈int P，其中int P表示P的内部.如果存在常数K＞0，使得θ≤x≤y时，有║x║≤K║y║成立，则称P为正规锥.称满足║x║≤K║y║的最小常数K为P的正规常数.若int P≠Ø，则称P为体锥.
定义2[9] 设X是非空集合，E是实Banach空间，s≥1为给定的实数.若映射d:X×X→E满足：
(a) 对任意的x，y∈X，d(x，y)≥θ，且d(x，y)=θ当且仅当x=y；
(b) 任意的x，y∈X，d(x，y)=d(y，x)；
(c) 任意的x，y，z∈X，d(x，y)≤s(d(x，z)+d(z，y)).
则称d为X上的锥b-度量，称(X，d)为锥b-度量空间.
定义3[9] 设(X，d)是锥b-度量空间，{xn}为X中的序列，x∈X.则：
(a) 若对任意θ≪c，存在正整数n0，使得d(xn，x)≪c对任意n＞n0成立，则称{xn}收敛于x，
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = x$ 或xn→x(n→∞)；(b) 若对任意θ≪c，存在正整数n0，使得d(xn，xm)≪c对任意n，m＞n0成立，则称{xn}为Cauchy列；
(c)若X中任意Cauchy列都是收敛序列，则称X是完备的锥b-度量空间.
定义4[3] 设(X，d)是锥度量空间，若映射q:X×X→E满足下列条件：
(a) 对任意的x，y∈X，q(x，y)≥θ；
(b) 对任意的x，y，z∈X，q(x，y)≤q(x，z)+q(z，y)；
(c) 对任意的x∈X，若存在u=ux∈P使得q(x，yn)≤u，且序列{yn}收敛于y，y∈X，则d(x，y)≤u；
(d) 对任意的c∈E，且c≫θ，存在e∈E，且e≫θ，使得当q(z，x)≪e，q(z，y)≪e时，有d(x，y)≪c.
则称q为X上的c-距离.
下面给出锥b-度量空间中广义c-距离的定义：
定义5[11] 设(X，d)是锥b-度量空间，s≥1为给定的实数.若映射q:X×X→E满足下列条件：
(a) 对任意的x，y∈X，q(x，y)≥θ；
(b) 对任意的x，y，z∈X，q(x，z)≤s(q(x，y)+q(y，z))；
(c) 对任意的x∈X，若存在u=ux∈P使得q(x，yn)≤u，且序列{yn}收敛于y，y∈X，则d(x，y)≤su；
(d) 对任意的c∈E，且c≫θ，存在e∈E，且e≫θ，使得当q(z，x)≪e，q(z，y)≪e时，有d(x，y)≪c.
则称q为X上的广义c1-距离.
引理1[11] 设(X，d)是锥b-度量空间，q为X上广义的c1-距离，{xn}，{yn}是X中的序列，x，y，z∈X，{un}是锥P中收敛到θ的序列，则下列结论成立：
(ⅰ)若q(xn，y)≤un，且q(xn，z)≤un，则y=z；
(ⅱ)若q(xn，yn)≤un，且q(xn，z)≤un，则{yn}收敛到一点z∈X；
(ⅲ)若对任意的m＞n，有q(xn，xm)≤un，则{xn}是X中的Cauchy列；
(ⅳ)若q(y，xn)≤un，则{xn}是X中的Cauchy列.
引理2[11] 在锥b-度量空间中，收敛序列的极限是唯一的.
注1 由于当q(x，y)=θ时，不一定成立x=y，故本文的所有定理及其推论只对不动点的存在性给予证明，对不动点的唯一性没有证明.
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定理1 设(X，d)是完备的锥b-度量空间，q为X上广义的c1-距离，s≥1，P是E中的锥.假设连续映射f:X→X是满射且对任意的x，y∈X，有
其中λ1，λ2，λ3是非负实数且不全同时为0，
$\frac{1}{s}({\lambda _1} + {\lambda _3}) + {\lambda _2} > 1$ .则f在X中存在不动点.证 取定x0∈X，因为f是满射，故存在x1∈X，使得x0=f(x1).依次进行这个过程，可定义序列{xn}为:xn=f(xn+1)(n=0，1，2，…).
若xn-1=xn，则有xn-1=f(xn)=xn，故xn是f的不动点.
