Asymptotic Expansion of Extreme Distributions from 3-Parameter Type Ⅰ Generalized Logistic Distribution

Pu JIA; Xin-ling LIU; Ting-ting LI

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2020.06.008

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In this short note, we discuss the limit distribution of normalized maximum of the independent and identically distributed random variable sequence with 3-parameter type I generalized logistic distribution. With linear normalized constants, the asymptotic expansion of distributions of normalized maximum is established, and the convergence rate of the distribution of normalized maximum to the Gumbel extreme value distribution is derived.

Corresponding author: Ting-ting LI

Received Date: 06/12/2019

Available Online: 20/06/2020

Key words:

Abstract: In this short note, we discuss the limit distribution of normalized maximum of the independent and identically distributed random variable sequence with 3-parameter type I generalized logistic distribution. With linear normalized constants, the asymptotic expansion of distributions of normalized maximum is established, and the convergence rate of the distribution of normalized maximum to the Gumbel extreme value distribution is derived.

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Logistic函数是一种S型增长曲线，由比利时数学家P. F. Verhulst提出，并作为有限环境下种群增长的数学模型.随后Logistic分布被广泛用于人口学、生物医学、计量经济学和心理测量学等领域^[1-4].在心理和教育测量学中，Logistic分布被用作项目反应模型的分布函数，代替不便运算的正态分布描述测试对象的能力或潜在特质分布.Logistic分布是对称的尖峰厚尾分布，在处理非对称和薄尾分布数据时具有一定局限性.统计学家引入分布的形状参数来描述数据的偏度和尾部性质，将Logistic分布进一步推广得到广义Logistic分布族，如文献[5]通过将Gamma分布与双指数型极值分布、退化对数Weibull分布和指数型Gamma分布进行混合给出了三参数Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型广义Logistic分布，其中三参数Ⅰ型广义Logistic分布的应用最为广泛.

设{X_n：n≥1}为独立同分布的随机变量序列，服从三参数Ⅰ型广义Logistic分布(Type I Generalized Logistic Distribution，简记为GLD)，记为X_n~GLD(μ，σ，α).三参数Ⅰ型广义Logistic分布GLD(μ，σ，α)的概率密度函数和累积分布函数分别为

其中自变量x∈$\mathbb{R}$，位置参数-∞＜μ＜∞，刻度参数σ＞0，形状参数α＞0.当α=1时，GLD(μ，σ，1)退化为Logistic分布.当μ=0，σ=1和α=1时，GLD(0，1，1)退化为标准Logistic分布.三参数Ⅰ型广义Logistic分布的基本性质可参见文献[6].

近年来，随机变量序列的极值的渐近性质逐渐受到研究者的广泛关注，文献[7-8]讨论了一般分布的线性赋范和幂赋范极值分布的渐近性质，文献[9-10]讨论了有限混合分布的极值分布的渐近性质，文献[11-12]讨论了t分布和正态分布等常见分布的极值分布的渐近展开式.文献[13]讨论了两参数Ⅰ型广义Logistic分布最大值的极值分布类型和点点收敛速度.本文将进一步研究三参数Ⅰ型广义Logistic分布的极值分布的渐近性质和渐近展开式.当使用广义Logistic分布对生物医学、金融等领域中的偏态数据进行建模时，渐近性质可以帮助研究者了解分布的尾部性质和估计分布的极值.

1. 极限分布

假设独立同分布的随机变量序列{X_n：n≥1}服从GLD(μ，σ，α)分布，令

表示该序列的局部最大值.通过构建分布的尾部表达式，本节将证明GLD(μ，σ，α)分布的规范化最大值的分布收敛到Λ极值类型分布.

定理1 设F(x)和f(x)分别表示三参数Ⅰ型广义Logistic分布GLD(μ，σ，α)的累积分布函数和概率密度函数.当x＞0充分大时，有

其中规范化常数为

即GLD(μ，σ，α)分布的规范化最大值的极限分布是Λ极值类型分布.

证当x＞0充分大时，GLD(μ，σ，α)分布的尾部表达式可表示为

其中

辅助函数g(t)=σ，并且有g^′(t)= 0，因此根据文献[14]中命题1.1与命题1.4，我们可以选择如下形式的规范化常数a_n和b_n：

那么此时有

可得F属于Λ吸引场，记为F∈D(Λ)，Λ(x)=exp(-e^-x)为Gumbel极值类型分布.规范化常数a_n和b_n满足(2)式.结合(1)式与(2)式，可得

计算可得a_n=σ和b_n=σ(log n+log α)+μ.定理1证毕.

2. 渐近展开式

已知GLD(μ，σ，α)分布的规范化最大值的极限分布为Λ分布，本节将推导该分布的规范化最大值分布的渐近展开式.

定理2 设F(x)表示三参数Ⅰ型广义Logistic分布GLD(μ，σ，α)的累积分布函数，规范化常数a_n=σ和b_n=σ(log n+log α)+μ.则当n→∞时，有

其中k(x)和w(x)分别为

和

注1 定理2给出了规范化最大值分布Fⁿ(a_nx+b_n)的渐近展开式.由(3)式可知，在线性赋范规范化常数下，Fⁿ(a_nx+b_n)收敛到Λ(x)的收敛速度Fⁿ(a_nx+b_n)-Λ(x)是与$\frac{1}{n}$同阶的，该速度与文献[13]中证明的两参数广义Logistic分布的收敛速度是相同的.

为了证明定理2，我们首先给出一个辅助引理.

引理1 设F(x)表示三参数Ⅰ型广义Logistic分布GLD(μ，σ，α)的累积分布函数，令

且有规范化常数

则有

证当n→∞时，Fⁿ(a_nx+b_n)→Λ(x)，可得nlog F(a_nx+b_n)→-e^-x.由泰勒展开式，有

因此当n→∞时，有n(1-F(a_nx+b_n))→e^-x成立.规范化常数a_n=σ和b_n=σ(log n+log α)+μ，结合尾部表达式(1)式可得

结合(4)式和(5)式，有

再结合(4)，(5)，(6)式，有

定理2的证明 由$\mathop {\rm lim}\limits_{n \to \infty } nh(x) = \frac{1}{{2\alpha }}{{\rm e}^{ - 2x}}$，可得$\mathop {\rm lim}\limits_{n \to \infty } h(x) = 0$.通过泰勒展开式可知，当n→∞时，有

结合引理1和(7)式，当n→∞时，有

综上所述，定理2证毕.

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

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