设对任意的n≥1，xn-1≠xn.则由(1)式有
则有
类似地，有
令
$k = \frac{{1 - {\lambda _2}}}{{{\lambda _1} + {\lambda _3}}}$ ，因$\frac{1}{s}({\lambda _1} + {\lambda _3}) + {\lambda _2} > 1$ ，故$k \in {\rm{(}}0,\frac{1}{s})$ .依次进行上述过程，可以得到
则对任意的m＞n≥1，有
因为
故由引理1可知，{xn}是(X，d)中的Cauchy列.由(X，d)的完备性知，存在x*∈X，使得xn→x*(n→∞).
又因映射f是连续的，则有
即xn-1→f(x*).则由引理2收敛序列的极限唯一性得f(x*)=x*.故x*是f的不动点.
推论1 设(X，d)是完备的锥b-度量空间，q是X上广义的c1-距离，s≥1.若连续映射f:X→X是满射，且对任意的x，y∈X，有
其中λ1，λ2＞0，
$\frac{1}{s}{\lambda _1} + {\lambda _2} > 1$ ，且λ2＜1.则f在X中存在不动点.证 令定理1中的λ3=0，即证.
推论2 设(X，d)是完备的锥b-度量空间，q是X上广义的c1-距离，s≥1.若连续映射f:X→X是满射，且对任意的x，y∈X，有
其中λ1＞s.则f在X中存在不动点.
证 令定理1中的λ2=λ3=0，即证.
定理2 设(X，d)是完备的锥b-度量空间，q是X上广义的c1-距离，s≥1，P是E中的正规锥，K是其正规常数.设映射f:X→X是满射，α，β，γ是X上的非负实值函数，满足以下条件：
(ⅰ)对任意的x∈X，α(x)≥α(f(x))，β(x)≥β(f(x))，γ(x)≥γ(f(x))且α(x)+γ(x)+sβ(x)＞s，β(x)＜1；
(ⅱ)对任意的x，y∈X，有
(ⅲ)对任意的y∈X，当f(y)≠y时，0＜inf{║q(x，y)║+║q(f(x)，x)║:x∈X}.
则f有不动点x*∈X.并且迭代序列{f(xn)}收敛到不动点x*.
证 对任意的x0∈X，因为f是满射，则存在x1∈X，使得x0=f(x1)；存在x2∈X，使得x1=f(x2).依次进行此过程，可定义序列{xn}:xn=f(xn+1)(n=0，1，2，…).
不失一般性，设对任意的n≥1，xn-1≠xn.则由(4)式有
从而
令
因
则
$h \in (0,\frac{1}{s})$ .综上所述，有
则对任意的m＞n≥1，有
因
且
$h \in (0,\frac{1}{s}),\frac{{s{h^n}}}{{1 - sh}} \to \theta $ ，则由引理1可知，{xn}是X中的Cauchy列.由X的完备性知，存在x*∈X，使得xn→x*(n→∞).根据(5)式及定义3中的(c)，有
由P的正规性得
而对任意的m＞n≥1，有
若f(x*)≠x*，则在(6)，(7)式中令m=n+1，有
矛盾.则f(x*)=x*，即x*是f在X中的不动点.
推论3[11] 设(X，d)是完备的锥b-度量空间，q是X上广义的c1-距离，s≥1，P是E中的正规锥，K是其正规常数.设映射f:X→X是满射，映射k:X→(s，+∞)，满足以下条件：
(ⅰ)对任意的x∈X，k(x)≥k(f(x))；
(ⅱ)对任意的x，y∈X，q(f(x)，f(y))≥k(x)q(x，y)；
(ⅲ)对任意的y∈X，当f(y)≠y时，0＜inf{║q(x，y)║+║q(f(x)，x)║:x∈X}.
则f有不动点x*∈X，且迭代序列{f(xn)}收敛于不动点.
推论4 设(X，d)是完备的锥b-度量空间，q是X上广义的c1-距离，s≥1.设映射f:X→X是满射，且满足以下条件：
(ⅰ)对任意的x，y∈X，存在常数α，β，γ，满足α+γ+sβ＞s且β＜1，使得
(ⅱ)对任意的y∈X，当f(y)≠y时，0＜inf{║q(x，y)║+║q(f(x)，x)║:x∈X}.
则f有不动点x*∈X.且迭代序列{f(xn)}收敛于不动点.
注2 定理1及其推论1和推论2去掉了锥的正规性，而定理2及其两个推论去掉了映射的连续性，并且扩张映射的系数也由1个增加到3个.本文的结论推广了文献[11]中的结果，使得锥b-度量空间中的扩张映射更具一般性.
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